向量是既有大小又有方向的物理量。向量的例子有位置、力、速度和动量。例如，我们指定某物的位置时，不仅要给出它与某个点的距离，还要给出它相对于该点的方向。我们经常用箭头表示向量，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向与向量的方向相同。
两个向量可以相加得到一个新的向量。考虑图 C.1 中的两个向量 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$。（我们用粗体符号表示向量。）为了求 $\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B}$，我们将 $\mathbf{B}$ 的尾部放在 $\mathbf{A}$ 的尖端，然后从 $\mathbf{A}$ 的尾部到 $\mathbf{B}$ 的尖端画出 $\mathbf{C}$，如图所示。我们也可以将 $\mathbf{A}$ 的尾部放在 $\mathbf{B}$ 的尖端，然后从 $\mathbf{B}$ 的尾部到 $\mathbf{A}$ 的尖端画出 $\mathbf{C}$。正如图 C.1 所示，我们得到的结果是相同的，因此我们看到
$$ \mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{B} + \mathbf{A} \quad (C.1) $$
向量加法是可交换的。
图 C.1
两个向量相加的图示， $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{B} + \mathbf{A} = \mathbf{C}$。 105
数学章节 C / 向量 106
要减去两个向量，我们将其中一个向量画成相反方向，然后将其与另一个向量相加。将一个向量画成相反方向等同于形成向量 $-\mathbf{B}$。因此，数学上我们有
$$ \mathbf{D} = \mathbf{A} - \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B}) \quad (C.2) $$
一组有用的向量是单位长度且沿笛卡尔坐标系正 x、y 和 z 轴方向的向量。这些单位向量（单位长度）分别用 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$ 和 $\mathbf{k}$ 表示，如图 C.2 所示。我们将始终绘制一个右手笛卡尔坐标系。右手坐标系的定义是：当你用右手四指从 $\mathbf{i}$ 弯曲到 $\mathbf{j}$ 时，你的拇指指向 $\mathbf{k}$ 的方向（图 C.3）。任何三维向量 $\mathbf{A}$ 都可以用这些单位向量来描述
$$ \mathbf{A} = A_x\mathbf{i} + A_y\mathbf{j} + A_z\mathbf{k} \quad (C.3) $$
图 C.2
笛卡尔坐标系的基本单位向量 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$ 和 $\mathbf{k}$。
图 C.3
(a) 右手笛卡尔坐标系和 (b) 左手笛卡尔坐标系的图示。本书中我们只使用右手笛卡尔坐标系。
其中，例如 $A_x\mathbf{i}$ 的长度为 $A_x$ 个单位，方向与 $\mathbf{i}$ 相同。一般来说，一个数 $a$ 乘以一个向量 $\mathbf{A}$ 得到一个新的向量，它平行于 $\mathbf{A}$，但其长度是 $|a|$ 乘以 $\mathbf{A}$ 的长度。如果 $a$ 为正，则 $a\mathbf{A}$ 的方向与 $\mathbf{A}$ 相同，但如果 $a$ 为负，则 $a\mathbf{A}$ 的方向与 $\mathbf{A}$ 相反。方程 C.3 中的量 $A_x$、$A_y$ 和 $A_z$ 是 $\mathbf{A}$ 的分量。它们是 $\mathbf{A}$ 在各个笛卡尔轴上的投影（图 C.4）。用分量表示，两个向量的和或差由下式给出
$$ \mathbf{A} \pm \mathbf{B} = (A_x \pm B_x)\mathbf{i} + (A_y \pm B_y)\mathbf{j} + (A_z \pm B_z)\mathbf{k} \quad (C.4) $$
图 C.4 显示 $\mathbf{A}$ 的长度由下式给出
$$ A = |\mathbf{A}| = (A_x^2 + A_y^2 + A_z^2)^{1/2} \quad (C.5) $$
如果 $\mathbf{A} = 2\mathbf{i} - \mathbf{j} + 3\mathbf{k}$ 且 $\mathbf{B} = -\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k}$，则 $\mathbf{A} + \mathbf{B}$ 的长度是多少？
解：使用方程 C.4，我们得到
$$ \mathbf{A} + \mathbf{B} = (2 - 1)\mathbf{i} + (-1 + 2)\mathbf{j} + (3 – 1)\mathbf{k} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k} $$
使用方程 C.5 得到
$$ |\mathbf{A} + \mathbf{B}| = (1^2 + 1^2 + 2^2)^{1/2} = \sqrt{6} $$
有两种方法可以形成两个向量的乘积，这两种方法在物理化学中都有许多应用。一种方法产生一个标量（换句话说，只是一个数字），另一种方法产生一个向量。不出所料，我们将第一种方法的结果称为标量积，第二种方法的结果称为向量积。
图 C.4
向量 $\mathbf{A}$ 的分量是在 x、y 和 z 轴上的投影，表明 $\mathbf{A}$ 的长度等于 $(A_x^2 + A_y^2 + A_z^2)^{1/2}$。
数学章节 C / 向量 108
两个向量 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 的标量积定义为
$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}||\mathbf{B}| \cos \theta \quad (C.6) $$
其中 $\theta$ 是 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 之间的夹角。注意根据定义可知
$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} \quad (C.7) $$
取标量积是一个可交换的运算。$\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 之间的点符号是一种标准的记法，因此 $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$ 通常被称为 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 的点积。单位向量 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$ 和 $\mathbf{k}$ 的点积是
$$ \mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = \mathbf{j} \cdot \mathbf{j} = \mathbf{k} \cdot \mathbf{k} = |1||1| \cos 0^\circ = 1 $$
$$ \mathbf{i} \cdot \mathbf{j} = \mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = \mathbf{i} \cdot \mathbf{k} = \mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = \mathbf{j} \cdot \mathbf{k} = \mathbf{k} \cdot \mathbf{j} = |1||1| \cos 90^\circ = 0 \quad (C.8) $$
我们可以使用方程 C.8 计算任意两个向量的点积：
$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (A_x\mathbf{i} + A_y\mathbf{j} + A_z\mathbf{k}) \cdot (B_x\mathbf{i} + B_y\mathbf{j} + B_z\mathbf{k}) $$
$$ = A_x B_x \mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + A_x B_y \mathbf{i} \cdot \mathbf{j} + A_x B_z \mathbf{i} \cdot \mathbf{k} $$
$$ + A_y B_x \mathbf{j} \cdot \mathbf{i} + A_y B_y \mathbf{j} \cdot \mathbf{j} + A_y B_z \mathbf{j} \cdot \mathbf{k} $$
$$ + A_z B_x \mathbf{k} \cdot \mathbf{i} + A_z B_y \mathbf{k} \cdot \mathbf{j} + A_z B_z \mathbf{k} \cdot \mathbf{k} $$
这简化为
$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z \quad (C.9) $$
求向量 $\mathbf{A} = 2\mathbf{i} – \mathbf{j} + 3\mathbf{k}$ 的长度。
解：使用方程 C.9 中令 $\mathbf{A} = \mathbf{B}$，得到
$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} = A_x^2 + A_y^2 + A_z^2 = |\mathbf{A}|^2 $$
因此，
$$ |\mathbf{A}| = (\mathbf{A} \cdot \mathbf{A})^{1/2} = (4 + 1 + 9)^{1/2} = \sqrt{14} $$
数学章节 C / 向量 109
求向量 $\mathbf{A} = \mathbf{i} + 3\mathbf{j} - \mathbf{k}$ 和 $\mathbf{B} = \mathbf{j} - \mathbf{k}$ 之间的夹角。
解：我们使用方程 C.6，但首先必须求出
$$ |\mathbf{A}| = (\mathbf{A} \cdot \mathbf{A})^{1/2} = (1^2 + 3^2 + (-1)^2)^{1/2} = (1 + 9 + 1)^{1/2} = \sqrt{11} $$
$$ |\mathbf{B}| = (\mathbf{B} \cdot \mathbf{B})^{1/2} = (0^2 + 1^2 + (-1)^2)^{1/2} = (0 + 1 + 1)^{1/2} = \sqrt{2} $$
以及
$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (1)(0) + (3)(1) + (-1)(-1) = 0 + 3 + 1 = 4 $$
因此，
$$ \cos \theta = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A}||\mathbf{B}|} = \frac{4}{\sqrt{11}\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{22}} \approx 0.8528 $$
或 $\theta \approx 31.48^\circ$。
点积的一个应用涉及到功的定义。回想一下，功被定义为力乘以距离，这里的“力”是指沿位移方向的分力。如果我们用 $\mathbf{F}$ 表示力，用 $\mathbf{d}$ 表示位移，则功定义为
$$ \text{功} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} \quad (C.10) $$
我们可以将方程 C.10 写成 $(F \cos \theta) (d)$，以强调 $F \cos \theta$ 是 $\mathbf{F}$ 在 $\mathbf{d}$ 方向上的分量（图 C.5）。
点积的另一个重要应用涉及到偶极矩与电场的相互作用。你可能在有机化学中学习过，分子中相反电荷的分离会产生偶极矩，通常用一个箭尾带叉、指向正电荷的箭头表示。例如，由于氯原子比氢原子更具电负性，HCl 具有偶极矩，我们用 H—Cl 表示。严格来说，偶极矩是一个向量，其大小等于正电荷与正负电荷之间的距离的乘积，方向从负电荷指向正电荷。因此，对于图 C.6 中所示的两个分离的电荷，偶极矩 $\boldsymbol{\mu}$ 等于
图 C.5
功定义为 $w = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}$，或 $(F \cos \theta)d$，其中 $F \cos \theta$ 是 $\mathbf{F}$ 沿 $\mathbf{d}$ 的分量。 109
图 C.6
偶极矩是一个从负电荷 -q 指向正电荷 +q 的向量，其大小为 qr。 110
$$ \boldsymbol{\mu} = q\mathbf{r} $$
我们稍后将学习到，如果我们对偶极矩施加电场 $\mathbf{E}$，则相互作用的势能为
$$ V = -\boldsymbol{\mu} \cdot \mathbf{E} \quad (C.11) $$
两个向量的向量积是一个由下式定义的向量
$$ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = |\mathbf{A}||\mathbf{B}|\mathbf{c} \sin \theta \quad (C.12) $$
其中 $\theta$ 是 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 之间的夹角，$\mathbf{c}$ 是垂直于由 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 形成的平面的单位向量。$\mathbf{c}$ 的方向由右手定则给出：如果你用右手四指从 $\mathbf{A}$ 弯曲到 $\mathbf{B}$ 时，那么 $\mathbf{c}$ 沿你拇指的方向。（参见图 C.3 的类似结构。）方程 C.12 中给出的记法非常常用，以至于向量积通常被称为叉积。因为 $\mathbf{c}$ 的方向由右手定则给出，所以叉积运算不具有可交换性，特别是
$$ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = -\mathbf{B} \times \mathbf{A} \quad (C.13) $$
数学章节 C / 向量 111
笛卡尔单位向量的叉积是
$$ \mathbf{i} \times \mathbf{i} = \mathbf{j} \times \mathbf{j} = \mathbf{k} \times \mathbf{k} = \mathbf{0} $$
$$ \mathbf{i} \times \mathbf{j} = -\mathbf{j} \times \mathbf{i} = |\mathbf{1}||\mathbf{1}|\mathbf{k} \sin 90^\circ = \mathbf{k} $$
$$ \mathbf{j} \times \mathbf{k} = -\mathbf{k} \times \mathbf{j} = \mathbf{i} $$
$$ \mathbf{k} \times \mathbf{i} = -\mathbf{i} \times \mathbf{k} = \mathbf{j} \quad (C.14) $$
数学章节 C / 向量 111
用 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 的分量表示，我们有（问题 C-9）
$$ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = (A_y B_z – A_z B_y)\mathbf{i} + (A_z B_x - A_x B_z)\mathbf{j} + (A_x B_y – A_y B_x)\mathbf{k} \quad (C.15) $$
方程 C.15 可以方便地表示为一个行列式（参见数学章节 E）
$$ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ A_x & A_y & A_z \ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} \quad (C.16) $$
方程 C.15 和 C.16 是等价的。
已知 $\mathbf{A} = -2\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}$ 和 $\mathbf{B} = 3\mathbf{i} – \mathbf{j} + \mathbf{k}$，确定 $\mathbf{C} = \mathbf{A} \times \mathbf{B}$。$\mathbf{B} \times \mathbf{A}$ 等于什么？
解：使用方程 C.15，我们得到
$$ \mathbf{C} = [(1)(1) – (1)(-1)]\mathbf{i} + [(1)(3) – (-2)(1)]\mathbf{j} + [(-2)(-1) – (1)(3)]\mathbf{k} $$
$$ = (1+1)\mathbf{i} + (3+2)\mathbf{j} + (2-3)\mathbf{k} = 2\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - \mathbf{k} $$
$\mathbf{B} \times \mathbf{A} = -\mathbf{C} = -(2\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - \mathbf{k}) = -2\mathbf{i} - 5\mathbf{j} + \mathbf{k}$。
叉积的一个物理上重要的应用涉及到角动量的定义。如果一个粒子具有距固定点位置 $\mathbf{r}$ 处的动量 $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$（如图 C.7 所示），则其角动量 $\mathbf{L}$ 定义为
$$ \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} \quad (C.17) $$
注意，角动量是一个垂直于由 $\mathbf{r}$ 和 $\mathbf{p}$ 形成的平面的向量（图 C.8）。用分量表示，$\mathbf{L}$ 等于（参见方程 C.15）
图 C.7
动量为 $\mathbf{p}$ 且相对于固定中心位置为 $\mathbf{r}$ 的粒子的角动量是一个垂直于由 $\mathbf{r}$ 和 $\mathbf{p}$ 形成的平面且方向为 $\mathbf{r} \times \mathbf{p}$ 的向量。 111
图 C.8
角动量是一个向量量，它垂直于由 $\mathbf{r}$ 和 $\mathbf{p}$ 形成的平面，且方向使得向量 $\mathbf{r}$、$\mathbf{p}$ 和 $\mathbf{L}$ 形成一个右手坐标系。
$$ \mathbf{L} = (y p_z - z p_y)\mathbf{i} + (z p_x – x p_z)\mathbf{j} + (x p_y – y p_x)\mathbf{k} \quad (C.18) $$
我们将学习到角动量在量子力学中起着重要作用。另一个涉及到叉积的例子是给出电荷为 $q$ 且以速度 $\mathbf{v}$ 穿过磁场 $\mathbf{B}$ 的粒子所受力 $\mathbf{F}$ 的方程：
$$ \mathbf{F} = q (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \quad (C.18) $$
注意，力垂直于 $\mathbf{v}$，因此 $\mathbf{B}$ 的作用是导致粒子运动弯曲，而不是加速或减速。
我们也可以对向量求导。假设动量的分量 $\mathbf{p}$ 依赖于时间。那么
$$ \frac{d\mathbf{p}(t)}{dt} = \frac{dp_x(t)}{dt}\mathbf{i} + \frac{dp_y(t)}{dt}\mathbf{j} + \frac{dp_z(t)}{dt}\mathbf{k} \quad (C.19) $$
（$\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$ 和 $\mathbf{k}$ 没有导数，因为它们在空间中是固定的。）牛顿运动定律是
$$ \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{F} \quad (C.20) $$
这条定律实际上是三个独立的方程，每个分量一个。因为 $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$，如果 $m$ 是常数，我们可以将牛顿方程写成
$$ m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = \mathbf{F} $$
此外，因为 $\mathbf{v} = d\mathbf{r}/dt$，我们也可以将牛顿方程表示为
$$ m\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = \mathbf{F} \quad (C.21) $$
再次强调，方程 C.21 代表一组三个方程，每个分量一个。
C-1. 求向量 $\mathbf{v} = 2\mathbf{i} - \mathbf{j} + 3\mathbf{k}$ 的长度。
C-2. 求向量 $\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$ 的长度和向量 $\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ 的长度。
C-3. 证明如果 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 相互垂直，则 $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 0$。相互垂直的两个向量称为正交。
C-4. 证明向量 $\mathbf{A} = 2\mathbf{i} – 4\mathbf{j} – 2\mathbf{k}$ 和 向量 $\mathbf{B} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} – 5\mathbf{k}$ 是正交的。
C-5. 证明向量 $\mathbf{r} = 2\mathbf{i} – 3\mathbf{k}$ 完全位于垂直于 y 轴的平面内。
C-6. 求向量 $\mathbf{A} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$ 和 向量 $\mathbf{B} = 3\mathbf{i} – \mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ 之间的夹角。
C-7. 已知 $\mathbf{A} = -\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$ 和 $\mathbf{B} = 3\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k}$，确定 $\mathbf{C} = \mathbf{A} \times \mathbf{B}$。$\mathbf{B} \times \mathbf{A}$ 等于什么？
C-8. 证明 $\mathbf{A} \times \mathbf{A} = \mathbf{0}$。
C-9. 使用方程 C.14，证明 $\mathbf{A} \times \mathbf{B}$ 由方程 C.15 给出。
C-10. 证明圆周运动时 $|\mathbf{L}| = mvr$。
C-11. 证明
$$ \frac{d}{dt}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \frac{d\mathbf{A}}{dt} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \cdot \frac{d\mathbf{B}}{dt} $$
和
$$ \frac{d}{dt}(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \frac{d\mathbf{A}}{dt} \times \mathbf{B} + \mathbf{A} \times \frac{d\mathbf{B}}{dt} $$
C-12. 使用问题 C-11 的结果，证明
$$ \mathbf{A} \times \frac{d^2\mathbf{A}}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left(\mathbf{A} \times \frac{d\mathbf{A}}{dt}\right) $$
C-13. 在向量记法中，单个粒子的牛顿方程是
$$ m\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = \mathbf{F}(x, y, z) $$
通过从左边用 $\mathbf{r} \times$ 作用于此方程，并使用问题 C-12 的结果，证明
$$ \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} $$
其中 $\mathbf{L} = m\mathbf{r} \times d\mathbf{r}/dt = \mathbf{r} \times m d\mathbf{r}/dt = \mathbf{r} \times m\mathbf{v} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$。注意，如果 $\mathbf{r} \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$，则 $d\mathbf{L}/dt = \mathbf{0}$，即角动量守恒。你能识别 $\mathbf{r} \times \mathbf{F}$ 是什么吗？
维尔纳·海森堡于 1901 年 12 月 5 日出生于德国杜伊斯堡，在慕尼黑长大，并于 1976 年去世。1923 年，海森堡在慕尼黑大学获得物理学博士学位。之后，他在哥廷根大学担任马克斯·玻恩的助手一年，在哥本哈根与尼尔斯·玻尔共度三年。他于 1927 年至 1941 年担任莱比锡大学理论物理系主任，是获得此职位的最年轻的人。由于对德国的深厚忠诚，海森堡选择在纳粹上台时留在德国。第二次世界大战期间，他负责德国的原子弹研究。战后，他被任命为马克斯·普朗克物理研究所所长，致力于重建德国科学。海森堡发展了量子力学的最早形式之一，但它是基于矩阵代数，不如薛定谔的波动方程易于使用。然而，后来证明这两种形式是等价的。他于 1927 年发表的《不确定性原理》阐明了自然界涉及物理量测量和观测的一个基本原理。海森堡因“创立量子力学”于 1933 年被授予 1932 年诺贝尔物理学奖。他在纳粹德国的角色有些模糊，促使一位作者（大卫·卡西迪）将其关于海森堡的传记命名为《不确定性》（W.H. Freeman, 1993）。