在第七章中，我们将遇到 $n$ 个线性代数方程及 $n$ 个未知数。这类方程最好通过行列式求解，我们将在本数学附录中讨论行列式。考虑以下一对线性代数方程：
$$ a_{11}x + a_{12}y = d_1 \ a_{21}x + a_{22}y = d_2 \quad \text{(E.1)} $$
如果我们将第一个方程乘以 $a_{22}$，第二个方程乘以 $a_{12}$，然后相减，我们得到
$$ (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x = d_1a_{22} - d_2a_{12} $$
或者
$$ x = \frac{a_{22}d_1-a_{12}d_2}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \quad \text{(E.2)} $$
类似地，如果我们将第一个方程乘以 $a_{21}$，第二个方程乘以 $a_{11}$，然后相减，我们得到
$$ y = \frac{a_{11}d_2-a_{21}d_1}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \quad \text{(E.3)} $$
注意到方程 E.2 和 E.3 的分母是相同的。我们将 $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ 表示为数量
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} $$
它等于 $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$，称为一个 $2 \times 2$ 行列式。引入这个记号的原因是它可以很容易地推广到处理 $n$ 个线性代数方程及 $n$ 个未知数的情况。通常，一个 $n \times n$ 行列式是一个包含 $n^2$ 个元素的方阵，这些元素排成 $n$ 行和 $n$ 列。一个 $3 \times 3$ 行列式由下式给出
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}+ a_{21}a_{32}a_{13} + a_{12}a_{23}a_{31} -a_{31}a_{22}a_{13} - a_{21}a_{12}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} \quad \text{(E.4)} $$
(我们很快就会证明这一点。) 注意到元素 $a_{ij}$ 位于第 $i$ 行和第 $j$ 列的交点。
方程 E.4以及用于计算更高阶行列式的相应方程可以通过系统的方式获得。首先我们定义一个余子式。元素 $a_{ij}$ 的余子式 $A_{ij}$ 是一个通过删除第 $i$ 行和第 $j$ 列得到的 $(n - 1) \times (n - 1)$ 行列式，再乘以 $(-1)^{i+j}$。例如，对于
$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} $$
元素 $a_{12}$ 的余子式 $A_{12}$ 是
$$ A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} $$
计算行列式
$$ D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \ 0 & 3 & -1 \ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} $$
中第一行各元素的余子式。
解：
$a_{11}$ 的余子式是
$$ A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 3 & -1 \ -2 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 2 = 1 $$
$a_{12}$ 的余子式是
$$ A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 0 & -1 \ 2 & 1 \end{vmatrix} = -2 $$
$a_{13}$ 的余子式是
$$ A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 0 & 3 \ 2 & -2 \end{vmatrix} = -6 $$
我们可以使用余子式来计算行列式的值。方程 E.4 中的 $3 \times 3$ 行列式的值可以通过以下公式获得：
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} \quad \text{(E.5)} $$
因此，例题 E-1 中的 $D$ 值是
$$ D = (2)(1) + (-1)(-2) + (1)(-6) = -2 $$
在例题 E-1 中，通过按第一列元素展开而不是按第一行元素展开来计算 $D$。
解：
我们将使用公式
$$ D = a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31} $$
各个余子式是
$$ A_{11} = (-1)^2 \begin{vmatrix} 3 & -1 \ -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 $$
和
$$ A_{21} = (-1)^3 \begin{vmatrix} -1 & 1 \ -2 & 1 \end{vmatrix} = -1 $$
所以
$$ A_{31} = (-1)^4 \begin{vmatrix} -1 & 1 \ 3 & -1 \end{vmatrix} = -2 $$
所以
$$ D = (2)(1) + (0)(-1) + (2)(-2) = -2 $$
注意到我们得到的 $D$ 值与例题 E-1 中的结果相同。这个结果说明了一个普遍事实：行列式可以通过按任何一行或任何一列的元素的余子式展开来计算。如果我们选择 $D$ 的第二行，那么我们得到
$$ D = (0)(-1)^3 \begin{vmatrix} -1 & 1 \ -2 & 1 \end{vmatrix} + (3)(-1)^4 \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 2 & 1 \end{vmatrix} + (-1)(-1)^5 \begin{vmatrix} 2 & -1 \ 2 & -2 \end{vmatrix} = -2 $$
尽管我们只讨论了 $3 \times 3$ 行列式，但这个过程很容易扩展到任意阶数的行列式。
在第十章中，我们将遇到行列式方程
$$ \begin{vmatrix} x & 1 & 0 & 0 \ 1 & x & 1 & 0 \ 0 & 1 & x & 1 \ 0 & 0 & 1 & x \end{vmatrix} = 0 $$
将这个行列式方程展开成一个关于 x 的四次方程。
解：
按第一行元素展开得到
$$ x \begin{vmatrix} x & 1 & 0 \ 1 & x & 1 \ 0 & 1 & x \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & x & 1 \ 0 & 1 & x \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 1 & x & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & x \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 1 & x & 1 \ 0 & 1 & x \ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 $$
现在对每个 $3 \times 3$ 行列式按第一列展开得到
$$ (x) \begin{vmatrix} x & 1 \ 1 & x \end{vmatrix} - (x)(1) \begin{vmatrix} 1 & 1 \ 0 & x \end{vmatrix} - (1) \begin{vmatrix} x & 1 \ 1 & x \end{vmatrix} = 0 $$
或者
$$ x^2(x^2 - 1) - x(x) - (1)(x^2 - 1) = 0 $$
或者
$$ x^4 - 3x^2 + 1 = 0 $$
注意，虽然我们可以选择任何一行或列来展开行列式，但选择零最多的那一行或列是最容易的。
一些行列式的性质很有用：
Q1. 如果将行列式的行按相同顺序变成列（换句话说，第一行变成第一列，第二行变成第二列，依此类推），行列式的值不变。例如，
$$ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \ -1 & 0 & -1 \ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 \ 2 & 0 & 1 \ 5 & -1 & 2 \end{vmatrix} $$
Q2. 如果任意两行或两列相同，行列式的值为零。例如，
$$ \begin{vmatrix} 4 & 2 & 4 \ -1 & 0 & -1 \ 3 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0 $$
Q3. 如果交换任意两行或两列，行列式的符号改变。例如，
$$ \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \ -6 & 4 & 5 \ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \ 4 & -6 & 5 \ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} $$
Q4. 如果某一行或某一列的所有元素都乘以一个因子 $k$，则行列式的值也乘以 $k$。例如，
$$ \begin{vmatrix} 6 & 8 \ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 3 & 4 \ -1 & 2 \end{vmatrix} $$
Q5. 如果任意一行或一列写成两项或多项的和或差，则行列式可以写成两个或多个行列式的和或差，如下所示：
$$ \begin{vmatrix} a_{11} \pm a'_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} \pm a'_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} \pm a'_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \pm \begin{vmatrix} a'_{11} & a'_{12} & a'_{13} \ a'_{21} & a'_{22} & a'_{23} \ a'_{31} & a'_{32} & a'_{33} \end{vmatrix} $$
例如，
$$ \begin{vmatrix} 1 & 3 & 8 \ 2 & 6 & -2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2+4 & 3 & 8 \ 6 & -2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 8 \ 6 & -2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 4 & 3 & 8 \ 6 & -2 \end{vmatrix} $$
Q6. 如果将某一行或某一列的若干倍加到另一行或另一列，行列式的值不变，如下所示：
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}+a_{12} & a_{12} & a_{13} \ a_{21}+a_{22} & a_{22} & a_{23} \ a_{31}+a_{32} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31}+a_{21} & a_{32}+a_{22} & a_{33}+a_{23} \end{vmatrix} $$
例如
$$ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 \ 4 & 0 & 2 \ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 3 \ 4 & 0 & 2 \ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 \ 4 & 0 & 2 \ 7 & 2 & 3 \end{vmatrix} $$
第一个例子是我们将第 2 列加到第 1 列，第二个例子是我们将第 2 行加到第 3 行。这个过程可以重复 $n$ 次得到
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}+na_{12} & a_{12} & a_{13} \ a_{21}+na_{22} & a_{22} & a_{23} \ a_{31}+na_{32} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \quad \text{(E.6)} $$
这个结果很容易证明：
$$ \begin{vmatrix} a_{11}+na_{12} & a_{12} & a_{13} \ a_{21}+na_{22} & a_{22} & a_{23} \ a_{31}+na_{32} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} + n \begin{vmatrix} a_{12} & a_{12} & a_{13} \ a_{22} & a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} + 0 $$
这里我们使用了规则 5 来写第一行。右边的第二个行列式等于零，因为有两列是相同的（规则 2）。
我们提供这些规则是因为可以用行列式来求解联立线性代数方程。为了简单起见，我们只考虑一对方程，但最终结果很容易推广。考虑以下两个方程：
$$ a_{11}x + a_{12}y = d_1 \ a_{21}x + a_{22}y = d_2 \quad \text{(E.7)} $$
如果 $d_1 = d_2 = 0$，这些方程称为齐次方程。否则，它们称为非齐次方程。我们首先假设它们是非齐次的。$x$ 和 $y$ 的系数的行列式是
$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} $$
根据规则 4，
$$ \begin{vmatrix} a_{11}x & a_{12} \ a_{21}x & a_{22} \end{vmatrix} = x \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = xD $$
此外，根据规则 6，
$$ \begin{vmatrix} a_{11}x + a_{12}y & a_{12} \ a_{21}x + a_{22}y & a_{22} \end{vmatrix} = xD \quad \text{(E.8)} $$
如果我们将方程 E.7 代入方程 E.8，那么我们得到
$$ \begin{vmatrix} d_1 & a_{12} \ d_2 & a_{22} \end{vmatrix} = xD $$
解出 $x$ 得到
$$ x = \frac{\begin{vmatrix} d_1 & a_{12} \ d_2 & a_{22} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}} \quad \text{(E.9)} $$
类似地，我们得到
$$ y = \frac{\begin{vmatrix} a_{11} & d_1 \ a_{21} & d_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}} \quad \text{(E.10)} $$
注意到方程 E.9 和 E.10 与方程 E.2 和 E.3 完全相同。用行列式表示 $x$ 和 $y$ 的解称为克莱姆法则 (Cramer's rule)。注意，分子中的行列式是通过将 $D$ 中与未知数相关的列替换为方程 E.7 右侧的列得到的。这个结果很容易扩展到两个以上的联立方程。
用克莱姆法则求解方程组：
$$ x+y+z=2 \ 2x-y-z = 1 \ x + 2y - z = -3 $$
解：
方程 E.9 和 E.10 的扩展是
$$ x = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \ 1 & -1 & -1 \ -3 & 2 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 2 & -1 & -1 \ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}} = \frac{9}{9} = 1 $$
类似地，
$$ y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \ 2 & 1 & -1 \ 1 & -3 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 2 & -1 & -1 \ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}} = \frac{-9}{9} = -1 $$
以及
$$ z = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \ 2 & -1 & 1 \ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 2 & -1 & -1 \ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}} = \frac{18}{9} = 2 $$
如果方程 E.7 中 $d_1 = d_2 = 0$ 会怎样？在这种情况下，我们发现 $x = y = 0$，这是一个显而易见的解，称为平凡解 (trivial solution)。齐次方程组获得非平凡解 (nontrivial solution) 的唯一方法是方程 E.9 和 E.10 中的分母为零，即
$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = 0 \quad \text{(E.11)} $$
在第十章中，当我们讨论乙烯 (ethene) 时，我们将遇到方程
$$ c_1(\alpha – E) + c_2\beta = 0 \ c_1\beta + c_2(\alpha – E) = 0 $$
其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是未知数（对应于方程 E.7 中的 $x$ 和 $y$），$\alpha$ 和 $\beta$ 是已知量，而 $E$ 是 $\pi$ 电子的能量。我们可以使用方程 E.11 来推导乙烯中 $\pi$ 电子能量的表达式。方程 E.11 说明，要存在非平凡解 ($c_1$, $c_2$)，我们必须有
$$ \begin{vmatrix} \alpha – E & \beta \ \beta & \alpha – E \end{vmatrix} = 0 $$
或 $(\alpha – E)^2 – \beta^2 = 0$。对两边取平方根并解出 $E$ 得到
$$ E = \alpha \pm \beta $$
尽管我们只考虑了两个联立齐次代数方程，但方程 E.11 很容易扩展到任意数量的方程。我们将在下一章中使用这个结果。
Q1. E-1. 计算行列式
$$ D = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \ -1 & 3 & 2 \ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$
将第 2 列加到第 1 列得到
$$ \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \ 2 & 3 & 2 \ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$
并计算其值。将结果与 $D$ 的值进行比较。现在将 $D$ 的第 2 行加到 $D$ 的第 1 行得到
$$ \begin{vmatrix} 1 & 4 & 3 \ -1 & 3 & 2 \ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$
并计算其值。将结果与上面的 $D$ 的值进行比较。 Q2. E-2. 交换问题 E-1 中 $D$ 的第 1 列和第 3 列，并计算所得行列式的值。将结果与 $D$ 的值进行比较。交换 $D$ 的第 1 行和第 2 行，并执行相同的操作。 Q3. E-3. 计算行列式
$$ D = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \ -2 & 4 & -2 \ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} $$
你能否通过观察确定其值？那么
$$ D = \begin{vmatrix} 2 & 6 & 1 \ -4 & 4 & -2 \ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} $$
呢？ Q4. E-4. 找到满足以下行列式方程的 x 值
$$ \begin{vmatrix} x & 1 & 1 & 1 \ 1 & x & 0 & 0 \ 1 & 0 & x & 0 \ 1 & 0 & 0 & x \end{vmatrix} = 0 $$
Q5. E-5. 找到满足以下行列式方程的 x 值
$$ \begin{vmatrix} x & 1 & 0 & 1 \ 1 & x & 1 & 0 \ 0 & 1 & x & 1 \ 1 & 0 & 1 & x \end{vmatrix} = 0 $$
Q6. E-6. 证明
$$ \begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \ \sin \theta & \cos \theta & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 $$
Q7. E-7. 使用克莱姆法则求解以下方程组
$$ x + y = 2 \ 3x - 2y = 5 $$
Q8. E-8. 使用克莱姆法则求解以下方程组
$$ x + 2y + 3z = -5 \ -x - 3y + z = -14 \ 2x + y + z = 1 $$
道格拉斯·哈特里 (Douglas Hartree)（左）和弗拉基米尔·福克 (Vladimir Fock)（右）在20 世纪 30 年代制定了一种计算原子（和分子）性质的近似方法，这种方法至今仍在使用。道格拉斯·哈特里于 1897 年 3 月 27 日出生于英国剑桥，并于 1958 年逝世。1926 年获得剑桥大学应用数学博士学位后，他于 1929 年至 1937 年担任曼彻斯特大学应用数学系主任，1937 年至 1946 年担任理论物理学教授。从 1946 年直到去世，他一直是剑桥大学数学物理学的普卢默教授。哈特里开创了计算机在英国研究中的应用。他发展了强大的数值分析方法，并将其应用于原子结构、弹道学、大气物理学和流体动力学等问题。哈特里还是一位出色的钢琴家和鼓手。弗拉基米尔·福克（也称福克）于 1898 年 12 月 22 日出生于彼得格勒（后来的列宁格勒，现为圣彼得堡），并于 1974 年逝世。他于 1922 年毕业于彼得格勒大学后，于 1924 年至 1936 年在列宁格勒物理技术研究所工作。1936 年至 1953 年，他在苏联科学院物理研究所工作，之后回到列宁格勒大学，一直工作到去世。福克概括了哈特里的方程，纳入了电子波函数在交换任意两个电子时必须反对称的事实（泡利不相容原理）。福克的研究领域包括量子电动力学、广义相对论和固态物理学。他成年后几乎完全失聪。