到目前为止，我们几乎只处理封闭量子系统的动力学，即量子系统不会与外界发生任何不必要的相互作用。尽管对于在此理想系统中原则上可实现的信息处理任务可以得出让人着迷的结论，但此观察受到如下事实的影响，即在现实世界中没有完全封闭的系统，除了整个宇宙。真实系统遭受与外界不必要的相互作用。这些不必要的相互作用在量子信息处理系统中显示为噪声。我们需要理解和控制这样的噪声过程，以便构建有用的量子信息处理系统。这是本书第三部分的中心主题，我们将从本章介绍的量子操作形式体系开始。这是一套强大的工具，使我们能够描述量子噪声和开放量子系统的行为。
开放与封闭系统的区别是什么？像某些机械钟表中出现的摆动单摆是一个近乎理想的封闭系统。单摆与外部世界——环境——的相互作用极为轻微，主要通过摩擦。尽管如此，为了恰当地描述单摆的整体动力学，以及为什么它最终停止运动，人们必须考虑空气阻尼的衰减效应，以及单摆悬挂构件的缺陷。类似地，没有量子系统是完全封闭的，尤其是量子计算机，它们必须被精细地编程以完成一些期望的操作。比方说，如果一个量子比特的态由一个电子的两个位置来代表，那么那个电子就会与其他带电粒子相互作用，并作为不可控的噪声根源影响量子比特的状态。一个开放系统不过就是与其他环境系统有相互作用的系统，我们希望忽略或平均掉环境的运动。
量子操作的数学形式体系是我们描述开放系统动力学的关键工具。这个工具极为强大，因为它可以同时应付各种物理场景。它不仅可用于描述与环境弱耦合的近乎封闭的系统，还可用于描述与其环境强耦合的系统，以及突然打开接受测量的封闭系统。量子操作在量子计算和量子信息应用中的另一个优点是特别适合描述离散态变化，即初状态 $\rho$ 和最终态 $\rho^{\prime}$ 之间的转换，而无须明确参照时间的推移。这种离散时间分析与物理学家传统上用于描述开放量子系统的工具（例如 ＂主方程＂＂郎之万方程＂和＂随机微分方程＂）有很大不同，这些工具往往是连续时间的描述。
本章的结构如下。我们从 8.1 节开始讨论如何在经典系统中描述噪声。通过理解经典噪声获得的直觉对学习如何思考量子操作和量子噪声是很宝贵的。 8.2 节从 3 个不同的角度介绍量子操作形式，使我们能够完全熟悉量子操作的基本理论。 8.3 节介绍几个使用量子操作的噪声的重要
例子。这包括诸如去极化，振幅阻尼和相位阻尼的示例。用布洛赫球解释理解单量子比特上的量子噪声的几何方法。 8.4 节解释量子操作的一些其他应用：量子操作与物理学家通常用来描述量子噪声的其他工具之间的联系，比如主方程；如何使用称为量子过程层析的步骤来实验确定量子系统所经历的动力学；并解释量子操作如何用来理解我们周围的世界似乎遵守经典物理学规则这一事实，虽然它实际上遵循量子力学定律。 8.5 节总结讨论量子操作形式体系作为描述量子系统中噪声的一般方法的局限性。
要理解量子系统中的噪声，通过理解经典系统中的噪声来建立一些直觉是有帮助的。那么我们应该如何在经典系统中模拟噪声呢？让我们通过一些简单的例子来理解如何完成此事，还有量子系统中的噪声能告诉我们什么。
想象一下，一个比特存储在硬盘驱动器上，它与普通经典计算机相连。该比特从状态 0 或 1开始，但经过很长一段时间后，散乱的磁场很可能会导致比特被扰乱，可能会翻转其状态。我们可以通过该比特翻转的概率 $p$ 和该比特保持不变的概率 $1-p$ 来对此进行建模。此过程如图 8－1所示。
图8－1 长时间后，存储于硬盘的一个比特有可能会以概率 $p$ 翻转 当然，真正发生的是环境包含的磁场会导致比特翻转。为了找出该比特翻转的概率 $p$ ，我们需要理解两件事。首先，我们需要环境中磁场分布的模型。假设硬盘驱动器的用户没有做任何虽事，比如在磁盘驱动器附近运行强磁铁，那么我们可以在类似驱动器运行的环境中对磁场进行采样来构建逼真的模型。其次，我们需要一个有关环境中的磁场将如何与硬盘上的比特相互作用的模型。幸运的是，此模型对物理学家来说是众所周知的，它叫作＂麦克斯韦方程＂。有了这两者在手，我们原则上能计算在一段规定的时间内在驱动器上发生比特翻转的概率 $p$ 。
这个基本程序——寻找环境及系统－环境相互作用的模型——是我们在经典和量子噪声研究中反复遵循的程序。与环境的相互作用是经典和量子系统中噪声的基本来源。找到环境或系统－环境相互作用的精确模型通常并不容易；然而，通过在建模中保持谨慎，并仔细研究系统的观测特性以确定它是否满足我们的模型，可以获得高度准确的在真实物理系统中的噪声模型。
可以用一个方程简洁地总结硬盘中单比特的行为。假设 $p_{0}$ 和 $p_{1}$ 是比特分别处于状态 0 和 1的初始概率。令 $q_{0}$ 和 $q_{1}$ 为噪声发生后相应的概率。设 $X$ 为该比特的初始状态，$Y$ 为该比特的最终状态。于是总概率定律（附录 A）为
$$ \begin{equation*} p(Y=y)=\sum_{x} p(Y=y \mid X=x) p(X=x) \tag{8.1} \end{equation*} $$
条件概率 $p(Y=y \mid X=x)$ 被称为转换概率，因为它总结了系统中会发生的变化。把这些有关硬盘上比特的方程明确地写出来，我们有
$$ \left[\begin{array}{l} q_{0} \tag{8.2}\\ q_{1} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1-p & p \\ p & 1-p \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} p_{0} \\ p_{1} \end{array}\right] $$
让我们看一下经典系统中一个稍复杂的噪声例子。想象一下，我们正在尝试构建一个经典电路来执行一些计算任务。不幸的是，一些用来构建电路的组件是有缺陷的。我们的电路包含一个输入比特 $X$ ，紧接着对它施加两个（有故障的）非门，产生中间比特 $Y$ 和最终的比特 $Z$ 。假设第二个门与第一个门是否正常工作是相互独立的，这看起来是合理的。这种假设——连续噪声过程各自独立地产生作用——在许多情况下在物理上是合理的。它会引发一种被称为马尔可夫过程的特殊类型的随机过程 $X \rightarrow Y \rightarrow Z$ 。物理上，马尔可夫性这种假设对应于引起第一个非门中的噪声环境独立于引起第二个非门中的噪声环境，一种可能的情形是，逻辑门在空间中相隔很远的距离。
总而言之，经典系统中的噪声可以用随机过程理论来描述。通常，在分析多阶段过程时，使用马尔可夫过程是一个很好的假设。对于单阶段过程，输出概率 $\vec{q}$ 通过等式与输人概率 $\vec{p}$ 联系起来
$$ \begin{equation*} \vec{q}=E \vec{p} \tag{8.3} \end{equation*} $$
其中 $E$ 是转移概率的矩阵，我们把它称为演化矩阵。因此，系统的末态与初态线性地联系起来。这个线性的特性在量子噪声描述中也有，其中用密度矩阵代替了概率分布。
演化矩阵 $E$ 必须具备哪些属性呢？我们要求如果 $\vec{p}$ 是有效的概率分布，那么 $E \vec{p}$ 也必须是有效的概率分布。满足这个条件结果等价于对 $E$ 的两个条件。首先，$E$ 的所有条目必须是非负的，这被称为正定性要求。否则就有可能在 $E \vec{p}$ 中出现负概率。其次，$E$ 的所有列必须总和为 1 ，这被称为完备性要求。假设这不成立。想象一下，假如第一列之和不为 1 。让 $\vec{p}$ 在第一个条目为 1 ，而在其他地方都为零，我们看到 $E \vec{p}$ 在此情况下不是有效的概率分布。
总而言之，经典噪声的关键特征如下：输入和输出概率之间存在线性关系，由所有项非负 （正定性）且列总和为一（完备性）的转移矩阵来描述。涉及多个阶段的经典噪声过程由马尔可夫过程描述，前提是噪声由独立的环境引起。这些关键特征中的每一个在量子噪声理论中都有重要的类似物。当然，还有一些令人惊讶的量子噪声新特性！
量子操作形式体系是描述量子系统在各种情况下演化的一般工具，包括量子态的随机演化，就像马尔可夫过程描述经典态的随机变化一样。正如经典态由概率矢量描述那样，我们会用密度算子（密度矩阵）$\rho$ 来描述量子态，有关它的特性，在开始阅读本章之前，你也许需要重读 2.4 节
回顾一下。类似于式（8.3）描述的经典态如何变换，量子态的变换为
$$ \begin{equation*} \rho^{\prime}=\mathcal{E}(\rho) \tag{8.4} \end{equation*} $$
此方程中的映射 $\mathcal{E}$ 是一个量子操作。在第 2 章，我们遇到过两个量子操作的例子，酉变换和测量，分别为 $\mathcal{E}(\rho)=U \rho U^{\dagger}$ 和 $\mathcal{E}_{m}(\rho)=M_{m} \rho M_{m}^{\dagger}$（见下面的习题 8.1 和习题 8.2 ）。量子操作抓住了一个态由于某些物理过程所产生的动力学改变；$\rho$ 是物理过程之前的初态，而 $\mathcal{E}(\rho)$ 是过程发生后的末态，有可能再加上一些归一化因子。
在接下来的几节中，我们会发展一个包含酉演化，测量，甚至更一般过程的量子操作的一般理论！我们将开发 3 种不同的理解量子操作的方法，如图 8－2 所示，所有这些方法都是等效的。第一种方法基于研究动力学是系统和环境之间相互作用的结果这一想法，就像 8.1 节中描述的经典噪声那样。这种方法具体且易于与现实世界联系。不幸的是，它有数学上不方便的缺点。我们的第二种理解量子操作的方法与第一种完全等价，提供了一个强大的量子操作的数学表示，即算子和表示，从而解决了这个数学上的不便。此方法很抽象，但是对计算和理论工作非常有用。我们对量子操作的第三种方法与其他两种等价，是一系列带有物理动机的公理，我们希望量子力学中动态映射能满足。此方法的优点在于它极具一般性——它表明量子动力学将能在极为广泛的情形下被量子操作所描述。尽管如此，它无法提供如同第二种方法那样的计算上的便利性，也不像第一种那样具备具体的特性。总之，这三种量子操作方法提供了一种强大的工具，可用来理解量子噪声及其影响。
图 8－2 三种等价的量子操作方法，但依赖于预期的应用有不同的优势
习题 8.1 （作为量子操作的西演化）纯态在西变换下的演化为 $|\psi\rangle \rightarrow U|\psi\rangle$ 。证明可以等价地写出对 $\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$ ，有 $\rho \rightarrow \mathcal{E}(\rho) \equiv U \rho U^{\dagger}$ 。
习题8.2（作为量子操作的测量）回顾一下2.2.3节，输出标记为 $m$ 的量子测量由一组测量算子 $M_{m}$ 来描述，且 $\sum_{m} M_{m}^{\dagger} M_{m}=I_{\circ}$ 令系统在测量前的瞬时状态为 $\rho_{\circ}$ 。证明对于 $\mathcal{E}_{m}(\rho) \equiv M_{m} \rho M_{m}^{\dagger}$ ，系统在测量之后的瞬间状态为
$$ \begin{equation*} \frac{\mathcal{E}_{m}(\rho)}{\operatorname{tr}\left(\mathcal{E}_{m}(\rho)\right)} \tag{8.5} \end{equation*} $$
同时证明获得此测量结果的概率为 $p(m)=\operatorname{tr}\left(\mathcal{E}_{m}(\rho)\right)$ 。
封闭量子系统的动力学由一个西变换所描述。从概念上而言，我们可以把西变换想象为一个盒子，输入态进人它，而输出态从中出来，如图 8－3 的左边所示。对我们而言，盒子内部的工作原理我们并不关心；它可以通过量子电路或某些哈密顿量系统，乃至其他任何东西实现。
描述开放量子系统动力学的一种自然方式是将其视为由感兴趣的系统（我们称之为主系统）与环境之间的相互作用产生，它们共同形成一个封闭的量子系统，如图 8－3 的右侧所示。换句话说，假设我们有一个处于状态 $\rho$ 的系统，它被发送到一个与环境耦合的盒子中。通常系统的最终状态 $\mathcal{E}(\rho)$ 可能与初始态 $\rho$ 的西变换无关。我们假设（现在）系统－环境的输人状态是一个直积态 $\rho \otimes \rho_{\text {env }}$ 。在方框中的 $U$ 转换之后，系统不再与环境交互，因此我们对环境求偏迹以获得约化后的系统状态：
$$ \begin{equation*} \mathcal{E}(\rho)=\operatorname{tr}_{\text {env }}\left[U\left(\rho \otimes \rho_{\text {env }}\right) U^{\dagger}\right] \tag{8.6} \end{equation*} $$
当然，如果 $U$ 不包含任何与环境的相互作用，那么 $\mathcal{E}(\rho)=\tilde{U} \rho \tilde{U}^{\dagger}$ ，其中 $\tilde{U}$ 是 $U$ 的一部分，只作用于系统上。式（8.6）是我们 3 个等价的量子操作定义中的第一种。
图 8－3 封闭（左）与开放（右）量子系统的模型。一个开放量子系统包含两部分，主系统与环境 这个定义中做了一个重要的假设——我们假定系统和环境始于直积态。当然，总的来说事实并非如此。量子系统与其环境不断相互作用，建立关联。它的一种表现方式是系统与其环境之间的热交换。留给自己的量子系统将弛豫到与其环境相同的温度，从而导致两者之间存在关联。然而，在许多有实际意义的情况下，假设系统及其环境始于直积态是合理的。当实验者在指定状态下准备量子系统时，他们会消去该系统与环境之间所有的关联。在理想情况下，关联将被完全破坏，使系统处于纯状态。即使不是这种情况，我们稍后会看到，量子操作形式体系甚至可以描述系统和环境不是从直积态开始时的量子动力学。
可能出现的另一个问题是：如果环境具有几乎无限的自由度，如何确定 $U$ 。事实证明，非常有趣的是，为使这个模型正确描述任何可能的变换 $\rho \rightarrow \mathcal{E}(\rho)$ ，如果主系统具有 $d$ 维的希尔伯特空间，那么将环境在不超过 $d^{2}$ 维的希尔伯特空间中建模就够了。事实上，环境不需要以混合状态开始；一个纯态就行。我们将在 8.2.3 节中返回这些要点。
作为式（8.6）应用的一个具体例子，考虑图 8－4 所示两量子比特量子电路，其中 $U$ 是受控非门，主系统为控制比特，而环境作为目标比特初始时处于 $\rho_{\mathrm{env}}=|0\rangle\langle 0|$ 。代人式（8.6），很容易看到
$$ \begin{equation*} \mathcal{E}(\rho)=P_{0} \rho P_{0}+P_{1} \rho P_{1} \tag{8.7} \end{equation*} $$
其中，$P_{0}=|0\rangle\langle 0|$ 和 $P_{1}=|1\rangle\langle 1|$ 是投影算子。直觉上，此运动会发生，因为只有当系统处于 $|0\rangle$时环境会待在 $|0\rangle$ 态；否则环境会被翻转到 $|1\rangle$ 态。在下一节中，作为算子和表示的一个例子，我
们给出此方程的推导过程。
图 8－4 作为单比特量子操作的一个基本例子的受控非门 我们已经把量子操作描述为随着主系统与环境的相互作用而出现；尽管如此，把此定义推广到某些允许不同的输人与输出空间的情形会更便利。比如，想象一个单量子比特，我们记为 $A$ ，被制备到某未知态 $\rho_{\circ}$ 一个三能级量子系统（qutrit）记为 $B$ ，被制备到某个标准态 $|0\rangle$ ，然后与系统 $A$ 通过 $U$ 相互作用，导致这个联合系统演化到态 $U(\rho \otimes|0\rangle\langle 0|) U^{\dagger}$ 。然后我们忽略系统 $A$ ，让系统 $B$ 处于某个最终态 $\rho^{\prime}$ 。根据定义，描述此过程的量子操作 $\mathcal{E}$ 为
$$ \begin{equation*} \mathcal{E}(\rho)=\rho^{\prime}=\operatorname{tr}_{A}\left(U(\rho \otimes|0\rangle\langle 0|) U^{\dagger}\right) \tag{8.8} \end{equation*} $$
注意 $\mathcal{E}$ 把输人系统 $A$ 的密度算子映射到输出系统 $B$ 的密度算子上。下面大部分有关量子操作的讨论都着眼于某系统 $A$ 上，也就是，它们会把系统 $A$ 的密度算子映射到系统 $A$ 的密度算子。尽管如此，在应用中允许更一般的定义有时也是很有用的。此定义由将量子操作定义为以下过程产生的映射类而提供：一些初始系统被制备到末知量子态 $\rho$ ，然后与制备到标准态的其他系统接触，可以根据一些西相互作用而互相影响，然后丢弃复合系统的某些部分，只剩下最终系统处于某状态 $\rho^{\prime}$ 。定义这个过程的量子操作 $\mathcal{E}$ 简单地将 $\rho$ 映射到 $\rho^{\prime}$ 。我们将看到，这种推广使得不同的输入和输出空间与我们用算子和表示处理的量子操作，以及我们的公理研究自然融合。无论如何，在大多数情况下这都会简化讨论：我们假设量子操作的输人和输出空间是相同的，并使用在一般情况下消失的＂主系统＂和＂环境＂以方便区分；偶尔练习，以便输人和输出空间不同时给出必要的推广。
量子操作可以用一种称为算子和表示的优雅形式来表示，它本质上是根据主系统的希尔伯特空间上的算子明确地重新表达式（8.6）。主要结果通过以下简单计算得出。设 $\left|e_{k}\right\rangle$ 是环境（有限维）状态空间的标准正交基，令 $\rho_{\mathrm{env}}$ 是环境的初始状态。不失一般性，可以假设环境以纯态开始，因为如果它以混合态开始，我们总可以引人额外的系统来纯化（ 2.5 节）。虽然这个额外的系统是＂虚构的＂，但它对主系统所经历的动力学没有影响，因此可以用作计算的中间步骤。式（8.6）于是可以重写为
$$ \begin{align*} \mathcal{E}(\rho) & =\sum_{k}\left\langle e_{k}\right| U\left[\rho \otimes\left|e_{0}\right\rangle\left\langle e_{0}\right|\right] U^{\dagger}\left|e_{k}\right\rangle \tag{8.9}\\ & =\sum_{k} E_{k} \rho E_{k}^{\dagger} \tag{8.10} \end{align*} $$
其中 $E_{k} \equiv\left\langle e_{k}\right| U\left|e_{0}\right\rangle$ 是作用于主系统态空间中的一个算子。式（8.10）被称为算子和表示 $\mathcal{E}_{\circ}$ 。算子 $\left\{E_{k}\right\}$ 被称为量子操作 $\mathcal{E}$ 的操作元。算子和表示是重要的；它将会在本书以后的部分中不断用到。
操作元满足称为完备性关系的重要约束，类似于经典噪声的描述中演化矩阵的完备性关系。在经典案例中，完备性关系源于概率分布被归一化的要求。在量子情形中，完备性关系源于 $\mathcal{E}(\rho)$的迹等于 1 这个类似的限制，
$$ \begin{align*} 1 & =\operatorname{tr}(\mathcal{E}(\rho)) \tag{8.11}\\ & =\operatorname{tr}\left(\sum_{k} E_{k} \rho E_{k}^{\dagger}\right) \tag{8.12}\\ & =\operatorname{tr}\left(\sum_{k} E_{k}^{\dagger} E_{k} \rho\right) \tag{8.13} \end{align*} $$
既然这个关系对于所有 $\rho$ 都成立，于是必然有
$$ \begin{equation*} \sum_{k} E_{k}^{\dagger} E_{k}=I \tag{8.14} \end{equation*} $$
保迹的量子操作满足这个方程。也存在非保迹的量子操作，对它们有 $\sum_{k} E_{k}^{\dagger} E_{k} \leqslant I$ ，但在其描述的过程中发生了什么额外信息是由测量获得的，我们简短地解释一下细节。形如式（8.10）的映射 $\mathcal{E}$（其中 $\sum_{k} E_{k}^{\dagger} E_{k} \leqslant I$ ）给我们提供了量子操作的第二种定义。我们接下来证明此定义实际上与第一种式（8.6）等价，且实际上更为一般，因为它适用于非保迹的操作。我们将会经常在这两个定义之间来回移动，从上下文中应该清楚我们当时在使用哪种定义。
习题 8.3 我们对算子和表示的推导隐含地假设了操作的输人和输出空间是相同的。假设初始时一个复合系统 $A B$ 初始化到一个未知的量子态 $\rho$ ，它与另一个初始化为标准态 $|0\rangle$ 的复合系统 $C D$接触，且这两个系统按照一个酉相互作用 $U$ 互相影响。作用之后，我们丢弃系统 $A$ 和 $D$ ，留下系统 $B C$ 的态 $\rho^{\prime}$ 。对于从系统 $A B$ 的态空间到系统 $B C$ 的态空间的一些线性算子集合 $E_{k}$ ，证明映射 $\mathcal{E}(\rho)=\rho^{\prime}$ 满足
$$ \begin{equation*} \mathcal{E}(\rho)=\sum_{k} E_{k} \rho E_{k}^{\dagger} \tag{8.15} \end{equation*} $$
算子和表示很重要，因为它为我们提供了表征主系统动力学的内在手段。算子和表示描述了主系统的动力学，而无须明确考虑环境的属性；我们需要知道的所有内容都包含在算子 $E_{k}$ 中，它仅作用于主系统。这简化了计算并且常常提供了相当多的理论见解。不仅如此，许多不同的环境相互作用可能会在主系统上产生相同的动力学。如果感兴趣的仅是主系统的动力学，那么选择动力学的表示是有意义的，它不包括关于其他系统的不重要信息。
在本节的其余部分，我们将探索算子和表示的特性，特别是三个特征。首先，我们根据操作元 $E_{k}$ 给它一个物理解释。由此产生的自然问题是如何确定任何开放量子系统的算子和表示（例如，给定系统－环境相互作用或其他特征）。在下面讨论的第二个主题中对此问题，以及与之相反的如何为任意算子和表示构建开放量子系统模型，给出了回答。
习题 8.4 （测量）假设我们有一个量子比特的主系统，通过如下变换与另一个量子比特环境相互作用，
$$ \begin{equation*} U=P_{0} \otimes I+P_{1} \otimes X \tag{8.16} \end{equation*} $$
其中 $X$ 是泡利矩阵（作用于环境），而 $P_{0} \equiv|0\rangle\langle 0|, P_{1} \equiv|1\rangle\langle 1|$ 是投影算子（作用于系统）。在算子和表示中，给出此过程的量子操作，假设环境从 $|0\rangle$ 开始。
习题8.5（自旋翻转）如同前一个习题那样，不过现在令
$$ \begin{equation*} U=\frac{X}{\sqrt{2}} \otimes I+\frac{Y}{\sqrt{2}} \otimes X \tag{8.17} \end{equation*} $$
给出此过程的用算子和表示的量子操作。 习题 8.6 （量子操作的组合）假设 $\mathcal{E}$ 和 $\mathcal{F}$ 是作用在同一个量子系统的量子操作。证明组合 $\mathcal{F} \circ \mathcal{E}$是一个量子操作，在某种意义上它有一个算子和表示。表述并证明该结果可以扩展到 $\mathcal{E}$ 和 $\mathcal{F}$ 没有相同输人与输出空间的情况。
可以给算子和表示一个很好的解释。想象一下，在施加西变换 $U$ 之后，在基矢 $e_{k}$ 上执行对环境的测量。应用隐式测量原理，我们发现这种测量只影响环境的状态，而不会改变主系统的状态。假设结果 $k$ 出现，那就让 $\rho_{k}$ 成为主系统的状态，于是
$$ \begin{align*} \rho_{k} \propto \operatorname{tr}_{E}\left(\left|e_{k}\right\rangle\left\langle e_{k}\right| U\left(\rho \otimes\left|e_{0}\right|\right) U^{\dagger}\left|e_{k}\right\rangle\left\langle e_{k}\right|\right) & =\left\langle e_{k}\right| U\left(\rho \otimes\left|e_{0}\right\rangle\left\langle e_{0}\right|\right) U^{\dagger}\left|e_{k}\right\rangle \tag{8.18}\\ & =E_{k} \rho E_{k}^{\dagger} \tag{8.19} \end{align*} $$
归一化 $\rho_{k}$ ：
$$ \begin{equation*} \rho_{k}=\frac{E_{k} \rho E_{k}^{\dagger}}{\operatorname{tr}\left(E_{k} \rho E_{k}^{\dagger}\right)} \tag{8.20} \end{equation*} $$
我们发现结果 $k$ 出现的概率为
$$ \begin{align*} p(k) & =\operatorname{tr}\left(\left|e_{k}\right\rangle\left\langle e_{k}\right| U\left(\rho \otimes\left|e_{0}\right\rangle\left\langle e_{0}\right|\right) U^{\dagger}\left|e_{k}\right\rangle\left\langle e_{k}\right|\right) \tag{8.21}\\ & =\operatorname{tr}\left(E_{k} \rho E_{k}^{\dagger}\right) \tag{8.22} \end{align*} $$
因此
$$ \begin{equation*} \mathcal{E}(\rho)=\sum_{k} p(k) \rho_{k}=\sum_{k} E_{k} \rho E_{k}^{\dagger} \tag{8.23} \end{equation*} $$
这给我们提供了一个美妙的物理解释，用于操作元 $\left\{E_{k}\right\}$ 的量子操作。量子操作的作用相当于选取态 $\rho$ ，然后以概率 $\operatorname{tr}\left(E_{k} \rho E_{k}^{\dagger}\right)$ 用 $E_{k} \rho E_{k}^{\dagger} / \operatorname{tr}\left(E_{k} \rho E_{k}^{\dagger}\right)$ 随机地替换它。在此意义上，这与经典信息论中噪声通信信道的概念很相似；在这种情况下，我们有时会将描述量子噪声过程的某些量子操作看成有噪声的量子信道。
基于图 8－4 的一个简单的例子说明了算子和表示的这个诠释。假设我们选择态 $e_{k}=\left|0_{E}\right\rangle$ 和 $\left|1_{E}\right\rangle$ ，其中包含了下标 $E$ ，以便明确表示这个态是环境的状态。这可以解释为在环境量子比特的计算基础上进行测量，如图 8－5 所示。当然，进行这样的测量不会改变主系统的状态。使用下标 $P$ 表示主系统，受控非可以被推广为
$$ \begin{equation*} U=\left|0_{P} 0_{E}\right\rangle\left\langle 0_{P} 0_{E}\right|+\left|0_{P} 1_{E}\right\rangle\left\langle 0_{P} 1_{E}\right|+\left|1_{P} 1_{E}\right\rangle\left\langle 1_{P} 0_{E}\right|+\left|1_{P} 0_{E}\right\rangle\left\langle 1_{P} 1_{E}\right| \tag{8.24} \end{equation*} $$
于是
$$ \begin{align*} & E_{0}=\left\langle 0_{E}\right| U\left|0_{E}\right\rangle=\left|0_{P}\right\rangle\left\langle 0_{P}\right| \tag{8.25}\\ & E_{1}=\left\langle 1_{E}\right| U\left|0_{E}\right\rangle=\left|1_{P}\right\rangle\left\langle 1_{P}\right| \tag{8.26} \end{align*} $$
且因此有
$$ \begin{equation*} \mathcal{E}(\rho)=E_{0} \rho E_{0}+E_{1} \rho E_{1} \tag{8.27} \end{equation*} $$
与式（8.7）一致。
图 8－5 作为单量子比特测量的一个基本模型的受控非门
给出一个开放量子系统的表示，我们如何能确定其动力学的算子和表示呢？我们已经发现了一种答案：给出系统－环境变换操作 $U$ ，以及一组环境的基 $\left|e_{k}\right\rangle$ ，操作元为
$$ \begin{equation*} E_{k} \equiv\left\langle e_{k}\right| U\left|e_{0}\right\rangle \tag{8.28} \end{equation*} $$
通过允许在西相互作用之后对组合系统环境执行测量，有可能进一步扩展该结果，进而可以获取关于量子状态的信息。事实证明，这种物理上的可能性自然地与非保迹的量子操作相关联，即映射 $\mathcal{E}(\rho)=\sum_{k} E_{k} \rho E_{k}^{\dagger}$ ，其中 $\sum_{k} E_{k}^{\dagger} E_{k} \leqslant I_{\text {。 }}$
假设主系统初始时处于态 $\rho$ 。为方便起见，我们用字母 $Q$ 来标记主系统。与之相邻的是环境系统 $E$ 。我们假设 $Q$ 和 $E$ 最初是相互独立的系统，且 $E$ 以某标准态 $\rho$ 开始。系统的联合态因而最初为
$$ \begin{equation*} \rho^{Q E}=\rho \otimes \sigma \tag{8.29} \end{equation*} $$
我们假设系统间按照某些西相互作用 $U$ 互相影响。在西相互作用之后，在联合系统上进行投影测量，由投影算子 $P_{m}$ 描述。不进行测量的情况对应于仅存在单个测量结果的特殊情况，$m=0$ ，它对应于投影算子 $P_{0} \equiv I$ 。
图 8－6 总结了各种情形。我们的目标是确定作为初态 $\rho$ 的函数的 $Q$ 的末态。当测量结果 $m$出现时，$Q E$ 的末态写为
$$ \begin{equation*} \frac{P_{m} U(\rho \otimes \sigma) U^{\dagger} P_{m}}{\operatorname{tr}\left(P_{m} U(\rho \otimes \sigma) U^{\dagger} P_{m}\right)} \tag{8.30} \end{equation*} $$
对 $E$ 取迹我们发现单独 $Q$ 的末态为
$$ \begin{equation*} \frac{\operatorname{tr}_{E}\left(P_{m} U(\rho \otimes \sigma) U^{\dagger} P_{m}\right)}{\operatorname{tr}\left(P_{m} U(\rho \otimes \sigma) U^{\dagger} P_{m}\right)} \tag{8.31} \end{equation*} $$
这个末态的表示包含了环境的初态 $\sigma$ ，相互作用 $U$ 和测量算子 $P_{m}$ 。定义一个映射
$$ \begin{equation*} \mathcal{E}_{m}(\rho) \equiv \operatorname{tr}_{E}\left(P_{m} U(\rho \otimes \sigma) U^{\dagger} P_{m}\right) \tag{8.32} \end{equation*} $$
因此 $Q$ 自身的末态为 $\mathcal{E}_{m}(\rho) / \operatorname{tr}\left(\mathcal{E}_{m}(\rho)\right)$ 。注意 $\operatorname{tr}\left[\mathcal{E}_{m}(\rho)\right]$ 是测量结果 $m$ 发生的概率。令 $\sigma=$ $\sum_{j} q_{j}|j\rangle\langle j|$ 为对 $\sigma$ 系综展开。引人系统 $E$ 的正交基 $\left|e_{k}\right\rangle$ 。注意到
$$ \begin{align*} \mathcal{E}_{m}(\rho) & =\sum_{j k} q_{j} \operatorname{tr}_{E}\left(\left|e_{k}\right\rangle\left\langle e_{k}\right| P_{m} U(\rho \otimes|j\rangle\langle j|) U^{\dagger} P_{m}\left|e_{k}\right\rangle\left\langle e_{k}\right|\right) \tag{8.33}\\ & =\sum_{j k} E_{j k} \rho E_{j k}^{\dagger} \tag{8.34} \end{align*} $$
其中
$$ \begin{equation*} E_{j k} \equiv \sqrt{q_{j}}\left\langle e_{k}\right| P_{m} U|j\rangle \tag{8.35} \end{equation*} $$
此方程是式（8.10）的推广，如果 $E$ 的初态 $\sigma$ 是已知的，且 $Q$ 与 $E$ 之间的动力学也是已知的，那么它还给出了计算算子和表示 $\mathcal{E}$ 中出现的算子的一个具体的方法。量子操作 $\mathcal{E}_{m}$ 可以被想象为某种测量过程，从而推广了第 2 章中所描述的测量。
图 8－6 量子操作的环境模型 习题 8.7 假设我们不对组合起来的主系统与环境做投影测量，而是完成一个由测量算子 $\left\{M_{m}\right\}$描述的一般性测量。找到主系统量子操作 $\mathcal{E}_{m}$ 相应的算子和表示，并证明相应的测量概率为 $\operatorname{tr}[\mathcal{E}(\rho)]$ 。
我们已经证明，相互作用的量子系统以自然的方式产生了量子操作的算子和表示。反过来呢？给定一组算子 $\left\{E_{k}\right\}$ ，是否存在一些合理的环境系统和动力学模型，它们会产生带有这些操作元的量子操作？＂合理＂是指动力学必须是西演化或投射测量。在这里，我们将展示如何构建这样的模型。我们将仅展示如何为将输人空间映射到相同输出空间的量子操作做到这一点，尽管主要是把构造推广为更一般情况的符号问题。特别地，我们证明对于任何保迹或非保迹量子操作 $\mathcal{E}$ ，具有操作元 $\left\{E_{k}\right\}$ ，存在一个从纯态 $\left|e_{0}\right\rangle$ 开始的模型环境 $E$ ，且模型动力学由一个西算子 $U$和从 $P$ 到 $E$ 的投影算子所确定，即为
$$ \begin{equation*} \mathcal{E}(\rho)=\operatorname{tr}_{E}\left(P U\left(\rho \otimes\left|e_{0}\right\rangle\left\langle e_{0}\right|\right) U^{\dagger} P\right) \tag{8.36} \end{equation*} $$
为了看出这点，首先假定 $\mathcal{E}$ 是一个保迹的量子操作，具有由操作元 $\left\{E_{k}\right\}$ 生成的算子和表示。操作元满足完备性关系 $\sum_{k} E_{k}^{\dagger} E_{k}=I$ ，因此我们只需要尝试找到一个合适的酉算子 $U$ 来对动力学建模。令 $\left|e_{k}\right\rangle$ 为 $E$ 的正交基集合，与算子 $E_{k}$ 的指标 $k$ 一一对应。注意根据定义 $E$ 有这种基；我们尝试找到一个模型环境，它产生的动力学由操作元 $\left\{E_{k}\right\}$ 来描述。定义一个算子 $U$ ，它对形如 $|\psi\rangle\left|e_{0}\right\rangle$ 的态具有如下效应：
$$ \begin{equation*} U|\psi\rangle\left|e_{0}\right\rangle \equiv \sum_{k} E_{k}|\psi\rangle\left|e_{k}\right\rangle \tag{8.37} \end{equation*} $$
其中 $\left|e_{0}\right\rangle$ 仅仅是模型环境的某些标准态。注意对主系统的任意态 $|\psi\rangle$ 和 $|\varphi\rangle$ ，根据完备性关系有
$$ \begin{equation*} \langle\psi|\left\langle e_{0}\right| U^{\dagger} U|\varphi\rangle\left|e_{0}\right\rangle=\sum_{k}\langle\psi| E_{k}^{\dagger} E_{k}|\varphi\rangle=\langle\psi \mid \varphi\rangle \tag{8.38} \end{equation*} $$
因此算子 $U$ 可以被扩展为一个作用于复合系统整个态空间的西算子。很容易验证
$$ \begin{equation*} \operatorname{tr}_{E}\left(U\left(\rho \otimes\left|e_{0}\right\rangle\left\langle e_{0}\right|\right) U^{\dagger}\right)=\sum_{k} E_{k} \rho E_{k}^{\dagger} \tag{8.39} \end{equation*} $$
因而此模型提供了基于操作元 $\left\{E_{k}\right\}$ 的量子操作 $\mathcal{E}$ 的一种物理实现。专题 8.1 中阐述了此结果。 非保迹的量子操作可以沿用相同电路构造很容易地建模（习题 8.8 ）。此构造更为有趣的推广是如下情形：量子操作 $\left\{\mathcal{E}_{m}\right\}$ 对应于来自测量的各种可能的输出。因此量子操作 $\sum_{m} \mathcal{E}_{m}$ 是保迹的，因为对所有可能的输人 $\rho$ ，不同输出结果的概率和为 $1,1=\sum_{m} p(m)=\operatorname{tr}\left[\left(\sum_{m} \mathcal{E}_{m}\right)(\rho)\right]$ 。见下面的习题 8.9 。 习题8.8（非保迹量子操作）讲解一下如何通过在操作元集合 $E_{k}$ 中引入一个额外的算子 $E_{\infty}$ ，对一个非保迹操作的系统－环境模型构造出一个西算子。当所有 $k$ 的集合求和，包括 $k=\infty$ ，通过适当的选择人们得到 $\sum_{k} E_{k}^{\dagger} E_{k}=I$ 。 习题8.9（测量模型）如果我们有一个量子操作集合 $\left\{\mathcal{E}_{m}\right\}$ ，使得 $\sum_{m} \mathcal{E}_{m}$ 是保迹的，那么有可能构建一个测量模型，从中产生这个量子操作集合。对每个 $m$ ，令 $E_{m k}$ 是 $\mathcal{E}_{m}$ 的一组操作元。引人一个环境系统 $E$ ，具有正交的基 $|m, k\rangle$ ，与操作元的角标集合一一对应。类似于早前的构造，
定义一个算子 $U$ 使得
$$ \begin{equation*} U|\psi\rangle\left|e_{0}\right\rangle=\sum_{m k} E_{m k}|\psi\rangle|m, k\rangle \tag{8.40} \end{equation*} $$
下一步，定义作用于环境系统 $E$ 的投影算子 $P_{m} \equiv \sum_{k}|m, k\rangle\langle m, k|$ 。证明，在 $\rho \otimes\left|e_{0}\right\rangle\left\langle e_{0}\right|$ 上施加 $U$ ，然后测量 $P_{m}$ 给出 $m$ ，概率为 $\operatorname{tr}\left(\mathcal{E}_{m}(\rho)\right)$ ，相应的主系统测量后的状态为 $\mathcal{E}_{m}(\rho) / \operatorname{tr}\left(\mathcal{E}_{m}(\rho)\right)$ 。
给出一个以算子和表示写出的保迹的量子操作， $\mathcal{E}(\rho)=\sum_{k} E_{k} \rho E_{k}^{\dagger}$ ，我们能以如下方式为它构建一个物理模型。由式（8.10），我们希望 $U$ 满足
$$ \begin{equation*} E_{k}=\left\langle e_{k}\right| U\left|e_{0}\right\rangle \tag{8.41} \end{equation*} $$
其中 $U$ 是某酉算子，而 $\left|e_{k}\right\rangle$ 是环境的正交基矢。此 $U$ 可以方便地通过基矢为 $\left|e_{k}\right\rangle$ 的方块矩阵来表示：
$$ U=\left[\begin{array}{ccccc} {\left[E_{1}\right]} & \cdot & . & . & \ldots \tag{8.42}\\ {\left[E_{2}\right]} & \cdot & \cdot & . & \ldots \\ {\left[E_{3}\right]} & \cdot & \cdot & . & \ldots \\ {\left[E_{4}\right]} & \cdot & . & . & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \end{array}\right] $$
注意，操作元 $E_{k}$ 只决定了此矩阵的第一列（与其他地方不同，在这里为了方便起见，状态的第一个标记为环境，而第二个标记是主系统）确定此矩阵的其他部分就留给我们；我们直接选取矩阵元使得 $U$ 是酉的。注意根据第 4 章的结果，$U$ 可以通过一个量子电路来实现。
到目前为止，我们研究量子操作的主要动机是它提供了一种优雅的方法，用于研究与环境相互作用的系统。现在我们将会转换到不同的视角，从而尝试写出我们预计量子操作将会遵循的，由物理启发的公理。此视角比我们早先的，基于具体系统一环境模型的方法更为抽象，但也因此而极为强大。
我们要以如下的方式继续推进。首先，我们将忘记我们所学到的关于量子操作的一切，基于一组公理从定义量子操作开始。我们将从物理角度证明这些公理。完成之后，我们将证明当且仅当映射 $\mathcal{E}$ 具有算子和表示时满足这些公理，从而给抽象的公理化形式和我们之前的讨论之间提供所缺失的联系。
我们定义一个量子操作 $\mathcal{E}$ ，它从输人空间 $Q_{1}$ 的密度算子集合映射到输出空间 $Q_{2}$ ，同时具有如下三个公理化的特性：（注意为了标记的简洁，在证明中我们选取 $Q_{1}=Q_{2}=Q_{\circ}$ ） －A1：首先， $\operatorname{tr}[\mathcal{E}(\rho)]$ 是当 $\rho$ 为初态时， $\mathcal{E}$ 代表的过程所发生的概率。因此，对任意 $\rho$ 有 $0 \leqslant \operatorname{tr}[\mathcal{E}(\rho)] \leqslant 1$ 。 －A2：其次， $\mathcal{E}$ 是一个作用在密度矩阵集合上凸的线性映射，也就是对于概率 $\left\{p_{i}\right\}$ ，
$$ \begin{equation*} \mathcal{E}\left(\sum_{i} p_{i} \rho_{i}\right)=\sum_{i} p_{i} \mathcal{E}\left(\rho_{i}\right) \tag{8.43} \end{equation*} $$
－A3：第三， $\mathcal{E}$ 是一个完全正定的映射。也就是如果 $\mathcal{E}$ 把系统 $Q_{1}$ 的密度算子映射到系统 $Q_{2}$的密度算子，那么对任何正算子 $A, \mathcal{E}(A)$ 都必须是正的。不仅如此，如果我们引人一个有任意维度的额外系统 $R$ ，对作用于复合系统 $R Q_{1}$ 的任意正算子 $A,(\mathcal{I} \otimes \mathcal{E})(A)$ 都是正的， $\mathcal{I}$ 代表系统 $R$ 中的单位映射，上述论断必然为真。
第一个性质是为了数学上的方便。为了应对测量的情况，事实证明，使 $\mathcal{E}$ 无须保持密度矩阵的迹特性（即 $\operatorname{tr}(\rho)=1$ ）是非常方便的。相反，我们的约定让 $\mathcal{E}$ 以此方式定义，即 $\operatorname{tr}[\mathcal{E}(\rho)]$等于由 $\mathcal{E}$ 所描述的测量输出的概率。比方说，假定我们在一个单量子比特的可计算基矢上做投影测量。然后两个量子操作被用于描述此过程，它们分别被定义为 $\mathcal{E}_{0}(\rho) \equiv|0\rangle\langle 0| \rho|0\rangle\langle 0|$ 和 $\mathcal{E}_{1}(\rho) \equiv|1\rangle\langle 1| \rho|1\rangle\langle 1|$ 。注意，测量结果的概率分别被正确地写为 $\operatorname{tr}\left[\mathcal{E}_{0}(\rho)\right]$ 和 $\operatorname{tr}\left[\mathcal{E}_{1}(\rho)\right]$ 。在此约定下，正确的归一化最终量子态因此为
$$ \begin{equation*} \frac{\mathcal{E}(\rho)}{\operatorname{tr}[\mathcal{E}(\rho)]} \tag{8.44} \end{equation*} $$
如果这个过程是确定性的，也就是没有测量发生，那么就退化为要求对所有的 $\rho$ 都有 $\operatorname{tr}[\mathcal{E}(\rho)]=$ $1=\operatorname{tr}(\rho)$ 。如之前讨论的，在此情况下，我们说这个量子操作是一个保迹的量子操作，因为它自身的 $\mathcal{E}$ 给出了量子过程的完整描述。另一方面，如果有一个 $\rho$ 满足 $\operatorname{tr}[\mathcal{E}(\rho)] < 1$ ，那么此量子操作就是非保迹的，因为它自身的 $\mathcal{E}$ 给可能在系统中发生的过程提供了完整描述。（也就是，其他测量结果也能以一定的概率发生。）一个物理的量子操作要满足概率绝不超过 1 的要求， $\operatorname{tr}[\mathcal{E}(\rho)] \leqslant 1$ 。
第二个性质来自对量子操作的物理要求。假设对量子操作的输人 $\rho$ 是从系综 $\left\{p_{i}, \rho_{i}\right\}$ 中随机地选取的一个状态，也就是 $\rho=\sum_{i} p_{i} \rho_{i}$ 。于是我们可以预计结果为 $\mathcal{E}(\rho) / \operatorname{tr}[\mathcal{E}(\rho)]=\mathcal{E}(\rho) / p(\mathcal{E})$ ，对应于从系综 $\left\{p(i \mid \mathcal{E}), \mathcal{E}\left(\rho_{i}\right) / \operatorname{tr}\left[\mathcal{E}\left(\rho_{i}\right)\right]\right\}$ 中随机地选取态，其中 $p(i \mid \mathcal{E})$ 是态被制备到 $\rho_{i}$ 的概率，对应于由 $\mathcal{E}$ 所代表的过程的发生。因此，我们要求
$$ \begin{equation*} \mathcal{E}(\rho)=p(\mathcal{E}) \sum_{i} p(i \mid \mathcal{E}) \frac{\mathcal{E}\left(\rho_{i}\right)}{\operatorname{tr}\left[\mathcal{E}\left(\rho_{i}\right)\right]} \tag{8.45} \end{equation*} $$
其中 $p(\mathcal{E})=\operatorname{tr}[\mathcal{E}(\rho)]$ 是当输入为 $\rho$ 时由 $\mathcal{E}$ 所描述的过程发生的概率。根据贝叶斯定理（附录 1 ），
$$ \begin{equation*} p(i \mid \mathcal{E})=p(\mathcal{E} \mid i) \frac{p_{i}}{p(\mathcal{E})}=\frac{\operatorname{tr}\left[\mathcal{E}\left(\rho_{i}\right)\right] p_{i}}{p(\mathcal{E})} \tag{8.46} \end{equation*} $$
因此式（8.45）约化为式（8.43）。 第三条性质也来自于一个重要的物理要求，即如果 $\rho$ 有效，那么不仅 $\mathcal{E}(\rho)$ 必须是一个有效的密度矩阵（加上归一化），更进一步，如果 $\rho=\rho_{R Q}$ 是某复合系统 $R Q$ 的密度矩阵，而 $\mathcal{E}$ 只作用于 $Q$ 上，那么 $\mathcal{E}\left(\rho_{R Q}\right)$ 也必须是复合系统的有效密度矩阵（加上归一化）。在专题 8.2 中给出了一个例子。形式上而言，假设我们引人第二个（有限维度的）系统 $R$ ，令 $\mathcal{I}$ 是系统 $R$ 中的单
位映射，那么映射 $\mathcal{I} \otimes \mathcal{E}$ 必须得是从正算子到正算子的。
单量子比特上的转置操作提供了一个例子，说明了为什么完全正定性是量子操作的一项重要要求。根据定义，此映射在可计算基上转置密度算子：
$$ \left[\begin{array}{ll} a & b \tag{8.47}\\ c & d \end{array}\right] \xrightarrow{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{ll} a & c \\ b & d \end{array}\right] $$
此映射保留了单量子比特的正定性。但是，假设那个量子比特是一个两量子比特的一部分，初始时处于纠缠态
$$ \begin{equation*} \frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt{2}} \tag{8.48} \end{equation*} $$
且转置操作只作用于此两量子比特中的第一个，而第二个量子比特只经历平庸的动力学。于是在运动后系统的密度算子被记为
$$ \frac{1}{2}\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \tag{8.49}\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $$
计算表明此算子具有本征值 $1 / 2,1 / 2,1 / 2$ 和 $-1 / 2$ ，因此这不是一个有效的密度矩阵。因此，转置操作是一个正定映射，但不是完全正定的，也就是它维持了主系统算子的正定性，但是当应用于一个包含主系统作为子系统的系统时，它不能继续确保其正定性。
令人惊讶的是，这三个公理足以定义量子操作。但是，以下定理表明它们等价于前面的系统－环境模型及算子和表示的定义：
定理 8.1 映射 $\mathcal{E}$ 满足公理 A1，A2 和 A3，当且仅当
$$ \begin{equation*} \mathcal{E}(\rho)=\sum_{i} E_{i} \rho E_{i}^{\dagger} \tag{8.50} \end{equation*} $$
对于某算子集合 $\left\{E_{i}\right\}$ ，它们把输人希尔伯特空间映射到输出的希尔伯特空间，且 $\sum_{i} E_{i}^{\dagger} E_{i} \leqslant I 。$证明
假设 $\mathcal{E}(\rho)=\sum_{i} E_{i} \rho E_{i}^{\dagger} 。 \mathcal{E}$ 显然是线性的，因此为了检查 $\mathcal{E}$ 是量子操作，我们只需要证明它是正定的。令 $A$ 为作用在扩展系统 $R Q$ 的态空间的任意正算子，并令 $|\psi\rangle$ 为 $R Q$ 中的某个态。定义 $\left|\varphi_{i}\right\rangle \equiv\left(I_{R} \otimes E_{i}^{\dagger}\right)|\psi\rangle$ ，我们有
$$ \begin{equation*} \langle\psi|\left(I_{R} \otimes E_{i}\right) A\left(I_{R} \otimes E_{i}^{\dagger}\right)|\psi\rangle=\left\langle\varphi_{i}\right| A\left|\varphi_{i}\right\rangle \tag{8.51} \end{equation*} $$
$$ \begin{equation*} \geqslant 0 \tag{8.52} \end{equation*} $$
这里利用了算子 $A$ 的正定性。从而有
$$ \begin{equation*} \langle\psi|(\mathcal{I} \otimes \mathcal{E})(A)|\psi\rangle=\sum_{i}\left\langle\varphi_{i}\right| A\left|\varphi_{i}\right\rangle \geqslant 0 \tag{8.53} \end{equation*} $$
因而对任意正定算子 $A$ ，算子 $(\mathcal{I} \otimes \mathcal{E})(A)$ 如同要求的那样也是正定的。要求 $\sum_{i} E_{i}^{\dagger} E_{i} \leqslant I$ 保证了概率小于或者等于 1 。证明的第一部分完成。
接下来假设 $\mathcal{E}$ 满足公理 $\mathbf{A 1}, ~ \mathbf{A 2}$ 和 $\mathbf{A 3}$ 。我们的目标是为 $\mathcal{E}$ 找到一个算子和表示。假设我们引人一个系统 $R$ ，与原始量子系统 $Q$ 具有同样的维度。令 $\left|i_{R}\right\rangle$ 和 $\left|i_{Q}\right\rangle$ 分别为 $R$ 与 $Q$ 的正交基。对这两套基使用同样的指标 $i$ 是比较方便的，而且由于 $R$ 与 $Q$ 具有同样的维度，这肯定能完成。定义 $R Q$ 的复合态 $|\alpha\rangle$ 为
$$ \begin{equation*} |\alpha\rangle \equiv \sum_{i}\left|i_{R}\right\rangle\left|i_{Q}\right\rangle \tag{8.54} \end{equation*} $$
这个 $|\alpha\rangle$ 态经过归一化后，是系统 $R$ 与 $Q$ 的最大纠缠态。把 $|\alpha\rangle$ 解释为一个最大纠缠态也许能帮助理解如下的构造。接下来，我们在 $R Q$ 的态空间定义一个算子 $\sigma$ 为
$$ \begin{equation*} \sigma \equiv\left(\mathcal{I}_{R} \otimes \mathcal{E}\right)(|\alpha\rangle\langle\alpha|) \tag{8.55} \end{equation*} $$
我们可以把这想成是对系统 $R Q$ 的最大纠缠态中的一半施加量子操作 $\mathcal{E}$ 的结果。一个很惊人的事实是——我们现在将会展示——算子 $\sigma$ 完全确定了量子操作 $\mathcal{E}$ 。也就是，要了解 $\mathcal{E}$ 如何作用于 $Q$ 上的任意态，只要知道它如何作用于 $Q$ 与其他系统的最大纠缠态就够了！
这个空门允许我们以如下方法从 $\sigma$ 恢复 $\mathcal{E}_{\text {。令 }}|\psi\rangle=\sum_{j} \psi_{j}\left|j_{Q}\right\rangle$ 为系统 $Q$ 的任意态。通过下式定义相应的系统 $R$ 上的任意态 $|\tilde{\psi}\rangle$ 。
$$ \begin{equation*} |\tilde{\psi}\rangle \equiv \sum_{j} \psi_{j}^{*}\left|j_{R}\right\rangle \tag{8.56} \end{equation*} $$
注意到
$$ \begin{align*} \langle\tilde{\psi}| \sigma|\tilde{\psi}\rangle & =\langle\tilde{\psi}|\left(\sum_{i j}\left|i_{R}\right\rangle\left\langle j_{R}\right| \otimes \mathcal{E}\left(\left|i_{Q}\right\rangle\left\langle j_{Q}\right|\right)\right)|\tilde{\psi}\rangle \tag{8.57}\\ & =\sum_{i j} \psi_{i} \psi_{j}^{*} \mathcal{E}\left(\left|i_{Q}\right\rangle\left\langle j_{Q}\right|\right) \tag{8.58}\\ & =\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|) \tag{8.59} \end{align*} $$
令 $\sigma=\sum_{i}\left|s_{i}\right\rangle\left\langle s_{i}\right|$ 为算符 $\sigma$ 的展开，其中向量 $\left|s_{i}\right\rangle$ 不需要归一化。定义一个映射
$$ \begin{equation*} E_{i}(|\psi\rangle) \equiv\left\langle\tilde{\psi} \mid s_{i}\right\rangle \tag{8.60} \end{equation*} $$
简单思考可得此映射是一个线性映射，因此 $E_{i}$ 是一个在 $Q$ 的态空间上的线性算子。不仅如此，我们还有
$$ \begin{align*} \sum_{i} E_{i}|\psi\rangle\langle\psi| E_{i}^{\dagger} & =\sum_{i}\left\langle\tilde{\psi} \mid s_{i}\right\rangle\left\langle s_{i} \mid \tilde{\psi}\right\rangle \tag{8.61}\\ & =\langle\tilde{\psi}| \sigma|\tilde{\psi}\rangle \tag{8.62}\\ & =\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|) \tag{8.63} \end{align*} $$
因此，对 $Q$ 的所有纯态 $|\psi\rangle$ 都有
$$ \begin{equation*} \mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|)=\sum_{i} E_{i}|\psi\rangle\langle\psi| E_{i}^{\dagger} \tag{8.64} \end{equation*} $$
由其凸线性可得，一般而言
$$ \begin{equation*} \mathcal{E}(\rho)=\sum_{i} E_{i} \rho E_{i}^{\dagger} \tag{8.65} \end{equation*} $$
$\sum_{i} E_{i}^{\dagger} E_{i} \leqslant I$ 这个条件紧接着把 $\mathcal{E}(\rho)$ 的迹认定为概率的公理 $\mathbf{A 1}$ 。
我们已经看到算子和表示为开放系统提供了一个非常一般的描述。它是唯一的描述吗？ 考虑一个作用于单量子比特的量子操作 $\mathcal{E}$ 和 $\mathcal{F}$ ，具有算子和表示 $\mathcal{E}(\rho)=\sum_{k} E_{k} \rho E_{k}^{\dagger}$ 和 $\mathcal{F}(\rho)=\sum_{k} F_{k} \rho F_{k}^{\dagger}$ ，其中 $\mathcal{E}$ 和 $\mathcal{F}$ 的操作元分别被定义为
$$ E_{1}=\frac{I}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \tag{8.66}\\ 0 & 1 \end{array}\right] \quad E_{2}=\frac{Z}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right] $$
及
$$ F_{1}=|0\rangle\langle 0|=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \tag{8.67}\\ 0 & 0 \end{array}\right] \quad F_{2}=|1\rangle\langle 1|=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] $$
这看起来是非常不同的量子操作。有趣的是， $\mathcal{E}$ 与 $\mathcal{F}$ 实际上是同一个量子操作。为了看到这点，注意到 $F_{1}=\left(E_{1}+E_{2}\right) / \sqrt{2}$ 及 $F_{2}=\left(E_{1}-E_{2}\right) / \sqrt{2}$ 。因此
$$ \begin{align*} \mathcal{F}(\rho) & =\frac{\left(E_{1}+E_{2}\right) \rho\left(E_{1}^{\dagger}+E_{2}^{\dagger}\right)+\left(E_{1}-E_{2}\right) \rho\left(E_{1}^{\dagger}-E_{2}^{\dagger}\right)}{2} \tag{8.68}\\ & =E_{1} \rho E_{1}^{\dagger}+E_{2} \rho E_{2}^{\dagger} \tag{8.69}\\ & =\mathcal{E}(\rho) \tag{8.70} \end{align*} $$
这个例子表明在一个量子操作的算子和表示中出现的操作元并不唯一。
算子和表示中的自由性是很有趣的。假设我们翻转了一个公平的硬币，并且根据硬币投郑的结果，将西算子 $I$ 或 $Z$ 应用于量子系统。该过程对应于 $\mathcal{E}$ 的第一个算子和表示。 $\mathcal{E}$ 的第二个算子和表示 $\mathcal{E}$（上面的标记为 $\mathcal{F}$ ）对应于以 ${|0\rangle,|1\rangle}$ 为基执行投影测量，测量结果未知。这两个明显非常不同的物理过程对主系统产生了完全相同的动力学。
两组操作元何时产生相同的量子操作？弄懂这个问题很重要，至少有两个原因。首先，从物理的角度来看，理解算子和表示中的自由性可使我们更深人地了解不同物理过程如何产生相同的系统动力学。其次，理解算子和表示的自由性对于理解量子纠错至关重要。
直觉上，很显然在算子和表示中必然有很大的自由度。考虑一个保迹量子操作 $\mathcal{E}$ ，它描述了某个系统的动力学，如图 8－3 所示。我们已经展示了 $\mathcal{E}$ 的操作元 $E_{k}=\left\langle e_{k}\right| U\left|e_{0}\right\rangle$ 有可能与环境的一组正交基 $\left|e_{k}\right\rangle$ 联系起来。假设在相互作用 $U$ 上附加一个只针对环境的西作用 $U^{\prime}$ ，如图 8－7 所示。显然这不改变主系统的态。这个新过程，$\left(I \otimes U^{\prime}\right) U$ ，相应的操作元是什么？我们得到：
$$ \begin{align*} F_{k} & =\left\langle e_{k}\right|\left(I \otimes U^{\prime}\right) U\left|e_{0}\right\rangle \tag{8.71}\\ & =\sum_{j}\left[I \otimes\left\langle e_{k}\right| U^{\prime}\left|e_{j}\right\rangle\right]\left\langle e_{j}\right| U\left|e_{0}\right\rangle \tag{8.72}\\ & =\sum_{j} U_{k j}^{\prime} E_{j} \tag{8.73} \end{align*} $$
在这里我们使用了如下事实 $\sum_{j}\left|e_{j}\right\rangle\left\langle e_{j}\right|=I$ ，且 $U_{k, j}^{\prime}$ 是 $U^{\prime}$ 在基矢 $\left|e_{k}\right\rangle$ 下的的矩阵元。事实证明，由这种物理激发的图像所产生的算子和表示的自由性，抓住了算子和表示中全部自由性的本质，这在下面的定理中得到了证明。
图 8－7 在算子和表示中西自由度的根源 定理 8.2 （算子和表示的西自由度）假设 $\left\{E_{1}, \cdots, E_{m}\right\}$ 与 $\left\{F_{1}, \cdots, F_{n}\right\}$ 分别是量子操作 $\mathcal{E}$ 与 $\mathcal{F}$ 的操作元。通过对更短的操作元加上零操作元，我们可以确保 $m=n_{\circ}$ 当且仅当它们存在复数 $u_{i j}$ 使得 $E_{i}=\sum_{j} u_{i j} F_{j}$ ，且 $u_{i j}$ 是一个 $m$ 乘以 $m$ 的西矩阵时，有 $\mathcal{E}=\mathcal{F}$ 。
证明 证明的关键是定理2.6。回顾一下，这个结果告诉我们两组向量集合 $\left|\psi_{i}\right\rangle$ 与 $\left|\varphi_{j}\right\rangle$ 产生同样的算子，当且仅当
$$ \begin{equation*} \left|\psi_{i}\right\rangle=\sum_{j} u_{i j}\left|\varphi_{j}\right\rangle \tag{8.74} \end{equation*} $$
其中 $u_{i j}$ 是一个复数酉矩阵，对态集合 $\left|\psi_{i}\right\rangle$ 或 $\left|\varphi_{j}\right\rangle$ 中较短的那个＂补上＂一些 0 态，于是两个集合具有相同的元素数目。此结果允许我们刻画算子和表示的自由度。假设 $\left\{E_{i}\right\}$ 与 $\left\{F_{j}\right\}$ 是同一个
量子操作的两组操作元，对所有 $\rho$ 来说，$\sum_{i} E_{i} \rho E_{i}^{\dagger}=\sum_{j} F_{j} \rho F_{j}^{\dagger}$ 。定义
$$ \begin{align*} \left|e_{i}\right\rangle & \equiv \sum_{k}\left|k_{R}\right\rangle\left(E_{i}\left|k_{Q}\right\rangle\right) \tag{8.75}\\ \left|f_{j}\right\rangle & \equiv \sum_{k}\left|k_{R}\right\rangle\left(F_{j}\left|k_{Q}\right\rangle\right) \tag{8.76} \end{align*} $$
回忆一下式（8.55）中对 $\sigma$ 的定义，从中有 $\sigma=\sum_{i}\left|e_{i}\right\rangle\left\langle e_{i}\right|=\sum_{j}\left|f_{j}\right\rangle\left\langle f_{j}\right|$ ，因此存在酉的 $u_{i j}$ 使得
$$ \begin{equation*} \left|e_{i}\right\rangle=\sum_{j} u_{i j}\left|f_{j}\right\rangle \tag{8.77} \end{equation*} $$
但是对任意 $|\psi\rangle$ 我们有
$$ \begin{align*} E_{i}|\psi\rangle & =\left\langle\tilde{\psi} \mid e_{i}\right\rangle \tag{8.78}\\ & =\sum_{j} u_{i j}\left\langle\tilde{\psi} \mid f_{j}\right\rangle \tag{8.79}\\ & =\sum_{k} u_{i j} F_{j}|\psi\rangle \tag{8.80} \end{align*} $$
于是
$$ \begin{equation*} E_{i}=\sum_{j} u_{i j} F_{j} \tag{8.81} \end{equation*} $$
反过来，假设 $E_{i}$ 与 $F_{j}$ 通过一个形如 $E_{i}=\sum_{j} u_{i j} F_{j}$ 的西变换联系起来，简单的代数表明具有操作元 $\left\{E_{i}\right\}$ 的量子操作与具有操作元 $\left\{F_{j}\right\}$ 的量子操作相同。
定理 8.2 可用于回答另一个有趣的问题：要能用于模拟一个给定的量子操作，环境所需最大的尺度是多少？
定理 8.3 所有用于希尔伯特空间维度 $d$ 的量子操作都可以通过一个含有 $d^{2}$ 个元素的算子和表示生成，
$$ \begin{equation*} \mathcal{E}(\rho)=\sum_{k=1}^{M} E_{k} \rho E_{k}^{\dagger} \tag{8.82} \end{equation*} $$
其中 $1 \leqslant M \leqslant d^{2}$ 。 此定理的证明很简单，留作习题。 习题 8.10 根据算子和表示的自由性给出定理 8.3 的证明，如下。令 $\left\{E_{j}\right\}$ 为 $\mathcal{E}$ 的一个操作元集合。定义一个矩阵 $W_{j k} \equiv \operatorname{tr}\left(E_{j}^{\dagger} E_{k}\right)$ 。证明矩阵 $W$ 是厄米的，秩最多为 $d^{2}$ ，因此存在一个西矩阵 $u$ 使得 $u W u^{\dagger}$ 是对角的，且最多具有 $d^{2}$ 个非零的矩阵元。用 $u$ 定义一个新的集合，具有最多 $d^{2}$ 个非零的对 $\mathcal{E}$ 的操作元 $\left\{F_{j}\right\}$ 。 习题 8.11 假设 $\mathcal{E}$ 是一个量子操作，把一个 $d$ 维的输人空间映射到一个 $d^{\prime}$ 维的输出空间。证明 $\mathcal{E}$ 可以通过一组最多 $d d^{\prime}$ 个操作元 $\left\{E_{k}\right\}$ 的集合来描述。 算子和表示的自由度令人惊讶地有用。比如，我们会在第 10 章的量子纠错研究中使用它。在该章中我们将看到算子和表示中的某些算子集合提供了关于量子纠错过程更多的有用信息，并且我们理所当然地应该从这个角度研究量子纠错。像往常一样，通过多种方式了解过程，我们可以更深人地了解正在发生什么。