1. Qiskit 实现

这句话是整个文档的开篇，旨在设定本课程的背景和目标。它告诉我们，接下来将要学习的内容是关于如何将一个理论概念——量子纠缠——通过一个具体的软件工具——Qiskit——转化为可以运行和验证的实际代码。

1. “在本课中”: 表明这是一个教学或教程性质的文档，内容是结构化的，旨在引导读者学习。
2. “我们使用 Qiskit”:
   • Qiskit 是一个开源的量子计算软件开发框架。它由 IBM 开发，主要使用 Python 语言。
   • Qiskit 的作用是让研究人员、开发者和学生能够创建、模拟和运行量子程序。你可以用它来设计量子电路，在模拟器上测试它们，甚至可以将它们发送到真实的 IBM 量子计算机上运行。
   • “使用 Qiskit”意味着本课的重点是实践操作，而不仅仅是理论讲解。我们将看到具体的 Python 代码。
3. “实现”: 这个词是关键。在计算机科学领域，“实现”通常指将一个算法、协议、或数学模型用编程语言写成可执行的代码。在这里，它意味着我们将把抽象的量子协议（如量子隐形传态）变成 Qiskit 代码。
4. “来自关于‘纠缠’实际行动课程中的一些想法”:
   • 这表明本课程是系列课程的一部分，它建立在之前一门名为“纠缠实际行动”的课程之上。
   • 纠缠 (Entanglement) 是量子力学最核心、最奇特的现象之一。当两个或多个量子位处于纠缠态时，它们的状态是相互关联的，无论它们相距多远。对其中一个量子位的测量会瞬间影响到另一个的状态。爱因斯坦曾称之为“鬼魅般的超距作用”。
   • “实际行动” (in action) 暗示了之前的课程可能已经从理论上探讨了纠缠的应用。
   • “一些想法”指的是利用纠缠可以实现的具体协议或任务，比如量子隐形传态、超密集编码等。

这个代码块非常简单，但它在科学计算和软件开发中是一个极其重要且标准的步骤。

1. from qiskit import __version__:

• from qiskit: 这部分指定了我们要从哪个 Python 包（库）中导入功能。qiskit 就是我们之前提到的量子计算框架。
• import __version__: 这部分指定了要导入的具体内容。__version__ (注意前后是双下划线) 是 Python 包中一个普遍遵循的约定，它是一个变量，存储了当前安装的这个包的版本号字符串。例如，"2.1.1"。
• 整行代码的意思是：“从 Qiskit 这个库里面，把我需要的一个叫做 __version__ 的变量拿出来，放到我当前的工作环境中，这样我后面就可以直接使用它了。”

1. print(__version__):

• print(): 这是 Python 内置的一个函数，它的作用是将括号内的内容输出到控制台或屏幕上。
• __version__: 这就是我们刚刚从 Qiskit 库中导入的那个版本号变量。
• 整行代码的意思是：“把我刚刚拿到的 Qiskit 版本号打印出来，让我能看到。”

1. 2.1.1:

• 这是上面 print 命令的输出结果。它告诉我们，当前运行这段代码的环境中，安装的 Qiskit 版本是 2.1.1。
• 版本号通常采用“主版本号.次版本号.修订号”（Major.Minor.Patch）的格式。
• 主版本号 (2): 表示有重大的、可能不向后兼容的更新。
• 次版本号 (1): 表示增加了新功能，但保持向后兼容。
• 修订号 (1): 表示修复了一些错误，没有新功能。

这个代码块是准备工作，它从不同的库中导入了构建、模拟和可视化量子电路所需的各种工具（类和函数）。就像一个厨师在烹饪前，把所有需要的食材和厨具都从储藏室里拿出来摆在案板上。

1. from qiskit import QuantumCircuit, QuantumRegister, ClassicalRegister: 这一行从 qiskit 的核心模块导入了三个基本构建块。

• QuantumCircuit: 这是最重要的类，可以把它想象成一张“量子电路图”或“五线谱”。你将在这张图上放置各种量子门（音符）来构建你的量子算法。
• QuantumRegister: 量子寄存器。它是一组量子位 (qubit) 的集合。就像在经典计算机中我们有寄存器来存储比特一样，量子寄存器用来存储量子位。你可以通过 QuantumRegister(n, 'name') 创建一个包含 n 个量子位、名为 'name' 的寄存器。
• ClassicalRegister: 经典寄存器。它是一组经典比特 (bit) 的集合。它的主要用途是存储量子测量的结果。量子位被测量后，其状态会坍缩成一个确定的经典值（0 或 1），这个值就需要存储在经典寄存器中。

1. from qiskit_aer import AerSimulator:

• qiskit_aer: 这是 Qiskit 的一个组件，专门用于高性能的量子电路模拟。Aer 在拉丁语中是“空气”的意思，暗示了它是在经典计算机上“凭空”模拟量子行为，而不是在真实硬件上运行。
• AerSimulator: 这是 qiskit_aer 提供的最主要的模拟器。它是一个功能强大的工具，可以模拟理想的量子电路，也可以模拟带有噪声的真实量子设备的行为。我们用它来“运行”我们设计的量子电路并得到结果。

1. from qiskit.visualization import plot_histogram, array_to_latex: 这一行导入了用于可视化的工具。

• plot_histogram: 这个函数非常有用，它接收一个包含测量结果统计的字典（比如 {'00': 510, '11': 514}），并生成一个直方图。直方图可以直观地展示出量子电路运行多次后，每种可能输出结果出现的频率。
• array_to_latex: 这个函数可以将一个矩阵（通常用 NumPy 数组表示）转换成 LaTeX 格式的字符串。LaTeX 是一种高质量的排版系统，特别适合显示数学公式。这样我们就可以漂亮地展示量子门的矩阵表示。

1. from qiskit.result import marginal_distribution:

• marginal_distribution: 这个函数用于处理测量结果。当你有多个经典寄存器时，你可能只关心其中某几个比特的概率分布。这个函数可以从完整的联合概率分布中计算出你关心的那部分比特的边际分布。

1. from qiskit.circuit.library import UGate:

• UGate: 这是一个通用的单量子位门。在量子计算中，任何单量子位的操作都可以用一个 2x2 的酉矩阵来表示。UGate（有时也叫 $U_3$ 门）是一个可以通过三个参数（$\theta, \phi, \lambda$）来定义的量子门，它可以表示任意一个单量子位酉矩阵。这里导入它，是为了后面生成一个随机的单量子位操作。

1. from numpy import pi, random: 这一行从 numpy 库导入了两个工具。

• numpy: 是 Python 中用于科学计算的核心库，特别擅长处理多维数组和矩阵运算。
• pi: 这是数学常数 $\pi$ (约 3.14159...)。在量子计算中，角度和相位经常以 $\pi$ 的倍数出现，所以直接导入它很方便。
• random: 这是 numpy 的一个子模块，用于生成各种随机数。这里将用它来生成随机的角度，以创建一个随机的量子门。

这句话是一个引子，明确指出接下来的代码块将要做什么。

1. “这是一个...”: 表明接下来将展示一个具体的例子。
2. “量子隐形传态协议 (Quantum Teleportation Protocol)”:
   • 协议 (Protocol): 在计算机科学和通信领域，协议是一套规则或步骤，规定了通信双方（或多方）如何交互以完成某项任务。
   • 量子隐形传态: 这是一个著名的量子协议，听起来像科幻，但它并不能传输物质或能量。它传输的是量子态，即一个量子位所携带的全部量子信息。
   • 过程简述: 假设 Alice 有一个处于未知量子态 $\vert \psi \rangle$ 的量子位，她想把这个量子态发送给远方的 Bob。她不能直接“复制”这个量子态（根据量子不可克隆定理），也不能通过测量来获知这个状态（测量会破坏它）。量子隐形传态利用一对预先共享的纠缠量子位（一个在 Alice 手里，一个在 Bob 手里）和两比特的经典通信，让 Bob 可以在他自己的量子位上“重建”出与 Alice 最初完全相同的量子态 $\vert \psi \rangle$。在这个过程中，Alice 原本的量子位的状态会被破坏。
3. “的量子电路实现”:
   • 量子电路 (Quantum Circuit): 是量子计算的模型，类似于经典计算中的逻辑电路。它由量子位（导线）和作用于这些量子位的量子门（逻辑门）组成。
   • 实现 (Implementation): 指的是将上述量子隐形传态协议的抽象步骤，转化为一个具体的、可以用 Qiskit 软件表示和运行的量子电路模型。

这个代码块是量子隐形传态协议的核心实现。我们来逐段拆解。

第一部分：定义寄存器

```python

qubit = QuantumRegister(1, "Q")

ebit0 = QuantumRegister(1, "A")

ebit1 = QuantumRegister(1, "B")

a = ClassicalRegister(1, "a")

b = ClassicalRegister(1, "b")

```

这里在为我们的量子电路准备“原材料”——量子位和经典比特。

• qubit = QuantumRegister(1, "Q"): 创建一个名为 "Q" 的量子寄存器，其中包含 1 个量子位。这个量子位将携带我们想要隐形传态的未知量子态 $\vert \psi \rangle$。它属于 Alice。
• ebit0 = QuantumRegister(1, "A"): 创建一个名为 "A" 的量子寄存器，包含 1 个量子位。这是 Alice 持有的纠缠对的一半。
• ebit1 = QuantumRegister(1, "B"): 创建一个名为 "B" 的量子寄存器，包含 1 个量子位。这是 Bob 持有的纠缠对的另一半。ebit 是 "entangled bit" 的缩写。
• a = ClassicalRegister(1, "a"): 创建一个名为 "a" 的经典寄存器，包含 1 个经典比特。它将用于存储对 ebit0 的测量结果。
• b = ClassicalRegister(1, "b"): 创建一个名为 "b" 的经典寄存器，包含 1 个经典比特。它将用于存储对 qubit 的测量结果。

第二部分：创建电路

```python

protocol = QuantumCircuit(qubit, ebit0, ebit1, a, b)

```

• protocol = QuantumCircuit(...): 创建一个量子电路对象，命名为 protocol。
• (...): 括号里传入了我们刚刚定义的所有寄存器。这相当于告诉电路：“你将操作这三个量子位（Q, A, B）和这两个经典比特（a, b）。” 在电路图中，它们会作为独立的“线”出现。

第三部分：制备纠缠对 (Bell Pair)

```python

这段话是对上一个代码块中出现的两个新 Qiskit 功能 barrier 和 if_test 的详细解释。

1. “该电路利用了 Qiskit 的一些我们在之前课程中尚未见过的功能...”: 这句话起到了提醒和引导的作用，告诉读者要注意接下来的新知识点，并将新旧知识联系起来。
2. barrier 函数:

• “创建了一个视觉分隔，使电路图更具可读性”: 这是 barrier 最直观的作用。在一个复杂的量子电路中，操作可以分为几个逻辑阶段（如：制备、操作、测量）。barrier 就像在代码中添加注释或在文章中分段一样，它在电路图上画一条竖线，将这些阶段清晰地分开，让人一眼就能看懂电路的结构。
• “并且当电路在实际硬件上运行时，它还会防止 Qiskit 在编译过程中跨越屏障执行各种简化和优化”: 这是 barrier 更深层次、更具技术性的作用。
• 编译 (Compilation): 当你将一个理想的量子电路发送到真实的量子计算机上运行时，它需要经过一个“编译”过程。编译器会根据特定硬件的特性（比如哪些量子位之间可以直接进行 CNOT 操作）来修改和优化你的电路，同时也会尝试去掉一些冗余的量子门以减少错误。
• 简化和优化: 例如，如果编译器看到两个连续的 Hadamard 门 (H-H)，它知道这等价于一个单位操作（什么都不做），于是可能会将它们都删除。
• 防止跨越屏障: barrier 指令告诉编译器：“不要对屏障前后的门进行重排或合并”。这在某些情况下非常重要。比如，如果你正在进行噪声模拟或错误分析，你希望门的执行顺序严格按照你设计的那样进行，不希望编译器“自作聪明”地改变它。barrier 就像一个“禁止通行”的标志，阻止了编译器的优化操作跨越这条界线。

1. if_test 函数:

• “根据经典比特或寄存器有条件地应用操作”: 这是对 if_test 功能的核心概括。在量子计算中，经常需要根据测量得到的经典结果来决定后续要执行哪个量子操作。这种“经典信息反馈控制量子操作”的模式被称为“前向反馈” (feed-forward)。
• 工作方式: if_test (在 with 语句的上下文中，现在更推荐使用 qc.if_test(...)) 允许量子电路检查一个经典寄存器的值。如果该值满足特定条件（例如，等于1），那么就执行 if 块内部的量子门；否则，就跳过。这正是量子隐形传态中 Bob 所需做的：根据 Alice 发来的两个经典比特 a 和 b 的值，来决定是否对他的量子位 B 应用 X 门和 Z 门。

这段话描述了如何设计一个实验来验证我们构建的量子隐形传态电路是否正确。它分为两部分：回顾协议流程和阐述测试方法。

第一部分：回顾协议流程

• “该电路首先将 $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ 初始化为 $\vert \phi^+\rangle$ 状态（这不属于协议本身的一部分）”:
• 这里再次强调了协议的结构。第一步是创建纠缠对 $(\mathsf{A},\mathsf{B})$。
• 括号里的内容很重要：“这不属于协议本身的一部分”。这意味着在理想的隐形传态模型中，我们假设 Alice 和 Bob 已经共享了纠缠对。制备纠缠对的过程是预备工作，而不是通信协议的核心环节。我们的电路包含了这个预备工作，是为了让整个过程可以从头开始模拟。
• “随后是 Alice 的操作，接着是她的测量，最后是 Bob 的操作”: 这是对协议核心流程的简洁概括，顺序是：Alice 操作 $\to$ Alice 测量 $\to$ Bob 操作。

第二部分：阐述测试方法

这里提出了一个非常巧妙的验证方案。我们如何知道一个未知的量子态被成功传输了呢？既然我们无法直接读取量子态，我们可以通过“操作-逆操作”的方法来验证。

• “我们将对 $\mathsf{Q}$ 初始化的 $\vert 0\rangle$ 状态应用一个随机生成的单量子位门”:

• 量子位 $\mathsf{Q}$ 默认初始化为 $\vert 0 \rangle$ 状态。
• 我们不直接传输简单的 $\vert 0 \rangle$ 或 $\vert 1 \rangle$，而是要传输一个更一般、更复杂的量子态，以证明协议的普适性。
• 如何得到一个随机的量子态？我们可以从一个已知的状态（如 $\vert 0 \rangle$）开始，然后对它施加一个随机的量子操作。一个随机的单量子位门（用酉矩阵 $U$ 表示）作用在 $\vert 0 \rangle$ 上，就会得到一个随机的量子态 $\vert \psi \rangle = U \vert 0 \rangle$。
• “随机生成”确保了我们不是碰巧选择了一个容易传输的特殊状态。
• “以获得一个待隐形传态的随机量子状态矢量”: 这就是上一步操作的目的，我们创造了一个“货物”——随机的量子态 $\vert \psi \rangle$。
• “通过在协议运行后对 $\mathsf{B}$ 应用该门的逆（即共轭转置）”:

• 协议运行后: 此时，如果协议成功，Bob 的量子位 $\mathsf{B}$ 的状态应该也变成了 $\vert \psi \rangle$。
• 门的逆 (Inverse): 对于任何量子门（酉矩阵 $U$），都存在一个逆操作 $U^\dagger$ (读作 "U dagger")，即它的共轭转置。$U^\dagger$ 的作用是撤销 $U$ 的操作，即 $U^\dagger U = \mathbb{I}$ (单位矩阵，相当于什么都不做)。
• 对 $\mathsf{B}$ 应用该门的逆: 我们对 Bob 的量子位 $\mathsf{B}$ 施加 $U^\dagger$ 操作。如果 Bob 的量子位状态确实是 $\vert \psi \rangle = U \vert 0 \rangle$，那么经过 $U^\dagger$ 操作后，它的状态就会变成 $U^\dagger \vert \psi \rangle = U^\dagger U \vert 0 \rangle = \mathbb{I} \vert 0 \rangle = \vert 0 \rangle$。
• “我们可以通过测量来验证状态是否已成功隐形传态，即查看它是否已返回到 $\vert 0\rangle$ 状态”:

• 这是验证的最后一步。经过逆操作后，我们测量 Bob 的量子位 $\mathsf{B}$。
• 如果隐形传态完全成功，$\mathsf{B}$ 的状态在测量前必定是 $\vert 0 \rangle$。
• 对 $\vert 0 \rangle$ 状态进行测量，结果将 100% 是经典值 0。
• 因此，我们的测试标准是：运行整个流程很多次，如果每次测量 Bob 的量子位的结果都是 0，我们就能非常有信心地说，隐形传态协议成功了。

这句话非常直接，它宣告了接下来代码块的目标：创建一个随机的单量子位门。这是实现上一段描述的测试策略的第一步。

1. “首先”: 表明这是测试流程中的第一个具体操作。
2. “我们将随机选择”: 意味着这个选择不是固定的、预先决定的，而是利用随机数生成的。这确保了测试的通用性，避免了因为选择了某个特殊的、容易处理的门而得出“协议正确”的假象。
3. “一个酉量子位门”:
   • 门 (Gate): 在量子计算中，门是对量子位进行的操作。
   • 量子位门 (Qubit Gate): 特指作用于量子位的门。单量子位门作用于一个量子位，双量子位门作用于两个，以此类推。
   • 酉门 (Unitary Gate): 量子力学的一个基本公设是，封闭量子系统的演化必须是酉性的。这意味着操作必须是可逆的，并且保持量子态的总概率为1。在数学上，一个量子门可以用一个矩阵来表示，而这个矩阵必须是酉矩阵。一个矩阵 $U$ 是酉矩阵，当且仅当它的共轭转置 $U^\dagger$ 等于它的逆 $U^{-1}$，即 $U U^\dagger = U^\dagger U = \mathbb{I}$ (单位矩阵)。

这个代码块和其输出，精确地执行了上一句话宣告的任务：创建并展示一个随机的单量子位酉门。

第一部分：创建随机门

```python

random_gate = UGate(

theta=random.random() 2 pi,

phi=random.random() 2 pi,

lam=random.random() 2 pi,

)

```

• random_gate = UGate(...): 我们正在创建一个 UGate 的实例，并将其赋值给变量 random_gate。UGate 是 Qiskit 中最通用的单量子位门，它可以表示任何单量子位的旋转。
• UGate 的定义: 这个门由三个欧拉角参数定义：$\theta$ (theta), $\phi$ (phi), 和 $\lambda$ (lambda，代码中写作 lam)。它的矩阵形式是：

• theta=random.random() 2 pi:
• random.random(): numpy.random.random() 函数生成一个 [0.0, 1.0) 区间内的随机浮点数。
• 2 pi: 将这个 0 到 1 之间的数乘以 $2\pi$。这样，我们就得到了一个 [0, 2\pi) 弧度范围内的随机角度。
• theta=...: 将这个随机角度赋值给 UGate 的 theta 参数。
• phi=... 和 lam=...: 同理，为 phi 和 lambda 参数也各自生成一个 [0, 2\pi) 范围内的随机角度。
• 通过为 UGate 的三个角度参数提供随机值，我们实际上就获得了一个随机的 $2 \times 2$ 酉矩阵，即一个随机的单量子位门。

第二部分：显示矩阵

```python

display(array_to_latex(random_gate.to_matrix()))

```

• random_gate.to_matrix(): 这个方法会计算出 random_gate 对象所对应的具体 $2 \times 2$ 矩阵。这个矩阵会以 NumPy 数组的形式返回，其元素可能是复数。
• array_to_latex(...): 这个函数接收上一步生成的 NumPy 矩阵，并将其转换成能被 LaTeX 正确排版的字符串。例如，一个 NumPy 数组 [[a, b], [c, d]] 会被转换成类似 \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} 的字符串。
• display(...): 在 Jupyter 环境中，如果一个对象有富文本表示（比如 HTML 或 LaTeX），display 函数可以将其渲染出来。这里它会把 LaTeX 字符串渲染成一个格式精美的矩阵。

第三部分：输出的矩阵

• 这是一个 $2 \times 2$ 的复数矩阵，它就是本次代码运行时随机生成的那一个 UGate 的具体数值。
• 每次你运行这段代码，random.random() 都会产生不同的随机数，因此这三个角度参数 theta, phi, lam 都会不同，最终生成的这个矩阵也几乎每次都不同。
• 这个矩阵是酉矩阵，满足 $U U^\dagger = \mathbb{I}$。虽然我们不需要手动去验证，但 Qiskit 的 UGate 构造保证了这一点。

这段话是下一个代码块的“施工说明”，详细描述了如何将之前定义的各个部分（随机门和隐形传态协议）组装成一个完整的测试电路。

1. “现在我们将创建一个新的测试电路”: 告诉读者，我们将要构建一个新的 QuantumCircuit 对象，这个对象专门用于测试目的。
2. “它首先将我们的随机门应用于 $\mathsf{Q}$”: 这是测试的第一步。

• 我们的随机门: 就是上一步生成的 random_gate。
• 应用于 Q: 在电路的开头，对名为 Q 的那个量子位施加这个 random_gate 操作。
• 目的: 将 Q 从初始的 $\vert 0 \rangle$ 状态转换为我们想要隐形传态的随机量子态 $\vert \psi \rangle = \text{random\_gate} \vert 0 \rangle$。

1. “然后运行隐形传态电路”: 这是测试的第二步。

• 隐形传态电路: 就是我们最早定义的那个 protocol 电路。
• 运行: 这里指的不是真的用模拟器运行，而是在电路构建的层面上，将 protocol 电路的全部内容“粘贴”到当前测试电路的后面。Qiskit 提供了 compose 或 append 方法来完成这个电路的拼接。

1. “最后将随机门的逆应用于量子位 $\mathsf{B}$ 并进行测量”: 这是测试的第三步和第四步。

• 随机门的逆: random_gate.inverse()。Qiskit 可以自动计算出任何门的逆操作。
• 应用于量子位 B: 在电路的末尾，对名为 B 的那个量子位施加这个逆门。此时，如果隐形传态成功，B 的状态应该是 $\vert \psi \rangle$。
• 并进行测量: 在施加了逆门之后，对 B 量子位进行测量。

1. “结果应该确定为 $0$”: 这是对测试结果的预期。

• 逻辑链:
• 初始: Q 是 $\vert 0 \rangle$。
• 步骤1后: Q 变成 $\vert \psi \rangle = U \vert 0 \rangle$ (其中 $U$ 是 random_gate)。
• 步骤2后: 如果协议成功，B 的状态变成 $\vert \psi \rangle = U \vert 0 \rangle$。
• 步骤3后: B 的状态变成 $U^\dagger (U \vert 0 \rangle) = \vert 0 \rangle$。
• 步骤4: 测量处于 $\vert 0 \rangle$ 状态的 B。
• 确定为 0: 对 $\vert 0 \rangle$ 状态的测量结果必然是经典值 0。所以，无论我们重复这个实验多少次，最终的测量结果都应该是 0。

这个代码块是测试流程的实际操作，它将之前创建的 random_gate 和 protocol 电路组装成一个名为 test 的最终测试电路。

第一部分：创建测试电路外壳

```python

test = QuantumCircuit(qubit, ebit0, ebit1, a, b)

```

• 和之前创建 protocol 电路一样，我们先创建一个新的量子电路对象 test。
• 我们传入了完全相同的量子寄存器 (qubit, ebit0, ebit1) 和经典寄存器 (a, b)。这确保了 test 电路和 protocol 电路使用相同的“线路”，这样它们才能被拼接在一起。

第二部分：准备待传输的量子态

```python

这段话解释了最后一步：如何运行我们构建的 test 电路，以及如何解读预期的输出结果。

1. “最后，让我们在这个电路上运行 Aer 模拟器”:

• “最后”: 表明这是验证过程的收尾步骤。
• “在这个电路上”: 指的是我们刚刚精心构建的 test 电路。
• “运行 Aer 模拟器”: 我们将使用 AerSimulator（之前导入的）来执行 test 电路。模拟器会在经典计算机上计算出量子电路的理想输出结果。默认情况下，模拟器会“运行”电路很多次（通常是 1024 次，这被称为 shots），以收集统计数据。

1. “并绘制输出的直方图”:

• 运行多次后，我们会得到每个可能的测量结果组合出现的次数。
• “绘制直方图” (plot_histogram) 能将这些统计数据可视化，让我们能直观地看到哪些结果出现的频率高，哪些低。

1. “我们将看到所有三个经典比特的统计数据”:

• 我们的 test 电路有三个经典比特：a, b (来自 protocol部分) 和 result (我们最后添加的)。
• 因此，每次运行的输出结果是一个三位的经典比特串，例如 001。直方图将显示所有可能的三位数组合（从 000 到 111）的出现频率。
• 注意比特顺序: Qiskit 的标准表示中，比特串的顺序是从右到左读的。例如，"cba" 意味着最右边的比特是 a，中间是 b，最左边是 c。在我们的电路中，寄存器的添加顺序是 a，b，result。所以输出的比特串 rba 中，r 对应 result，b 对应 b，a 对应 a。因此，result 是最左边的位。

1. “底部/最左边的比特应该始终为 $0$”:

• 根据 Qiskit 的比特顺序约定，我们最后添加的 result 寄存器会是输出比特串中最左边的位。
• “应该始终为 0”: 这是我们对测试结果的核心预期。正如我们之前分析的，如果隐形传态成功，B 量子位在最终测量前会恢复到 $\vert 0 \rangle$ 状态，所以对它的测量结果 result 必须是 0。
• “表明量子位 $\mathsf{Q}$ 已成功隐形传态到 $\mathsf{B}$ 中”: 这是对“结果为0”的解读。它就是我们期待的“测试通过”的信号。

1. “而其他两个比特应该大致均匀”:

• “其他两个比特”: 指的是 a 和 b。这两个比特是 Alice 测量她的量子位 A 和 Q 的结果。
• 在隐形传态协议中，Alice 的测量结果是随机的。对于一个任意的输入态 $\vert \psi \rangle$，Alice 测得 00, 01, 10, 11 这四种结果的概率都是 $1/4$。
• “大致均匀”: 因为我们只运行有限次数（如1024次），所以统计结果不会是严格的 256, 256, 256, 256。但它们应该大致相等，接近总次数的 1/4。
• 综合预期: 我们预期的输出结果应该是 000, 010, 001, 011 这四种。注意，最左边的比特（result）始终是 0。而 b 和 a 的组合 ba 会随机地是 00, 01, 10, 11。因此，直方图上应该只出现 000，001，010，011 这四个柱子，并且它们的高度应该差不多。

这个代码块执行了模拟并显示结果，是整个验证流程的“收获”时刻。

1. result = AerSimulator().run(test).result(): 这一行代码链式调用了三个方法，完成了从模拟到获取结果的全过程。

• AerSimulator(): 创建一个 AerSimulator 的实例。这是我们的量子模拟器引擎。
• .run(test): 调用模拟器的 run 方法来执行我们之前构建的 test 量子电路。这个方法会返回一个 Job 对象，你可以把它想象成一个提交到计算中心的“计算任务”。默认情况下，它会运行 1024 次（shots=1024）。
• .result(): Job 对象上的 result 方法会阻塞程序，等待计算任务完成，然后返回一个包含所有实验结果的 Result 对象。

1. statistics = result.get_counts():

• result.get_counts(): 这是 Result 对象上最常用的方法之一。它会处理所有（1024次）运行的测量结果，并返回一个 Python 字典，这个字典统计了每种测量结果（以比特串表示）出现的次数。
• 示例: statistics 字典可能看起来像这样：{'000': 250, '010': 262, '001': 248, '011': 264}。键（key）是测量到的三位比特串，值（value）是它在 1024 次运行中出现的频率。

1. display(plot_histogram(statistics)):

• plot_histogram(statistics): 我们之前导入的这个函数，接收 statistics 字典作为输入，并生成一个直方图的可视化对象。
• display(...): 在 Jupyter Notebook 中，这个函数将直方图对象渲染成一张图片并显示出来。图的 X 轴是不同的测量结果（比特串），Y 轴是它们出现的次数或概率。

这句话引出了下一个代码块，介绍了一种可选的、但更具针对性的结果分析方法。

1. “如果我们愿意”: 表明这是一个可选操作，不是必须的。上一步的完整直方图已经可以用来验证协议了。
2. “我们还可以过滤统计数据”:
   • “过滤” (Filter): 指的是从完整的数据集中，只提取出我们感兴趣的一部分。
   • “统计数据”: 就是上一步得到的 statistics 字典，它包含了所有三个经典比特 (result, b, a) 的联合分布。
3. “以仅关注测试结果量子位”:
   • “测试结果量子位”: 指的是我们最关心的那个量子位，即 Bob 的量子位 B，其测量结果存储在 result 经典比特中。
   • “仅关注”: 我们想暂时忽略 Alice 的测量结果 a 和 b 的随机性，只看最终的验证比特 result 的分布情况。这相当于问一个更直接的问题：“在所有 1024 次实验中，最终的验证结果是 0 的有多少次？是 1 的有多少次？”

这个代码块实现了上一句话所描述的过滤操作。

1. filtered_statistics = marginal_distribution(statistics, [2]):

• marginal_distribution: 这是我们之前从 qiskit.result 导入的函数。它的作用是计算边际分布。
• 在概率论中，如果你有一个多变量的联合概率分布 $P(X, Y)$，那么 $X$ 的边际分布 $P(X)$ 就是通过对 $Y$ 的所有可能性求和（或积分）得到的：$P(X=x) = \sum_y P(X=x, Y=y)$。
• 在这里，我们的 statistics 字典代表了三个经典比特 (result, b, a) 的联合频率分布。
• statistics: 作为第一个参数传入，这是我们要处理的原始数据，即 {'000': 250, '010': 262, '001': 248, '011': 264}。
• [2]: 这是第二个参数，一个列表，指定了我们想要保留的经典比特的索引。
• 索引的确定: 在 Qiskit 中，经典比特的索引顺序与它们被添加到电路中的顺序一致（或者说，与最终输出比特串的从右到左的顺序一致）。在 test 电路中，我们有 a (索引0), b (索引1), result (索引2)。
• 因此，[2] 意味着我们只想保留索引为 2 的那个经典比特，也就是 result。
• 工作过程: marginal_distribution 会遍历 statistics 字典中的所有键（比特串）。对于每个键，它会提取索引为 2 的比特的值，并将具有相同值的键的频率相加。
• 例如，对于 result=0 的情况，它会把 000 和 010 和 001 和 011 等所有最左边一位是 0 的项的频率加起来。250 + 262 + 248 + 264 = 1024。
• 对于 result=1 的情况，没有任何项的最左边一位是 1，所以频率和是 0。
• filtered_statistics: 函数的返回值是一个新的字典，只包含我们感兴趣的比特的统计结果。在这里，它会是 {'0': 1024}。

1. display(plot_histogram(filtered_statistics)):

• 这和之前的操作完全一样，只是现在作用于过滤后的 filtered_statistics 字典。
• plot_histogram({'0': 1024}) 会生成一个只有一个柱子的直方图。这个柱子位于 X 轴的 '0' 位置，其高度对应于 1024。

这段话引入了本课程的第二个主题——超密集编码，并将其与我们刚刚学过的量子隐形传态进行对比，以揭示其核心思想。

1. “超密集编码 (Superdense Coding) 是一个协议”: 明确了我们正在讨论的是另一个量子通信协议。
2. “它实现了一个与隐形传态互补的目标”: 这是理解超密集编码的关键。

• 互补 (Complementary): 意味着两者在功能上是相反的、对偶的。它们就像一枚硬币的两面。
• 为了理解这种互补性，我们来回顾一下量子隐形传态的“资源交换”关系：
• 输入: 1个量子位 (qubit) 的量子信息 + 1个纠缠比特 (ebit)
• 通信成本: 2个经典比特 (classical bits) 的通信
• 输出: 在远端重建了 1个量子位的量子信息
• 简记: $1 \text{ ebit} + 2 \text{ cbits} \to 1 \text{ qubit}$

1. “它不是允许使用两个经典比特的通信来传输一个量子位（以一个 e-bit 的纠缠为代价）”: 这句话是在用隐形传态的描述来反向定义超密集编码。它复述了隐形传态的资源交换关系。
2. “而是允许使用一个量子位的量子通信来传输两个经典比特（同样以一个 e-bit 的纠缠为代价）”: 这句话揭示了超密集编码的资源交换关系，与隐形传态正好相反。

• 输入: 2个经典比特的经典信息 + 1个纠缠比特 (ebit)
• 通信成本: 1个量子位的量子通信 (即 Alice 把她的那个量子位物理地发送给 Bob)
• 输出: 在远端，Bob 成功接收了 2个经典比特的信息
• 简记: $1 \text{ ebit} + 1 \text{ qubit} \to 2 \text{ cbits}$

资源对比总结:

这段话是对超密集编码协议的场景和角色的更详细设定，把上一段的抽象描述具体化。

1. “更详细地说，我们有一个发送者（Alice）和一个接收者（Bob）”: 明确了通信的双方，沿用了量子信息领域中常用的 Alice 和 Bob 的代称。Alice 是发送方，Bob 是接收方。
2. “他们共享一个 e-bit 的纠缠”: 这是协议得以实现的前提条件。

• e-bit (entangled bit): 指的是一个最大纠缠的双量子位系统，通常是一个贝尔对。
• “共享”意味着 Alice 拥有这个纠缠对中的一个量子位，而 Bob 拥有另一个。

1. “根据本课中现行的约定，这意味着 Alice 持有一个量子位 $\mathsf{A},$ Bob 持有一个量子位 $\mathsf{B},$ 并且这对组合 $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ 处于 $\vert\phi^+\rangle$ 状态”:

• 这里将“共享 e-bit”这个抽象概念具体化。
• Alice 的量子位被命名为 $\mathsf{A}$。
• Bob 的量子位被命名为 $\mathsf{B}$。
• $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ 组成的双量子位系统的联合状态是 $\vert\phi^+\rangle$。
• $\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 00 \rangle_{\mathsf{AB}} + \vert 11 \rangle_{\mathsf{AB}})$ 是四个贝尔态中最基本的一个。它表示量子位 $\mathsf{A}$ 和 $\mathsf{B}$ 的测量结果总是相同的（要么都是0，要么都是1）。

1. “Alice 希望将两个经典比特传输给 Bob，我们将这两个比特记为 $c$ 和 $d$”:

• 明确了 Alice 的通信任务：她有两条经典信息需要发送。
• 这两条信息被命名为 $c$ 和 $d$。它们的值可以是 0 或 1。因此，Alice 想要发送的信息组合有四种可能：$(c,d) = (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)$。

1. “她将通过发送一个量子位给他来实现这一点”:

• 明确了 Alice 完成任务所使用的物理信道：量子信道。
• 她能做的物理操作就是，将她手中的某个量子位（具体来说，就是她持有的纠缠对的那一半，即 $\mathsf{A}$）打包好，通过某种方式（比如光纤、微波等）物理地传送给 Bob。
• 这句话再次强调了协议的“超密集”之处：用 1 个量子位的传输，完成 2 比特信息的传递。

这段话从一个现实和实用的角度，对超密集编码的价值进行了评论和辨析，旨在管理读者的期望，并引导他们关注其理论上的重要性。

1. “将这一壮举视为比隐形传态所完成的壮举更乏味是合理的”:

• 这句话承认了一个事实：从表面上看，超密集编码没有量子隐形传态那么“酷炫”或“令人惊叹”。
• 隐形传态听起来像是科幻走进现实，传输的是神秘的量子态。
• 超密集编码传输的是我们日常接触的经典比特，只是方式比较奇特。所以感觉上没有那么“颠覆”。
• “乏味 (less glamorous)”这个词用得很巧妙，它表达了一种实用主义的审视。

1. “在可预见的未来，发送量子位可能比发送经典比特困难得多”:

• 这里指出了一个工程上的巨大挑战。
• 发送经典比特: 我们有非常成熟的技术，比如光纤、无线电、互联网，可以以极低的成本、极高的速度和极高的可靠性发送经典比特。
• 发送量子位 (量子通信): 这需要维持量子位脆弱的相干性 (coherence)，避免与环境发生相互作用导致信息丢失（退相干）。这需要极端的环境控制（如低温、真空），技术上非常困难，成本高昂，且距离和速率都受到很大限制。
• 因此，从成本效益分析，用一个“昂贵”的量子位信道去换两个“便宜”的经典比特，听起来像是一笔亏本买卖。

1. “以一个 e-bit 为代价，用一个量子位的量子通信换取两个比特的经典通信，似乎不值得”:

• 这句话是对上述成本效益分析的总结。
• 它还提到了另一个成本：“一个 e-bit 为代价”。制备和分发高质量的纠缠对本身也是一个巨大的技术挑战。
• 所以，总成本是：1 个纠缠对 + 1 次困难的量子通信。得到的回报是：2 比特的经典信息。在大多数实际场景下，直接打个电话（发送2个经典比特）要简单得多。

1. “然而，这并不意味着超密集编码不有趣，因为它确实非常有趣”:

• 这是一个转折，将我们的注意力从“实用价值”引向“理论价值”。
• 它告诉我们，评判一个量子协议的意义，不能仅仅看它在当前技术条件下是否“划算”。
• “非常有趣”暗示了它在揭示量子信息的根本规律、展示纠缠的力量方面，具有深刻的理论意义和启发性。

这段话解释了超密集编码“非常有趣”的根本原因，将其与量子信息论中的一个基本限制——Holevo 定理——联系起来，从而突显出纠缠的强大威力。

1. “契合本课的主题，超密集编码之所以有趣的一个原因是它展示了纠缠的一种具体且（在信息论语境下）相当引人注目的应用”:

• “契合本课的主题”：本课主题是“纠缠在行动”，所以超密集编码是展示纠缠能力的一个绝佳范例。
• “具体且引人注目的应用”：它不是一个模糊的哲学概念，而是一个可以计算和验证的、结果惊人的应用。
• “在信息论语境下”：这是关键。它的“引人注目”之处，要在信息论的框架下去理解，即关于信息如何编码、传输和解码的理论。

1. “量子信息论中一个著名的定理，被称为 Holevo 定理”:

• 引入了一个核心理论工具：Holevo 定理（也称 Holevo's bound）。
• Holevo 定理是量子信息论的基石之一，它为“用量子态传输经典信息”设定了一个理论上的速度极限。

1. “意味着在不使用共享纠缠态的情况下，不可能通过发送单个量子位来通信超过一个比特的经典信息”:

• 这是对 Holevo 定理的一个重要推论的通俗解释。
• 场景: Alice 想给 Bob 发送经典信息。她能做的，是根据她想发送的信息（比如 "0" 或 "1"），将一个量子位制备在某个状态（比如 $\vert \psi_0 \rangle$ 或 $\vert \psi_1 \rangle$），然后把这个量子位发给 Bob。Bob 收到后通过测量来解码信息。
• Holevo 定理的限制: 该定理指出，即使 Alice 可以制备和发送任意的量子态，Bob 通过对这一个量子位进行任何可能的测量，平均下来能获取到的经典信息量，最多就是 1 比特。
• 直观理解: 一个量子位虽然可以处于无限多的叠加态中，但一次测量只能得到一个结果。这种内在的限制使得它在“无纠缠”的帮助下，单次传输的经典信息容量无法超越一个经典比特。

1. “（Holevo 定理比这更通用...）”:

• 这是一个补充说明，表明上面只是该定理的一个简化版特例。完整的Holevo 定理涉及到一个叫做“Holevo 信息”或“Holevo $\chi$ 量”的数学量，它给出了可访问信息量的严格上限。这个括号里的注释是为了保证科学的严谨性。

1. “因此，通过超密集编码，共享纠缠有效地使发送量子位的经典信息携带能力翻倍”:

• 这是本段的点睛之笔，将超密集编码和 Holevo 定理联系起来，展示了纠缠的威力。
• 逻辑链:
• 没有纠缠: 1 qubit 最多传输 1 cbit (Holevo 定理)。
• 有纠缠 (超密集编码): 1 qubit (的传输) + 1 ebit (的预先共享) 可以传输 2 cbits。
• “携带能力翻倍”: 超密集编码达到的“2 cbits / 1 qubit”的效率，是无纠缠情况下的两倍。它突破了 Holevo 定理设定的那个看似不可逾越的界限。
• 关键: 突破界限的关键在于纠缠。纠缠本身不传递信息，但它像一个“催化剂”或“信道倍增器”，当你有一个量子信道时，纠缠可以提升这个信道的经典信息传输容量。

这部分详细描述了超密集编码协议的具体步骤，并配以一个量子电路图。我们将电路图和文字描述结合起来进行拆解。

电路图分析:

电路图从左到右表示时间顺序，横线代表量子位。

• 最左侧部分:

• 顶部的线是 Alice 的量子位 $\mathsf{A}$ (记为 $q_0$)，底部的线是 Bob 的量子位 $\mathsf{B}$ (记为 $q_1$)。
• 一个 H 门作用在 $\mathsf{A}$ 上，紧接着一个从 $\mathsf{A}$ 到 $\mathsf{B}$ 的 CNOT 门。这正是我们熟悉的制备贝尔态 $\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 00 \rangle + \vert 11 \rangle)$ 的过程。这对应协议的“共享纠缠”前提。
• 第一条竖直的 barrier 将纠缠制备与 Alice 的操作分开。
• 中间部分 (Alice 的操作):

• 这里有两个受经典比特 $c$ 和 $d$ 控制的门（图中用 c 和 d 旁边的菱形表示）。
• 一个受 $d$ 控制的 Z 门作用在 $\mathsf{A}$ 上。
• 一个受 $c$ 控制的 X 门作用在 $\mathsf{A}$ 上。
• 这表示 Alice 根据她想发送的两个经典比特 $c$ 和 $d$ 的值，来决定是否对她手中的量子位 $\mathsf{A}$ 施加 Z 门和 X 门。
• 第二条 barrier 之后，Alice 的操作完成。协议隐含了此时 Alice 将 $\mathsf{A}$ 发送给 Bob。
• 右侧部分 (Bob 的操作):

• 一个从 $\mathsf{A}$ 到 $\mathsf{B}$ 的 CNOT 门。注意，此时 $\mathsf{A}$ 已经到了 Bob 手里，所以这是 Bob 在他自己的实验室里完成的。
• 一个 H 门作用在 $\mathsf{A}$ 上。
• 最后，两个测量符号，分别对 $\mathsf{A}$ 和 $\mathsf{B}$ 进行测量，并将结果输出到经典比特 $d'$ 和 $c'$。

文字描述分解:

Alice 的操作 (编码)

Alice 的目标是把两个经典比特 $(c, d)$ 的信息编码到她的量子位 $\mathsf{A}$ 上。

• “1. 如果 $d=1,$ Alice 对她的量子位 $\mathsf{A}$ 执行 $Z$ 门（如果 $d=0$ 则不执行）。”:

• 第一个比特 $d$ 控制是否施加 Pauli-Z 门。
• $Z$ 门的作用是给 $\vert 1 \rangle$ 状态增加一个负号的相位，即 $Z\vert 1 \rangle = -\vert 1 \rangle$，而 $Z\vert 0 \rangle = \vert 0 \rangle$。
• “2. 如果 $c=1,$ Alice 对她的量子位 $\mathsf{A}$ 执行 $X$ 门（如果 $c=0$ 则不执行）。”:

• 第二个比特 $c$ 控制是否施加 Pauli-X 门。
• $X$ 门的作用是比特翻转，即 $X\vert 0 \rangle = \vert 1 \rangle$ 和 $X\vert 1 \rangle = \vert 0 \rangle$。
• “Alice 随后将她的量子位 $\mathsf{A}$ 发送给 Bob”: 这是物理上的量子通信步骤。

Bob 的操作 (解码)

Bob 收到了 Alice 发来的量子位 $\mathsf{A}$，现在他同时拥有了 $\mathsf{A}$ 和他自己的 $\mathsf{B}$。他的目标是从这对量子位中解码出 $c$ 和 $d$。

• “首先执行一个受控非门，$\mathsf{A}$ 为控制位，$\mathsf{B}$ 为目标位”: Bob 应用一个 CNOT 门，这与制备纠缠时 CNOT 的方向相同。
• “然后他对 $\mathsf{A}$ 应用一个 Hadamard 门”: Bob 接着对 $\mathsf{A}$ 施加一个 H 门。
• 观察: Bob 的这两个操作 CNOT 和 H，恰好是制备贝尔态 $\vert\phi^+\rangle$ 那两个操作的“逆序”。这并非巧合，这个操作组合的作用是将四个贝尔态分别唯一地映射到四个计算基底态 $\vert 00 \rangle, \vert 01 \rangle, \vert 10 \rangle, \vert 11 \rangle$ 上。它是一个“贝尔基测量”的解码器。
• “接着他测量 $\mathsf{B}$ 以获得 $c,$ 测量 $\mathsf{A}$ 以获得 $d$”:
• Bob 对两个量子位都进行标准基测量（即区分 $\vert 0 \rangle$ 和 $\vert 1 \rangle$ 的测量）。
• 测量 $\mathsf{B}$ 的结果对应 Alice 发送的比特 $c$。
• 测量 $\mathsf{A}$ 的结果对应 Alice 发送的比特 $d$。
• 注意: 这里的 $c, d$ 与 Alice 的 $c, d$ 是同一个值。电路图上用 $d', c'$ 可能是为了强调这是 Bob 测量得到的值。从电路图看，$\mathsf{A}(q_0)$ 的测量结果进入了 $d'$，$\mathsf{B}(q_1)$ 的测量结果进入了 $c'$。这是一个需要注意的细节，测量 $q_1$ 得到 $c$，测量 $q_0$ 得到 $d$。

这段话是对超密集编码工作原理的高度概括，揭示了其核心的物理机制。

1. “该协议背后的想法很简单”: 这句话旨在建立信心，告诉读者尽管量子协议听起来复杂，但其核心思想可以被直观地理解。
2. “Alice 有效地选择她想与 Bob 共享哪个贝尔态”: 这是协议的精髓所在。

• 初始状态: Alice 和 Bob 开始时共享一个特定的贝尔态，即 $\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 00 \rangle + \vert 11 \rangle)$。
• 四个贝尔态: 贝尔态构成了二维双量子位系统的一组标准正交基。它们是：
• $\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 00 \rangle + \vert 11 \rangle)$
• $\vert\phi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 00 \rangle - \vert 11 \rangle)$
• $\vert\psi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 01 \rangle + \vert 10 \rangle)$
• $\vert\psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 01 \rangle - \vert 10 \rangle)$
• Alice 的选择: Alice 的操作（施加 I, X, Z, XZ 之一）并不是凭空创造状态，而是在这四个贝尔态之间进行切换。她对自己持有的量子位 $\mathsf{A}$ 施加局部操作，可以将整个系统的联合状态从 $\vert\phi^+\rangle$ 变换到其他三个贝尔态中的任意一个。
• “有效地选择”: 这个选择是根据她想发送的两个经典比特 $(c,d)$ 来决定的。四种可能的 $(c,d)$ 组合，正好对应四种贝尔态。

1. “她向 Bob 发送她的量子位”: 这是通信步骤，Alice 将携带了“选择信息”的量子位 $\mathsf{A}$ 发送给 Bob。
2. “Bob 通过测量来确定 Alice 选择了哪个贝尔态”: 这是解码步骤。

• Bob 的操作 (CNOT + H) 的作用就是一个“贝尔态分析器”。它能区分这四个相互正交的贝尔态。
• Bob 的测量并不是直接测量贝尔态，而是将这四个贝尔态转换到计算基底（$\vert 00 \rangle, \vert 01 \rangle, \vert 10 \rangle, \vert 11 \rangle$），然后再进行测量。因为计算基底是容易通过测量区分的，所以 Bob 测量得到的结果 00, 01, 10, 11 就唯一地对应于 Alice 发送过来的那个贝尔态。
• 由于贝尔态和 Alice 的经典比特 $(c,d)$ 是一一对应的，所以 Bob 确定了贝尔态，也就知道了 $(c,d)$。

这部分内容是上一段物理图像的数学化表达。它精确地展示了 Alice 如何通过对自己的量子位 $\mathsf{A}$ 进行局部操作，来改变整个纠缠对 $(\mathsf{A}, \mathsf{B})$ 的全局状态。

注意: 原文的公式似乎有一个印刷错误。在超密集编码中，Alice 的操作是作用在她自己的量子位 $\mathsf{A}$ 上的，所以操作符应该是 $(U \otimes \mathbb{I})$ 的形式，而不是 $(\mathbb{I} \otimes U)$。后者表示操作作用在 Bob 的量子位 $\mathsf{B}$ 上。我们将按照协议的正确描述来解释，即操作作用在第一个量子位 $\mathsf{A}$ 上。

Alice 的四种编码操作:

Alice 想发送两位经典比特 $(c, d)$。协议将这四种可能性映射到 Alice 对其量子位 $\mathsf{A}$ 的四种操作上：

• 若 $(c,d) = (0,0)$, Alice 什么都不做，等效于施加单位门 $\mathbb{I}$。
• 若 $(c,d) = (0,1)$, Alice 施加 Z 门。
• 若 $(c,d) = (1,0)$, Alice 施加 X 门。
• 若 $(c,d) = (1,1)$, Alice 先施加 Z 门再施加 X 门（等效于 XZ）。

初始状态是 $\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 00 \rangle + \vert 11 \rangle)$。我们来逐一计算这四种操作对初始状态的影响。

这部分内容紧接着上一部分，解释了协议的解码阶段。它说明了 Bob 的操作（一个 CNOT 门和一个 H 门）是如何区分 Alice 发送过来的四种贝尔态的。

1. “Bob 的操作对四个贝尔态具有以下影响”: 这句话宣告了接下来公式的含义——它是一个“输入-输出”关系表，输入是 Bob 接收到的双量子位系统的状态（四个贝尔态之一），输出是经过 Bob 的解码操作后，系统变成的新状态。
2. 公式解析: 这个公式是超密集编码解码阶段的核心。Bob 的操作，我们记为 $U_{Bob}$，由一个 CNOT 门（$\mathsf{A}$ 控制 $\mathsf{B}$）和一个 H 门（作用于 $\mathsf{A}$）组成，即 $U_{Bob} = (H_{\mathsf{A}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}}) \cdot \text{CNOT}_{\mathsf{A} \to \mathsf{B}}$。

• $\vert \phi^+\rangle \mapsto \vert 00\rangle$: 如果 Alice 发送的是 00，Bob 收到的状态是 $\vert\phi^+\rangle$。经过他的解码操作后，系统状态会确定性地变成 $\vert 00 \rangle$。
• $\vert \phi^-\rangle \mapsto \vert 01\rangle$: 如果 Alice 发送的是 01，Bob 收到的状态是 $\vert\phi^-\rangle$。解码后，系统状态会变成 $\vert 01 \rangle$。
• $\vert \psi^+\rangle \mapsto \vert 10\rangle$: 如果 Alice 发送的是 10，Bob 收到的状态是 $\vert\psi^+\rangle$。解码后，系统状态会变成 $\vert 10 \rangle$。
• $\vert \psi^-\rangle \mapsto -\vert 11\rangle$: 如果 Alice 发送的是 11，Bob 收到的状态是 $\vert\psi^-\rangle$。解码后，系统状态会变成 $\vert 11 \rangle$（前面的负号是一个全局相位，在测量中无法被观察到，不影响结果）。

1. “这可以通过逐一计算 Bob 在这些状态上的操作结果来直接检查”: 这句话邀请读者进行数学验证，表明上述映射关系不是凭空得来的，而是可以严格推导的。

这段内容将协议的编码和解码两个阶段串联起来，完整地走查了四种信息发送的所有情况，以证明协议的正确性。

1. “因此，当 Bob 执行测量时，他能够确定 Alice 选择了哪个贝尔态”: 这是对前面分析的总结。因为 Bob 的操作已经将四个贝尔态映射到了四个唯一的、可区分的计算基底态，所以测量基底态就等价于确定了原始的贝尔态。
2. “验证协议是否正确运行只需检查每种情况”: 表明接下来将进行一个详尽的、覆盖所有可能性的端到端流程检查。

四种情况的检查:

• 情况 1: Alice 发送 cd = 00

• 编码 (Alice): Alice 不做任何操作。共享的纠缠对 $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ 保持为 $\vert\phi^+\rangle$ 状态。
• 通信: Alice 将她的量子位 $\mathsf{A}$ 发送给 Bob。
• 解码 (Bob): Bob 收到 $\mathsf{A}$。他现在拥有的系统 $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ 状态是 $\vert\phi^+\rangle$。（注意原文写的是 $(\mathsf{B},\mathsf{A})$，这只是记法习惯，物理上是同一个系统）。他对此状态施加解码操作（CNOT+H），根据我们之前的推导（或原文的表格），$\vert\phi^+\rangle$ 状态被转换为 $\vert 00 \rangle$。
• 测量 (Bob): Bob 测量 $(\mathsf{A},\mathsf{B})$。对 $\vert 00 \rangle$ 进行测量，结果必然是第一个量子位为 0，第二个量子位为 0。根据协议，测量 $\mathsf{A}$ 得到 $d$，测量 $\mathsf{B}$ 得到 $c$。所以 Bob 获得 $d=0, c=0$。
• 结论: Alice 发送 00，Bob 收到 00。通信成功。
• 情况 2: Alice 发送 cd = 01

• 编码 (Alice): Alice 对 $\mathsf{A}$ 施加 Z 门。系统状态变为 $\vert\phi^-\rangle$。
• 通信: Alice 发送 $\mathsf{A}$ 给 Bob。
• 解码 (Bob): Bob 拥有的系统状态是 $\vert\phi^-\rangle$。他施加解码操作。
• 根据原文表格: $\vert\phi^-\rangle$ 转换为 $\vert 01 \rangle$。
• 根据我们严格推导: $\vert\phi^-\rangle$ 转换为 $\vert 10 \rangle$。
• 测量 (Bob):
• 如果按原文表格，Bob 测量 $\vert 01 \rangle$，得到 $d=0, c=1$。Alice 发送 01，Bob 收到 01。通信成功。
• 如果按严格推导，Bob 测量 $\vert 10 \rangle$，得到 $d=1, c=0$。Alice 发送 01，Bob 收到 01。通信成功。
• 结论: 尽管中间态的表示有出入，但最终的经典信息传递是正确的。这进一步证明了原文表格中的 01 和 10 很可能是笔误，但协议本身逻辑是正确的。为了与原文保持一致，我们下面继续遵循其表格。
• 情况 3: Alice 发送 cd = 10

• 编码 (Alice): Alice 对 $\mathsf{A}$ 施加 X 门。系统状态变为 $\vert\psi^+\rangle$。
• 通信: Alice 发送 $\mathsf{A}$ 给 Bob。
• 解码 (Bob): Bob 拥有的系统状态是 $\vert\psi^+\rangle$。他施加解码操作，根据原文表格，状态转换为 $\vert 10 \rangle$。
• 测量 (Bob): Bob 测量 $\vert 10 \rangle$，得到 $d=1, c=0$。
• 结论: Alice 发送 10，Bob 收到 10。通信成功。
• 情况 4: Alice 发送 cd = 11

• 编码 (Alice): Alice 对 $\mathsf{A}$ 施加 XZ (或 ZX) 门。系统状态变为 $\vert\psi^-\rangle$。
• 通信: Alice 发送 $\mathsf{A}$ 给 Bob。
• 解码 (Bob): Bob 拥有的系统状态是 $\vert\psi^-\rangle$。他施加解码操作，状态转换为 $-\vert 11 \rangle$。
• “（负一相位因子在这里没有影响。）”: 这是一个重要的物理注释。状态 $-\vert 11 \rangle$ 和 $\vert 11 \rangle$ 在物理上是无法通过测量区分的。对一个量子态乘以一个全局相位因子 $e^{i\theta}$ (这里是 $e^{i\pi}=-1$) 不会改变任何测量结果的概率。
• 测量 (Bob): Bob 测量 $-\vert 11 \rangle$，其结果与测量 $\vert 11 \rangle$ 完全相同，必然得到 $d=1, c=1$。
• 结论: Alice 发送 11，Bob 收到 11。通信成功。

这部分是超密集编码编程实践的开始，采取了一种最简单、最直接的方式：硬编码要传输的经典比特。

1. “这里有一个超密集编码的简单实现”: 告诉读者，接下来的代码是一个入门级的、用于演示的实现。
2. “我们根据要传输的比特来指定电路本身”: 这是对该实现方法的关键说明。

• 这意味着我们将要构建的量子电路不是一个通用的、可以处理所有四种情况的电路。
• 相反，我们将先确定好要发送哪两个比特（比如 10），然后只构建发送 10 这种情况所对应的那个特定的量子电路。
• 这就像菜谱里有四道菜，我们不写一本包含所有菜的通用菜谱，而是先决定今天就做“宫保鸡丁”，然后只把“宫保鸡丁”的菜谱写下来。

1. “首先，我们将选择两个要传输的比特”: 明确了第一步是确定输入信息。
2. “（稍后我们将随机选择它们，但现在我们只是做一个任意选择。）”:

• 这是一个重要的提示，告诉读者当前的“硬编码”方法只是为了教学演示。
• 它预告了后面会有一个更高级、更通用的实现方式，即用随机数来决定要发送的比特，并构建一个能动态适应所有情况的电路。

1. c = "1" 和 d = "0":

• 这里定义了两个 Python 变量 c 和 d。
• 它们被赋值为字符串 "1" 和 "0"。
• 这代表 Alice 这一次想要发送的经典信息是 (c,d) = (1,0)。

这个代码块根据上一段定义的 c="1" 和 d="0"，构建了发送 10 的超密集编码电路。

1. “现在我们将相应地构建电路...”: 开始动手写代码。
2. “允许 Qiskit 对量子位使用默认名称...”:
   • 之前在隐形传态中，我们用 QuantumRegister(1, "A") 的方式给量子位明确命名了。
   • 这里采用了更简洁的方式。QuantumCircuit(2) 会自动创建两个量子位，并按索引命名它们：第一个是 q_0，第二个是 q_1。
   • $\mathsf{q}_0$ (索引0) 对应顶部线，代表 Alice 的量子位 $\mathsf{A}$。
   • $\mathsf{q}_1$ (索引1) 对应底部线，代表 Bob 的量子位 $\mathsf{B}$。

代码分解:

• protocol = QuantumCircuit(2): 创建一个包含 2 个量子位的电路。Qiskit 会自动为测量结果创建一个包含 2 个经典比特的寄存器。
• 纠缠制备:

• protocol.h(0): 对 q_0 (Alice的量子位) 施加 H 门。
• protocol.cx(0, 1): 以 q_0 为控制，q_1 为目标，施加 CNOT 门。
• 这两步之后，$(\mathsf{q}_0, \mathsf{q}_1)$ 处于了 $\vert\phi^+\rangle$ 纠缠态。
• protocol.barrier(): 视觉分隔。
• Alice 的操作 (编码):

• if d == "1": protocol.z(0): 检查变量 d 是否等于 "1"。
• 在我们的例子中，d 是 "0"，所以这个 if 条件不满足，protocol.z(0) 这一行不会被执行。
• if c == "1": protocol.x(0): 检查变量 c 是否等于 "1"。
• 在我们的例子中，c 是 "1"，所以这个 if 条件满足，protocol.x(0) 会被执行。即对 q_0 施加一个 X 门。
• 效果: Alice 最终只对她的量子位 q_0 施加了 X 门。根据协议，这会将系统状态从 $\vert\phi^+\rangle$ 变为 $\vert\psi^+\rangle$。
• protocol.barrier(): 视觉分隔。
• Bob 的操作 (解码):

• protocol.cx(0, 1): Bob 收到 q_0 后，以 q_0 为控制，q_1 为目标，施加 CNOT 门。
• protocol.h(0): 接着对 q_0 施加 H 门。
• 这两步是“贝尔基测量”的解码部分。此时，如果输入是 $\vert\psi^+\rangle$，系统状态应该变成了 $\vert 10 \rangle$。
• 测量:

• protocol.measure_all(): 这是一个便捷函数，它会测量电路中所有的量子位，并将结果存储到自动创建的对应经典比特中。
• 测量 q_0 (A) 的结果会存到经典比特 c_0。
• 测量 q_1 (B) 的结果会存到经典比特 c_1。
• Qiskit 的输出比特串顺序是 c_1 c_0。所以我们期望的结果是 10。
• display(protocol.draw(output="mpl")): 绘制并显示这个专门为发送 10 构建的电路。

这部分代码运行了我们刚刚为发送 10 而构建的电路，并展示了其结果，以验证协议的正确性。

第一部分：measure_all 函数解释

• “这里没有太多新东西，除了 measure_all 函数”: 告诉读者，大部分代码的模式和之前隐形传态的模拟是一样的。
• measure_all:
• 这是一个便捷函数。在没有它的时候，你需要为每个要测量的量子位手动添加 measure 操作，比如 protocol.measure(0, 0); protocol.measure(1, 1)。
• measure_all() 会自动完成这些。它遍历电路中的所有量子位，并为每一个都添加一个测量操作。
• 它还会自动将测量结果存储到一个与量子位数量相匹配的经典寄存器中。如果电路在创建时没有指定足够的经典比特，measure_all 会在需要时添加它们。
• 结果映射: 量子位 q_i 的测量结果会被存入经典比特 c_i。
• 输出顺序: Qiskit 的输出比特串是高位在左，低位在右，顺序为 ...c_2 c_1 c_0。对于我们这个有两个量子位的电路，输出的比特串是 c_1 c_0。c_1 存储了 q_1 的结果，c_0 存储了 q_0 的结果。

第二部分：模拟代码

```python

result = AerSimulator().run(protocol).result()

statistics = result.get_counts()

```

• 这部分代码与隐形传态的模拟完全相同。
• AerSimulator().run(protocol): 使用 AerSimulator 运行我们为发送 10 定制的 protocol 电路。默认运行 1024 次。
• .result(): 获取包含结果的 Result 对象。
• get_counts(): 从 Result 对象中提取统计字典 statistics。

第三部分：打印和显示结果

```python

for outcome, frequency in statistics.items():

print(f"Measured {outcome} with frequency {frequency}")

display(plot_histogram(statistics))

```

• for outcome, frequency in statistics.items(): 这是一个 for 循环，用于遍历 statistics 字典中的每一个键值对。
• outcome: 每次循环，outcome 会被赋值为字典的一个键，即测量到的比特串，例如 "10"。
• frequency: frequency 会被赋值为对应的值，即该结果出现的次数，例如 1024。
• print(f"Measured {outcome} with frequency {frequency}"): 以更具可读性的格式打印出结果。f"..." 是 Python 的 f-string 格式化方法。
• display(plot_histogram(statistics)): 将统计结果绘制成直方图。

第四部分：输出分析

• Measured 10 with frequency 1024:
• 这是 print 语句的输出。
• outcome 是 "10"。
• frequency 是 1024。
• 这表明，在 1024 次运行中，每一次的测量结果都是 10。
• 结果解读:
• 我们想要发送的经典信息是 (c,d) = (1,0)。
• 协议规定，Bob 测量 q_1 得到 c，测量 q_0 得到 d。
• 输出的比特串是 c_1 c_0，其中 c_1 是 q_1 的结果，c_0 是 q_0 的结果。
• 所以，实验结果 10 意味着 Bob 测得 c_1=1 (即 c=1) 和 c_0=0 (即 d=0)。
• Bob 收到的信息是 (c,d) = (1,0)。
• 这与 Alice 想要发送的信息完全一致。
• 直方图: 显示的直方图会只有一个柱子，这个柱子在 X 轴的 "10" 位置，其高度为 1024。这在视觉上确认了结果的唯一性和确定性。

这段话引入了下一个、更高级的实现方式。它不再写死要传输的比特，而是将比特的生成也纳入到量子电路中，使其成为一个更完整、更通用的演示。

1. “现在让我们使用一个额外的量子位作为随机比特生成器”:

• “额外的量子位”: 意味着我们的新电路将不止包含超密集编码所需的两个量子位，至少会再增加一个。
• “作为随机比特生成器”: 这个新增的量子位的唯一用途就是产生随机的 0 或 1。
• 如何实现:
• 一个量子位初始状态为 $\vert 0 \rangle$。
• 对它施加一个 Hadamard (H) 门，它的状态变为 $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle)$。
• 此时对它进行测量，根据量子力学原理，将有 50% 的概率得到 0，50% 的概率得到 1。
• 这完美地模拟了一次公平的硬币抛掷。

1. “—— 本质上是抛掷均匀硬coin”:

• 这是一个非常直观的类比，帮助读者理解“量子位 + H 门 + 测量”这个组合的宏观效果。
• “均匀 (fair)” 对应于得到 0 和 1 的概率严格相等 (50%/50%)。

1. “我们将使用它来随机选择 $c$ 和 $d$”:

• 明确了这个随机比特生成器的用途。
• 我们需要两个随机比特 c 和 d。
• 因此，我们需要执行两次“抛硬币”操作。这可以通过对同一个量子位连续两次“H+测量”来实现，或者使用两个独立的量子位。原文的实现将展示如何复用同一个量子位。

1. “然后运行超密集编码协议”:

• 在随机生成了 c 和 d 之后，电路的其余部分将执行超密集编码。
• 关键的区别在于，这里的超密集编码电路必须是“动态的”或“通用的”。它不能像上一个例子那样只为一个固定的 c 和 d 工作。
• 它需要能根据量子电路内部刚刚生成的 c 和 d 的值，来条件地执行 X 和 Z 门。这正是我们之前在隐形传态中学到的 if_test 功能的用武之地。

这个复杂的代码块构建了一个集成了随机数生成、编码、解码和测量的全功能超密集编码测试电路。

第一部分：定义所有寄存器

```python

rbg = QuantumRegister(1, "coin") # Random Bit Generator

ebit0 = QuantumRegister(1, "A")

ebit1 = QuantumRegister(1, "B")

Alice_c = ClassicalRegister(1, "Alice c")

Alice_d = ClassicalRegister(1, "Alice d")

```

• rbg = QuantumRegister(1, "coin"): 创建一个名为 "coin" 的单量子位寄存器，专门用于生成随机数。
• ebit0, ebit1: 和之前一样，这是用于超密集编码的两个量子位。
• Alice_c, Alice_d: 创建两个经典寄存器，用于存储 Alice 随机生成的两个比特 c 和 d。

第二部分：创建电路

```python

test = QuantumCircuit(rbg, ebit0, ebit1, Alice_d, Alice_c)

```

• 创建一个包含所有已定义寄存器的量子电路。
• 注意寄存器顺序: Alice_d 在 Alice_c 之前。这会影响最终输出比特串的顺序。

第三部分：制备纠缠

```python

这部分运行了上一节构建的通用测试电路，并解释了如何解读其输出结果。

1. “运行 Aer 模拟器显示结果：Alice 和 Bob 的经典比特始终一致”:

• 这句话预告了实验的结果和结论。
• “Alice 和 Bob 的经典比特”: 指的是 Alice 随机生成的那对比特 (Alice_c, Alice_d) 和 Bob 解码测量得到的那对比特 (Bob_c, Bob_d)。
• “始终一致”: 这是对协议正确性的最终断言。无论 Alice 随机生成的是 00, 01, 10, 还是 11，Bob 解码后得到的结果都应该与之完全相同。

1. 代码部分:

```python

result = AerSimulator().run(test).result()

statistics = result.get_counts()

display(plot_histogram(statistics))

```

• 这三行代码的模式和之前完全一样，只是运行的电路是更复杂的 test 电路。
• AerSimulator 会执行这个包含随机生成和条件操作的电路 1024 次。
• get_counts() 会统计所有经典寄存器的最终状态。

1. 结果分析:

• 我们的电路中总共有四个经典比特，按添加到电路的顺序，它们是 Alice_d, Alice_c, Bob_d, Bob_c。（注意 add_register 的顺序）。
• 因此，输出的比特串格式应该是 (Bob_c)(Bob_d)(Alice_c)(Alice_d)。
• “始终一致” 的要求意味着 Bob_c 必须等于 Alice_c，Bob_d 必须等于 Alice_d。
• 让我们看看四种可能的随机输入会产生什么样的输出：
• Alice 生成 (c=0, d=0): Alice_c=0, Alice_d=0。Bob 应该收到 Bob_c=0, Bob_d=0。最终的比特串是 0000。
• Alice 生成 (c=0, d=1): Alice_c=0, Alice_d=1。Bob 应该收到 Bob_c=0, Bob_d=1。最终的比特串是 0101。
• Alice 生成 (c=1, d=0): Alice_c=1, Alice_d=0。Bob 应该收到 Bob_c=1, Bob_d=0。最终的比特串是 1010。
• Alice 生成 (c=1, d=1): Alice_c=1, Alice_d=1。Bob 应该收到 Bob_c=1, Bob_d=1。最终的比特串是 1111。
• 预期直方图:
• 由于 Alice 的比特是随机生成的，四种情况出现的概率应该大致相等。
• 因此，我们期望在最终的直方图上只看到 0000, 0101, 1010, 1111 这四个柱子。
• 所有其他的组合，比如 0100 (表示 Bob_d 和 Alice_d 不匹配)，出现的次数应该为 0。
• 这四个柱子的高度应该大致相等，都在 1024 / 4 = 256 左右。

这段引言介绍了本课程的第三个，也是最后一个重要例子——CHSH博弈，并对其名称来源和“博弈”一词的含义进行了解释。

1. “本课要讨论的最后一个例子不是协议，而是一个被称为 CHSH 博弈的博弈”:

• 明确了例子的性质转变。前面的隐形传态和超密集编码都是通信协议，目标是完成一项通信任务。
• 而 CHSH 是一个博弈 (Game)。在博弈中，通常有玩家、规则、策略和输赢条件，目标是最大化获胜的概率。
• 这个转变很重要，因为它引入了一种新的、用以揭示量子世界奇特性质的框架。

1. “在这种语境下当我们谈论博弈时...而是博弈论意义上的数学抽象”:

• 这里特意澄清了“博弈”的科学含义，以区别于日常生活中“游戏”的概念。
• 日常游戏 (Play for fun): 如象棋、电子游戏，主要目的是娱乐。
• 博弈论 (Game Theory): 是一个数学分支，研究在具有明确规则的环境中，理性决策者如何进行策略选择以及这些选择的后果。它关心的是最优策略、均衡和效率。
• “数学抽象”意味着我们将用精确的数学语言来定义玩家、行动、信息和收益。

1. “博弈的数学抽象在经济学和计算机科学中都有研究，它们既迷人又实用”:

• 这句话旨在提升“博弈论”这个概念的地位，说明它是一个严肃且应用广泛的科学领域，例如在拍卖理论、网络路由、算法设计中都有应用。

1. “字母 CHSH 指的是 1969 年首次描述该示例的论文作者...”:

• 解释了 "CHSH" 这个奇怪名字的来源。它是一个首字母缩写词，代表四位物理学家：
• John Clauser
• Michael Horne
• Abner Shimony
• Richard Holt
• 这为例子提供了历史背景，并向这些科学先驱致敬。

1. “他们并没有将该示例描述为博弈，而是描述为实验。然而，将其描述为博弈既自然又直观”:

• 指出了一个有趣的历史演变。CHSH 最初是作为一个思想实验或真实可行的物理实验方案被提出来的，目的是检验贝尔定理，即量子力学与定域实在论之间的冲突。
• 后来，人们发现将这个实验的框架重新包装成一个“博弈”，能让其核心思想变得更加清晰、更易于理解，特别是对于非物理背景的计算机科学家和数学家而言。
• “博弈”的框架（裁判、玩家、问题、答案、输赢规则）使得“定域实在论”和“量子力学”分别对应于玩家可以使用的两种不同类型的“策略”，而这两种策略的最高“胜率”是不同的。这种胜率的差异，就是量子优越性的体现。

这段话将 CHSH 博弈置于一个更广阔的理论框架——非定域博弈——之中，并预告了接下来的解释结构。

1. “CHSH 博弈属于一类被称为非定域博弈的博弈”:

• 这是一个分类声明，将 CHSH 博弈鉴定为一个更广泛的类别 非定域博弈 (Non-local Game) 的一个具体实例。
• 这暗示了非定域博弈是一个包含许多不同博弈的家族，CHSH 只是其中最著名、最简单的成员之一。
• “非定域 (Non-local)” 这个词是关键。它直接指向了量子力学的非定域性，即纠缠粒子之间的超距关联。博弈的名字本身就揭示了它的核心议题。

1. “非定域博弈极其有趣，并且与物理学、计算机科学和数学有着深刻的联系”:

• 这句话强调了非定域博弈这一整个领域的重要性。
• “极其有趣”: 因为它们的结果常常违反我们的经典直觉。
• “深刻的联系”:
• 物理学: 它们是研究量子非定域性、贝尔不等式以及量子力学基础的有力工具。
• 计算机科学: 它们与计算复杂性理论（特别是交互式证明系统）、密码学（如设备无关的量子密码）以及算法设计有关。
• 数学: 它们与算子代数、C*-代数等高等数学领域有深刻的联系。
• 这说明非定域博弈是一个交叉学科的前沿研究领域。

1. “—— 蕴藏着至今仍未解开的奥秘”:

• 这句话激发了读者的好奇心，暗示了这个领域仍然是活跃的研究前沿。
• 一个著名的例子是 Tsirelson 问题，它询问在量子力学的不同数学形式（张量积模型 vs. 可交换算子模型）下，非定域博弈的最大获胜概率是否相同。这个问题直到 2020 年才被一个被称为 "MIP*=RE" 的计算机科学领域的重大突破所解决，答案是否定的。这揭示了量子关联的复杂性远超之前的想象。

1. “我们将首先解释什么是非定域博弈，然后我们将重点讨论 CHSH 博弈及其有趣之处”:

• 这是一个清晰的“路线图”声明。
• 它告诉读者，为了更好地理解 CHSH 博弈，我们将采用“从一般到特殊”的讲解顺序。
• 首先: 定义非定域博弈的通用框架。
• 然后: 将 CHSH 博弈作为这个框架下的一个具体例子来详细分析，并阐明它“有趣”在何处（即量子策略为何能超越经典策略）。

这段文字定义了非定域博弈的两个最核心的特征：协作性和禁止通信。

1. “非定域博弈是一种协作博弈 (cooperative game)，其中两名玩家 Alice 和 Bob 共同努力实现特定的结果”:

• 协作博弈: 与“竞争博弈”（如象棋，一人赢则另一人输）相对。在协作博弈中，玩家们的目标是一致的，他们要么一起赢，要么一起输。他们之间没有利益冲突。
• Alice 和 Bob: 博弈的标准参与者。
• 共同努力实现特定的结果: 他们的目标是让他们的联合答案满足裁判设定的获胜条件。

1. “博弈由一名裁判 (referee) 运行，裁判根据 Alice 和 Bob 已知的严格准则行事”:

• 引入了博弈的第三方：裁判。裁判是规则的制定者和执行者。
• “已知的严格准则”: 博弈的规则（包括裁判如何提问，以及如何判定输赢）是公开透明的，Alice 和 Bob 在博弈开始前完全清楚这些规则。博弈中没有信息不对称或欺骗。

1. “Alice 和 Bob 可以选择任何方式为博弈做准备”:

• 这是博弈的“准备阶段”。在这个阶段，Alice 和 Bob 可以自由交流，商定策略。
• 关键点: 在量子版本的博弈中，这个“准备”阶段就包括了制备和分发共享的纠缠资源。他们可以建立一个纠缠对，Alice 拿着一个粒子，Bob 拿着另一个，然后分赴各自的隔离室。

1. “但博弈一旦开始，他们就被禁止通信”:

• 这是非定域博弈最至关重要的一个约束条件。
• 一旦裁判开始提问，Alice 和 Bob 之间就不能有任何形式的信息交换。Alice 不知道裁判问了 Bob 什么问题，Bob 也不知道裁判问了 Alice 什么。他们也无法商量着给出答案。

1. 对“禁止通信”的两种直观解释:

• 空间隔离: “就像...在不同房间受审的嫌疑人”。这是从空间上保证他们无法交流。这个比喻非常生动，两个嫌疑人如果想串供，必须在被抓之前就商量好，一旦分开审问，就只能凭之前的约定和默契了。
• 时空限制 (因果关系): “Alice 和 Bob 相距遥远...光速不允许...通信”。这是一个更物理、更严格的定义。如果 Alice 和 Bob 相距足够远（比如 Alice 在地球，Bob 在比邻星），并且他们被要求在收到问题后的极短时间内（比如1纳秒）必须给出答案，那么根据相对论，任何以光速传播的信号都来不及从一方传到另一方。这从根本上杜绝了通信的可能性。这个设定也解释了为什么这类博弈被称为“非定域”的。

这段文字和配图，将上一段描述的博弈流程进一步形式化和细节化，定义了博弈中的信息流和核心要素。

第一部分：问题 (Inputs)

• “裁判首先向 Alice 和 Bob 各提一个问题”: 这是博弈的启动信号。
• “$x$ 来代表 Alice 的问题，$y$ 代表 Bob 的问题”: 引入了变量 $x, y$ 来数学化地表示裁判的输入。
• “$x$ 和 $y$ 视为经典状态，在 CHSH 博弈中，$x$ 和 $y$ 是比特”:
• 问题本身是经典信息，比如一个数字、一个字母或一个颜色。
• 对于 CHSH 博弈这个特例，问题被简化为最简单的形式：一个比特。即 $x \in \{0, 1\}, y \in \{0, 1\}$。

第二部分：问题的随机性

• “裁判使用随机性来选择这些问题”: 这是博弈的核心特征之一。如果裁判每次都问同样的问题，玩家就能轻易找到完美的作弊策略。随机性保证了策略必须具有普适性。
• “每个可能的提问对 $(x,y)$ 都有一个相关的概率 $p(x,y)$”: 将随机性量化。裁判不是完全随心所欲地提问，而是遵循一个固定的、已知的概率分布。
• 例如，在 CHSH 博弈中，四个可能的问题对 (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) 是均匀随机选择的，所以 $p(0,0)=p(0,1)=p(1,0)=p(1,1)=1/4$。
• “包括 Alice 和 Bob 在内的每个人都知道这些概率”: 规则是公开的。玩家知道提问的概率分布，这对于他们设计最优策略至关重要。
• “但...没有人知道具体会选择哪一对 $(x,y)$”: 就像掷骰子前，你知道每个点数出现的概率是 1/6，但你不知道下一次会掷出几。这种不确定性是博弈的挑战所在。

第三部分：答案 (Outputs)

• “Alice 和 Bob 收到问题后，必须提供答案：$a$ 是 Alice 的答案，$b$ 是 Bob 的答案”: 玩家根据收到的问题 $x, y$ 做出回应，回应被数学化地表示为 $a, b$。
• “在 CHSH 博弈中是比特”: 同样，对于 CHSH 这个特例，答案也被简化为一个比特。$a \in \{0, 1\}, b \in \{0, 1\}$。

第四部分：获胜规则 (Winning Condition)

• “裁判做出决定...取决于...答案对 $(a,b)$ 是否被视为正确”: 输赢不是随机的，而是由一个确定的函数决定的。
• 这个函数以问题对 $(x,y)$ 和答案对 $(a,b)$ 作为输入，输出一个结果：赢或输。我们可以用一个判定函数 $V(a, b | x, y)$ 来表示，如果赢则 $V=1$，输则 $V=0$。
• “不同的规则意味着不同的博弈”: 这个判定函数 $V$ 的定义，是区分不同非定域博弈的关键。
• “CHSH 博弈的具体规则将在下一节中描述”: 预告了接下来的内容。
• “规则是每个人都知道的”: 再次强调规则的公开性。

第五部分：图形表示

• 图清晰地展示了信息流：
• 裁判 (Referee) 在中间。
• 裁判产生两个问题 $x, y$，分别发送给 Alice 和 Bob。
• Alice 和 Bob 各自产生答案 $a, b$，发回给裁判。
• Alice 和 Bob 之间有一条被划掉的线，表示禁止通信。
• 裁判根据 $(x,y)$ 和 $(a,b)$ 判定输赢。

这段话是对非定域博弈核心挑战的强调，并进一步拓展了其研究的广度和深度。

1. “正是对于将要提出哪些问题的不确定性，特别是每个玩家都不知道对方的问题这一事实，使得非定域博弈对 Alice 和 Bob 充满挑战”:

• 这里指出了博弈困难的两个来源：
• 问题本身的随机性: 他们不知道自己会收到什么问题。
• 信息隔离: 他们不知道对方收到了什么问题。
• 如果 Alice 知道 Bob 的问题 $y$，她就可以调整自己的答案 $a$ 来帮助 Bob，反之亦然。正是这种信息的缺失，构成了博弈的主要障碍。
• “就像...串通嫌疑人”: 这个比喻再次被用来强调信息隔离带来的困境。即使事先串通好了，面对审讯者不可预测的问题，也很难保证滴水不漏。

1. “对裁判的精确描述定义了一个非定域博弈的实例...”:

• 这是一个总结性的重申，将非定域博弈的定义精炼为两个核心要素：
• $p(x,y)$: 提问的概率分布。
• $V(a,b|x,y)$: 输赢的判定规则。
• 只要给定了这两个函数，一个非定域博弈就被完整地定义了。

1. “我们稍后会看 CHSH 博弈，但在那之前，让我们简要地承认，考虑其他非定域博弈也很有趣”:

• 这句话起到了一个承上启下的作用，并拓展了视野。
• 它告诉读者，CHSH 只是冰山一角，还有很多其他有趣的非定域博弈值得研究。

1. “对于一些简单的非定域博弈，目前还不清楚 Alice 和 Bob 使用纠缠可以玩得有多好”:

• 这是一个惊人的事实。即使是一些规则看起来很简单的博弈，确定量子策略所能达到的理论最优胜率（这个值被称为量子值 $\omega_q$）也可能是一个非常困难的数学问题。
• 这暗示了量子纠缠所能产生的关联，其复杂性和强度，超出了我们目前的完全理解。

1. “设置很简单，但其中蕴含着复杂性...”:

• 这揭示了非定域博弈的魅力所在：从极其简单的规则出发，可以涌现出高度复杂的行为和深刻的数学结构。
• “计算...最佳...策略可能极其困难”: 这指向了计算复杂性理论。确定一个博弈的量子值，在某些情况下，甚至被证明是不可计算的。这意味着不存在一个通用的算法，可以在有限时间内计算出任意给定博弈的量子最优胜率。

1. “这就是非定域博弈模型令人惊讶的违反直觉的本质”:

• 这是对整个领域特征的感叹。它们的结果（量子策略胜过经典策略）违反了我们的日常直觉。同时，分析它们的难度也常常超乎想象，违反了我们对“简单问题应该有简单答案”的直觉。

这部分内容精确地定义了 CHSH 博弈这个具体的非定域博弈实例。它给出了我们在上一节学到的两个核心要素：问题分布 $p(x,y)$ 和获胜规则 $V(a,b|x,y)$。

1. 输入输出集合的定义

• “问题和答案都是比特：$x,y,a,b\in\{0,1\}$”:
• 这是对博弈中所有信息的基本定义。
• Alice 的问题 $x$ 只能是 0 或 1。
• Bob 的问题 $y$ 只能是 0 或 1。
• Alice 的答案 $a$ 只能是 0 或 1。
• Bob 的答案 $b$ 只能是 0 或 1。
• 这是一个最简单的信息设置，但足以揭示深刻的物理。

2. 问题分布 $p(x,y)$ 的定义

• “裁判均匀随机地选择问题 $(x,y)$”:
• 这定义了 $p(x,y)$。
• “均匀随机”意味着每种可能的问题组合出现的概率都完全相同。
• “四种可能性 $(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)$ 中的每一种被选中的概率都是 $1/4$”: 这是对“均匀随机”的明确数学化。
• $p(0,0) = 1/4$
• $p(0,1) = 1/4$
• $p(1,0) = 1/4$
• $p(1,1) = 1/4$

3. 获胜规则 $V(a,b|x,y)$ 的定义

这里给出了两种等价的定义方式：一个代数表达式和一个表格。

• 代数表达式:

• “如果 $a\oplus b = x\wedge y$ 则答案 $(a,b)$ 赢”:
• $a \oplus b$: 这是异或 (XOR) 操作，也叫模2加法。
• $0 \oplus 0 = 0$
• $0 \oplus 1 = 1$
• $1 \oplus 0 = 1$
• $1 \oplus 1 = 0$
• 当 $a$ 和 $b$ 相同时，结果为 0；当 $a$ 和 $b$ 不同时，结果为 1。所以 $a \oplus b = 0$ 等价于 $a=b$，$a \oplus b = 1$ 等价于 $a \neq b$。
• $x \wedge y$: 这是与 (AND) 操作。
• $0 \wedge 0 = 0$
• $0 \wedge 1 = 0$
• $1 \wedge 0 = 0$
• $1 \wedge 1 = 1$
• 只有当 $x$ 和 $y$ 都为 1 时，结果才为 1，否则为 0。
• 综合规则: 获胜条件是玩家答案的异或值必须等于裁判问题的与值。
• 表格形式: 这个表格将代数规则展开，使其更直观。

• 当 $(x,y) = (0,0), (0,1), (1,0)$ 时:
• 在这些情况下，$x \wedge y = 0$。
• 因此，获胜条件是 $a \oplus b = 0$，这等价于 $a=b$。
• 所以表格的前三行写着，获胜条件是 $a=b$（答案相同）。
• 当 $(x,y) = (1,1)$ 时:
• 在这种情况下，$x \wedge y = 1$。
• 因此，获胜条件是 $a \oplus b = 1$，这等价于 $a \neq b$。
• 所以表格的最后一行写着，获胜条件是 $a \neq b$（答案不同）。

这部分开始分析玩家在 CHSH 博弈中可以采取的策略，首先从最简单、最基础的经典确定性策略入手。

1. “现在让我们考虑...策略，首先从经典策略开始”: 设定了分析的起点。经典策略是指玩家只能利用经典资源（比如共享的随机数），不能使用量子纠缠。
2. “我们先从确定性策略开始”: 在经典策略内部，又分为确定性策略和概率性策略。这里先分析最简单的一种。

• 确定性策略 (Deterministic Strategy): 指玩家的答案完全由他们收到的问题唯一确定。不存在任何随机性。

1. “Alice 的答案 $a$ 是她收到的问题 $x$ 的函数，同样 Bob 的答案 $b$ 是他收到的问题 $y$ 的函数”: 这是对确定性策略的数学化定义。

• Alice 的策略可以表示为一个函数 $a(x)$，输入是问题 $x \in \{0,1\}$，输出是答案 $a \in \{0,1\}$。
• Bob 的策略可以表示为一个函数 $b(y)$，输入是问题 $y \in \{0,1\}$，输出是答案 $b \in \{0,1\}$。
• 由于 Alice 看不到 $y$，她的函数只能依赖于 $x$。同理，Bob 的函数也只能依赖于 $y$。

1. **

“例如，我们可以用 $a(0)$ 来代表 Alice 在问题为 $0$ 时的答案，用 $a(1)$ 来代表 Alice 在问题为 $1$ 时的答案”**:

• 这里用更具体的符号来表示策略。Alice 的策略完全由两个值决定：$a(0)$ (当她被问到 0 时她的回答) 和 $a(1)$ (当她被问到 1 时她的回答)。
• 同理，Bob 的策略也由 $b(0)$ 和 $b(1)$ 两个值决定。
• 一个完整的确定性策略对 (Alice, Bob) 就是这四个值的组合：{a(0), a(1), b(0), b(1)}。

• “没有任何确定性策略可以保证每次都赢得 CHSH 博弈”:

• 这是一个核心结论。它断言，对于经典确定性策略，不存在一个“完美策略”可以 100% 获胜。
• 这意味着，无论 Alice 和 Bob 事先如何约定，他们总会在至少一种问题组合下输掉游戏。
• “理解这一点的一种方法是逐一检查所有可能的确定性策略...”:

• 提出了证明上述结论的一种方法：暴力枚举法。
• 既然策略的总数是有限的，我们可以把它们全部列出来，然后一个个检查，看看是否每一个策略都会在某个地方失败。
• “Alice 和 Bob 每个人都可以从四种可能的从一个比特到另一个比特的函数中进行选择”:

• 一个从比特到比特的函数 $f(x)$，其输入 $x \in \{0,1\}$，输出 $f(x) \in \{0,1\}$。
• 这样的函数总共有 $2^2=4$ 种：

1. 常数0函数: $f(0)=0, f(1)=0$ (策略是“总是回答0”)
2. 常数1函数: $f(0)=1, f(1)=1$ (策略是“总是回答1”)
3. 恒等函数: $f(x)=x$，即 $f(0)=0, f(1)=1$ (策略是“回答你被问到的问题”)
4. 非门函数: $f(x)=1-x$，即 $f(0)=1, f(1)=0$ (策略是“回答与你被问到的问题相反的答案”)
   • “因此总共有 $16$ 种不同的确定性策略需要检查”:

• Alice 有 4 种策略可以选择。
• Bob 也有 4 种策略可以选择。
• 由于他们的选择是独立的，总的策略组合数是 $4 \times 4 = 16$ 种。
• 理论上，我们可以创建一个大表格，列出这 16 种策略，然后对每一种策略，计算它在 4 种问题下的输赢情况，从而证明没有一种策略是全赢的。

这段话提供了一个比暴力枚举更优雅、更具洞察力的逻辑证明，来表明不存在完美的经典确定性策略。它使用的是反证法 (Proof by Contradiction)。

1. “我们也可以通过解析来推理”: 提出了另一种证明方法——逻辑演绎，而非暴力枚举。
2. “如果 Alice 和 Bob 的策略在所有这三种可能性下都获胜，那么...”: 这是反证法的开始。我们假设存在一个完美的策略，它能在所有四种情况下都获胜。那么，它必然在前三种情况下获胜。我们来看看这三个获胜条件会推导出什么。

• 在 $(x,y) = (0,0)$ 时获胜: 获胜条件是 $a \oplus b = 0 \wedge 0 = 0$，即 $a=b$。因为此时 Alice 被问 0，Bob 被问 0，所以 $a$ 是 $a(0)$，$b$ 是 $b(0)$。因此，必须有 $a(0) = b(0)$。
• 在 $(x,y) = (0,1)$ 时获胜: 获胜条件是 $a \oplus b = 0 \wedge 1 = 0$，即 $a=b$。此时 Alice 被问 0，Bob 被问 1，所以 $a$ 是 $a(0)$，$b$ 是 $b(1)$。因此，必须有 $a(0) = b(1)$。
• 在 $(x,y) = (1,0)$ 时获胜: 获胜条件是 $a \oplus b = 1 \wedge 0 = 0$，即 $a=b$。此时 Alice 被问 1，Bob 被问 0，所以 $a$ 是 $a(1)$，$b$ 是 $b(0)$。因此，必须有 $a(1) = b(0)$。

1. “因此，... 那么 $b(1) = a(0) = b(0) = a(1)$”:

• 这是一个逻辑链推导。把上面三个等式连起来：
• 从 $a(0) = b(1)$ 和 $a(0) = b(0)$，我们得到 $b(1) = b(0)$。
• 再结合 $a(1) = b(0)$，我们得到 $b(1) = b(0) = a(1)$。
• 最后再把 $a(0)=b(0)$ 放进来，就得到了完整的等式链: $b(1) = a(0) = b(0) = a(1)$。
• 这个等式链的结论是：如果一个策略想在前三种情况下都获胜，那么 Alice 和 Bob 的所有可能答案都必须是相同的。即 $a(0)=a(1)=b(0)=b(1)$。

1. [公式与符号逐项拆解和推导（若本段含公式）]

• $a(x)$: Alice 的策略函数，当她被问到 $x$ 时的回答。
• $b(y)$: Bob 的策略函数，当他被问到 $y$ 时的回答。
• $a(0), a(1), b(0), b(1)$: 代表一个特定策略的四个值，它们都只能是 0 或 1。
• 推导过程:
• 假设在 (0,0), (0,1), (1,0) 三种情况下都赢。
• Win at (0,0) $\implies a(0) = b(0)$
• Win at (0,1) $\implies a(0) = b(1)$
• Win at (1,0) $\implies a(1) = b(0)$
• 将这三个等式联立，可得 $a(1) = b(0) = a(0) = b(1)$。这个链条中的每一个等号都来自于一个获胜条件。

1. “这意味着该策略在最后一种情况 $(x,y) = (1,1)$ 下会失败”:

• 现在我们来检查这个“完美”策略在第四种情况下的表现。
• 在 $(x,y) = (1,1)$ 时，获胜条件是 $a \oplus b = 1 \wedge 1 = 1$，即 $a \neq b$。
• 此时，Alice 被问 1，Bob 被问 1，所以他们的答案分别是 $a(1)$ 和 $b(1)$。获胜要求 $a(1) \neq b(1)$。
• 但是，我们从前三种情况的获胜条件中已经推导出 $a(1) = b(1)$。
• 这两个要求是相互矛盾的！$a(1) \neq b(1)$ 和 $a(1) = b(1)$ 不可能同时成立。

1. “因此，不存在每次都能获胜的确定性策略”:

• 这是反证法的最终结论。
• 我们的初始假设——“存在一个完美的策略”——导致了一个逻辑矛盾。
• 因此，初始假设是错误的。结论是：不存在能在所有四种情况下都获胜的经典确定性策略。

这段话在证明了完美策略不存在之后，接着探讨了经典确定性策略所能达到的“最好”结果。

1. “另一方面，很容易找到在四种情况中获胜三次的确定性策略”:

• 既然 100% (4/4) 的胜率不可能，那么下一个自然的问题是：我们能达到的最高胜率是多少？
• 这句话断言，存在能达到 75% (3/4) 胜率的策略。

1. “例如 $a(0)=a(1)=b(0)=b(1)=0$”:

• 这里给出了一个具体的能达到 3/4 胜率的策略。
• 策略描述:
• Alice 的策略是 $a(0)=0, a(1)=0$。这是一种“常数函数”策略，即 Alice 无论被问到什么，总是回答 0。
• Bob 的策略是 $b(0)=0, b(1)=0$。Bob 也总是回答 0。
• 这是一个非常简单的策略：“无论发生什么，我们都回答 0”。

1. 验证该策略的胜率:

• 问题 (x=0, y=0): Alice 回答 0，Bob 回答 0。获胜条件是 $a=b$ (因为 $0 \wedge 0 = 0$)。$0=0$，赢。
• 问题 (x=0, y=1): Alice 回答 0，Bob 回答 0。获胜条件是 $a=b$ (因为 $0 \wedge 1 = 0$)。$0=0$，赢。
• 问题 (x=1, y=0): Alice 回答 0，Bob 回答 0。获胜条件是 $a=b$ (因为 $1 \wedge 0 = 0$)。$0=0$，赢。
• 问题 (x=1, y=1): Alice 回答 0，Bob 回答 0。获胜条件是 $a \neq b$ (因为 $1 \wedge 1 = 1$)。$0=0$，输。
• 结论: 这个策略在四种可能的问题中赢了三次，输了一次。

1. “由此我们可以得出结论，Alice 和 Bob 使用确定性策略赢得 CHSH 博弈的最大概率是 $3/4$”:

• 计算概率: 由于四种问题情况是均匀随机的（每种概率为 1/4），所以总的平均获胜概率是：

$\frac{1}{4} \times (\text{胜率 at 00}) + \frac{1}{4} \times (\text{胜率 at 01}) + \frac{1}{4} \times (\text{胜率 at 10}) + \frac{1}{4} \times (\text{胜率 at 11})$

$= \frac{1}{4} \times (1 + 1 + 1 + 0) = \frac{3}{4}$。

• 最大概率: 我们已经证明了 4/4 是不可能的。现在我们找到了一个达到 3/4 的策略。因此，可以断定，对于确定性策略，最大获胜概率就是 3/4 (或 75%)。任何其他的确定性策略的胜率都不会超过这个值（实际上，通过检查所有16种策略，可以发现最好的策略胜率就是 3/4）。

这段话探讨了另一种更复杂的经典策略——概率性策略，并得出了一个有些反直觉的结论：引入随机性并不能帮助玩家超越确定性策略的 3/4 胜率上限。

1. “但是概率性策略呢？”:

• 这是一个自然而然的问题。既然确定性策略有局限，那么如果玩家的策略本身包含随机性，情况会不会有所改善？
• 概率性策略 (Probabilistic Strategy): 指玩家的答案不仅仅由问题决定，还依赖于一个随机源。例如，Alice 被问到 0 时，她可以有 50% 的概率回答 0，50% 的概率回答 1。

1. “使用随机性 —— 包括使用共享随机性... —— 是否能帮助 Alice 和 Bob？”:

• 这里进一步细化了概率性策略的类型。
• 独立随机性: Alice 和 Bob 各自抛自己的硬币来决定答案。
• 共享随机性 (Shared Randomness): 这是更强的一种经典资源。Alice 和 Bob 可以在博弈开始前，生成一长串共享的随机比特（比如都看同一本随机数表），然后在博弈中，他们根据收到的问题和共享随机比特的某一位来共同决定答案。这相当于他们拥有一个“共享的骰子”。这是经典世界里能提供的最强的协作资源。

1. “事实证明，概率性策略根本无法帮助提高 Alice 和 Bob 的获胜概率”:

• 这是一个非常强的结论。即使允许玩家使用最强大的共享随机性，他们的平均胜率也无法突破 3/4。

1. “这是因为每一个概率性策略都可以被看作是对确定性策略的随机选择”:

• 这是对上述结论的核心解释，这个论证非常精妙。
• 解释:
• 一个概率性策略可以这样描述：在博弈开始前，Alice 和 Bob 根据某个概率分布，共同从 16 种确定性策略中随机选择一种。然后在整个博弈过程中，他们就严格执行被选中的那种确定性策略。
• 例如，一个概率性策略可能是：“我们有 50% 的概率选择‘策略A’（Alice总答0，Bob总答1），有 50% 的概率选择‘策略B’（Alice答问题本身，Bob答相反）。”
• 这个观点是正确的，因为任何涉及随机性的决策过程，都可以被分解为“先做一个随机选择，然后根据这个选择的结果来确定性地行动”。

1. “平均值永远不会大于最大值”:

• 这是一个基本的数学原理。
• 论证:
• 我们已经知道，任何一个确定性策略的胜率 $P_{win}(\text{deterministic strategy } i)$ 都不会超过 3/4。即 $P_{win}(\text{det}_i) \le 3/4$。
• 一个概率性策略是在这些确定性策略上取一个加权平均。比如，以概率 $p_i$ 选择第 $i$ 个确定性策略。
• 那么，这个概率性策略的平均总胜率就是 $P_{win}(\text{probabilistic}) = \sum_i p_i \cdot P_{win}(\text{det}_i)$。
• 因为每一项 $P_{win}(\text{det}_i)$ 都小于等于 3/4，所以它们的加权平均也必然小于等于 3/4。
• $P_{win}(\text{probabilistic}) = \sum_i p_i \cdot P_{win}(\text{det}_i) \le \sum_i p_i \cdot (3/4) = (3/4) \cdot \sum_i p_i = 3/4$ (因为概率之和 $\sum p_i = 1$)。
• 因此，概率性策略的胜率无法超越最好的那个确定性策略的胜率。

1. “因此，使用任何经典策略...以 $3/4$ 的概率获胜都是 Alice 和 Bob 能做到的最好结果”:

• 这是对整个经典部分的最终总结。
• 经典策略 = 确定性策略 + 概率性策略。
• 既然这两种策略的胜率都无法超过 3/4，那么 3/4 就是所有经典策略的天花板。这个值也被称为 CHSH 博弈的经典值。

这段话是经典策略和量子策略之间的分水岭。它提出了核心问题，并预告了答案，从而开启了本课程最精彩的部分。

1. “此时一个自然的问题是，Alice 和 Bob 使用量子策略是否能做得更好”:

• 在证明了经典策略的上限是 3/4 之后，这个问题自然而然地出现。
• 量子策略 (Quantum Strategy): 意味着玩家现在可以使用量子资源。这通常包括两个方面：

1. 共享的量子资源：比如纠缠对。
2. 局部的量子操作：玩家可以对他们持有的量子位进行量子门操作。
3. 他们的答案 $a,b$ 将是他们对各自量子位进行测量的结果。
4. “特别是，如果他们像下图所示的那样共享一个纠缠量子态...”:

• 这里明确了量子策略中最重要的资源——纠缠。
• 图片解释:
• 与之前的图相比，这张图在 Alice 和 Bob 之间增加了一个新的元素：一个在“准备阶段”产生的“共享纠缠态 (Shared Entangled State)”。
• 这个纠缠态被分成两部分，一部分（一个量子位）分给 Alice，另一部分分给 Bob。
• 这个纠缠资源，是他们在博弈开始前（可以自由通信时）就准备好的。
• “他们能否增加获胜概率？”: 明确了检验量子策略是否“更好”的标准——能否让胜率超越 3/4。

1. “答案是肯定的，这正是这个例子的核心要点，也是它如此有趣的原因”:

• 毫不拖泥带水地给出了答案：量子策略确实可以做得更好。
• “核心要点”: 强调了这个结论是整个 CHSH 博弈例子的精髓所在。CHSH 博弈之所以被反复讨论，就是因为它以一种简单而有力的方式，定量地展示了量子优越性。
• “如此有趣的原因”: 它的有趣之处在于，它证明了纠缠这种看似抽象的物理概念，可以转化为一个可操作的、能带来实际优势（更高胜率）的“资源”。

1. “那么让我们看看 Alice 和 Bob 如何利用纠缠在这个博弈中做得更好”:

• 这是一个引子，预告了接下来的内容将是详细介绍一个具体的、使用纠缠的量子策略，并分析它为何能超越经典极限。

这部分内容开始为构建具体的量子策略做数学上的准备工作。它首先定义了一族非常有用的单量子位态矢量。

1. “我们需要做的第一件事是...”: 表明这是构建策略的第一步，即定义好我们将要使用的“零件”。
2. “为每个实数 $\theta$ ... 定义一个量子位状态矢量 $\vert \psi_{\theta}\rangle$”:

• 我们正在定义一个由单个参数 $\theta$ 参数化的量子态家族。
• $\theta$: 一个实数，代表一个角度（以弧度为单位）。
• $\vert \psi_{\theta}\rangle$: 这是一个狄拉克符号 (Dirac Notation)，表示一个量子态的列矢量。下标 $\theta$ 表明这个态矢量依赖于角度 $\theta$。

1. [公式与符号逐项拆解和推导（若本段含公式）]

• $\vert 0 \rangle, \vert 1 \rangle$: 这是量子计算的计算基底 (computational basis)。它们是两个正交的单位矢量，可以被看作是量子世界里的 0 和 1。
• 在矩阵表示中，$\vert 0 \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，$\vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。
• $\cos(\theta), \sin(\theta)$: 这分别是角度 $\theta$ 的余弦和正弦值。它们是这个量子态的概率幅 (probability amplitudes)。
• $\cos(\theta)\vert 0\rangle + \sin(\theta)\vert 1\rangle$: 这是一个叠加态 (superposition state)。它表示这个量子位既不是纯粹的 $\vert 0 \rangle$ 也不是纯粹的 $\vert 1 \rangle$，而是两者的线性组合。
• 归一化: 这是一个有效的量子态，因为其概率幅的平方和为 1 (代表总概率为 1)：$(\cos\theta)^2 + (\sin\theta)^2 = 1$。
• 矢量形式: 将基底矢量代入，这个态矢量可以写成：

• 几何意义: 在布洛赫球 (Bloch Sphere) 的 X-Z 平面上，这个态矢量正好对应一个与 Z 轴正方向夹角为 $2\theta$ 的点。更简单地说，在二维实平面上，它就是一个从原点指向单位圆上角度为 $\theta$ 的点的矢量。它描述了所有仅含实数系数的单量子位状态。

这段内容通过代入具体的角度值，给出了上一段定义的 $\vert\psi_{\theta}\rangle$ 的几个重要特例，将抽象的公式与一些我们已经熟悉的量子态联系起来。

这部分内容预先计算并列出了几个在后续 CHSH 策略分析中将要用到的、角度比较特殊的 $\vert\psi_{\theta}\rangle$ 状态。这些角度（$\pm\pi/8, 3\pi/8, 5\pi/8$）正是 CHSH 量子策略能够超越经典极限的关键所在。

这部分内容推导并解释了我们定义的 $\vert\psi_{\theta}\rangle$ 家族的一个极其重要的性质：它们之间的内积只与它们角度的差有关。

1. “观察一般形式，我们看到任意两个此类矢量的内积具有以下公式”: 预告了将要给出的一个通用公式。
2. [公式与符号逐项拆解和推导（若本段含公式）]

• $\langle \psi_{\alpha} \vert \psi_{\beta} \rangle$: 这是狄拉克表示法中的内积 (Inner Product)。
• $\vert \psi_{\beta} \rangle$ 是一个列矢量 (Ket): $\begin{pmatrix} \cos(\beta) \\ \sin(\beta) \end{pmatrix}$。
• $\langle \psi_{\alpha} \vert$ 是一个行矢量 (Bra)，它是 $\vert \psi_{\alpha} \rangle$ 的共轭转置 (Conjugate Transpose)。
• $\vert \psi_{\alpha} \rangle = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) \\ \sin(\alpha) \end{pmatrix}$。
• 转置是 $\begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \end{pmatrix}$。
• 由于所有系数都是实数，共轭操作不改变任何东西。所以共轭转置就是转置。
• $\langle \psi_{\alpha} \vert = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \end{pmatrix}$。
• 推导第一步: 计算内积，即行矢量乘以列矢量。

这验证了公式中的第一个等号。

• 推导第二步:
• “使用三角学中的一个角和公式”: 这里引用了一个标准三角恒等式，即两角差的余弦公式: $\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)$。
• 将此恒等式应用到上一步的结果，我们直接得到 $\cos(\alpha-\beta)$。这验证了第二个等号。

1. “详细来说，这些矢量中只有实数项，因此无需担心共轭复数”:

• 这是一个重要的技术说明。在一般的量子力学中，概率幅是复数，内积的定义是 $\langle v | w \rangle = \sum_i v_i^* w_i$，其中 $v_i^*$ 是复共轭。
• 但对于我们这里定义的 $\vert \psi_{\theta} \rangle$ 家族，所有系数都是实数，所以复共轭操作是多余的，这简化了计算。

1. “该公式揭示了实单位矢量之间内积的几何解释，即它们之间夹角的余弦值”:

• 这是对最终结果 $\cos(\alpha-\beta)$ 的物理解读。
• 在二维几何中，两个单位矢量 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 的点积（内积）等于它们之间夹角 $\Delta\theta$ 的余弦，即 $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\Delta\theta) = \cos(\Delta\theta)$。
• 我们的 $\vert\psi_{\alpha}\rangle$ 和 $\vert\psi_{\beta}\rangle$ 可以看作是二维平面上角度为 $\alpha$ 和 $\beta$ 的单位矢量，它们之间的夹角是 $\alpha-\beta$。
• 因此，它们的内积 $\langle \psi_{\alpha} \vert \psi_{\beta} \rangle$ 恰好就是它们夹角的余弦。这个结果非常直观和优美。
• 在量子力学中，两个态矢量的内积的绝对值平方 $|\langle \psi_{\alpha} \vert \psi_{\beta} \rangle|^2$ 代表了“将处于 $\vert \psi_{\beta} \rangle$ 态的系统测量到 $\vert \psi_{\alpha} \rangle$ 态的概率”。所以这个公式对于计算后续的测量概率至关重要。