第1章

勒内 - 笛卡儿正在向瑞典女王克里斯蒂娜讲解他的工作。笛卡儿在1637年发表的著作中用两个坐标来描述平面. 向量空间是平面的一种推广。

向量空间

线性代数研究有限维向量空间上的线性映射。我们以后会知道这些术语的含义.本章将给出向量空间的定义，并讨论向量空间的基本性质。
在线性代数中，如果既研究实数也考虑复数，就会得到更好的定理，而且也会理解得更深刻。因此，我们先介绍复数及其基本性质。
我们要把平面和普通空间这些例子推广到 R n R n R^(n)\mathbf{R}^{n}Rn 与 C n C n C^(n)\mathbf{C}^{n}Cn ，然后再进一步推广到向量空间的概念。所以向量空间的一些初等性质你将会觉得很眼熟.
接下来讨论子空间。子空间在向量空间中所扮演的角色类似于子集之于集合. 最后，我们将看看子空间的和（类似于子集的并集）与直和（类似于不相交的集合的并集)。

本章的学习目标

  • 复数的基本性质
  • R n R n R^(n)\mathbf{R}^{n}Rn 与 C n C n C^(n)\mathbf{C}^{n}Cn
  • 向量空间
  • 子空间
■ 子空间的和与直和

1.A R n R n R^(n)\mathrm{R}^{n}Rn 与 C n C n C^(n)\mathrm{C}^{n}Cn

复数

我们已经熟悉实数集 R R R\mathbf{R}R 的基本性质。复数的发明使得我们可以对负数取平方根.大致的想法是假定 -1 有平方根, 记为 i , 并且遵循通常的算术法则. 下面是正式的定义:

1.1 定义 复数（complex number）

  • 一个复数是一个有序对 ( a , b ) ( a , b ) (a,b)(a, b)(a,b), 其中 a , b ∈ R a , b ∈ R a,b inRa, b \in \mathbf{R}a,b∈R, 但我们把它写成 a + b i a + b i a+bia+b \mathrm{i}a+bi.
  • 所有复数构成的集合记为 C C C\mathbf{C}C :
C = { a + b i : a , b ∈ R } . C = { a + b i : a , b ∈ R } . C={a+bi:a,b inR}.\mathbf{C}=\{a+b \mathrm{i}: a, b \in \mathbf{R}\} .C={a+bi:a,b∈R}.
  • C 上的加法和乘法定义为
( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i ( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i ( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i {:[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i],[(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i]:}\begin{gathered} (a+b \mathrm{i})+(c+d \mathrm{i})=(a+c)+(b+d) \mathrm{i} \\ (a+b \mathrm{i})(c+d \mathrm{i})=(a c-b d)+(a d+b c) \mathrm{i} \end{gathered}(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i
其中 a , b , c , d ∈ R a , b , c , d ∈ R a,b,c,d inRa, b, c, d \in \mathbf{R}a,b,c,d∈R.
如果 a ∈ R a ∈ R a inRa \in \mathbf{R}a∈R, 我们就把 a + 0 i a + 0 i a+0ia+0 \mathrm{i}a+0i 等同于实数 a a aaa. 于是可以把 R R R\mathbf{R}R 看作 C C C\mathbf{C}C 的一个子集.我们也常把 0 + b i 0 + b i 0+bi0+b \mathrm{i}0+bi 写成 b i b i bib \mathrm{i}bi, 并且把 0 + 1 i 0 + 1 i 0+1i0+1 \mathrm{i}0+1i 写成 i .
1777 年瑞士数学家莱昂哈德 • 欧拉最先使用符号 i 来表示 − 1 − 1 sqrt(-1)\sqrt{-1}−1.
请自行验证在如上定义的乘法下 i 2 = − 1 i 2 = − 1 i^(2)=-1\mathrm{i}^{2}=-1i2=−1.不要去背上面的复数乘法公式，只要记住 i 2 = i 2 = i^(2)=\mathrm{i}^{2}=i2= -1 并利用通常的算术法则（见 1.3）就可以把它推导出来。
1.2 例 计算 ( 2 + 3 i ) ( 4 + 5 i ) ( 2 + 3 i ) ( 4 + 5 i ) (2+3i)(4+5i)(2+3 \mathrm{i})(4+5 \mathrm{i})(2+3i)(4+5i).
解
( 2 + 3 i ) ( 4 + 5 i ) = 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ ( 5 i ) + ( 3 i ) ⋅ 4 + ( 3 i ) ( 5 i ) = 8 + 10 i + 12 i − 15 = − 7 + 22 i ( 2 + 3 i ) ( 4 + 5 i ) = 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ ( 5 i ) + ( 3 i ) ⋅ 4 + ( 3 i ) ( 5 i ) = 8 + 10 i + 12 i − 15 = − 7 + 22 i {:[(2+3i)(4+5i)=2*4+2*(5i)+(3i)*4+(3i)(5i)],[=8+10i+12i-15],[=-7+22i]:}\begin{aligned} (2+3 \mathrm{i})(4+5 \mathrm{i}) & =2 \cdot 4+2 \cdot(5 \mathrm{i})+(3 \mathrm{i}) \cdot 4+(3 \mathrm{i})(5 \mathrm{i}) \\ & =8+10 \mathrm{i}+12 \mathrm{i}-15 \\ & =-7+22 \mathrm{i} \end{aligned}(2+3i)(4+5i)=2⋅4+2⋅(5i)+(3i)⋅4+(3i)(5i)=8+10i+12i−15=−7+22i

1.3 复数的算术性质

交换性（commutativity）

对所有 α , β ∈ C α , β ∈ C alpha,beta inC\alpha, \beta \in \mathbf{C}α,β∈C 都有 α + β = β + α , α β = β α α + β = β + α , α β = β α alpha+beta=beta+alpha,alpha beta=beta alpha\alpha+\beta=\beta+\alpha, \alpha \beta=\beta \alphaα+β=β+α,αβ=βα;

结合性（associativity）

对所有 α , β , λ ∈ C α , β , λ ∈ C alpha,beta,lambda inC\alpha, \beta, \lambda \in \mathbf{C}α,β,λ∈C 都有 ( α + β ) + λ = α + ( β + λ ) , ( α β ) λ = α ( β λ ) ( α + β ) + λ = α + ( β + λ ) , ( α β ) λ = α ( β λ ) (alpha+beta)+lambda=alpha+(beta+lambda),(alpha beta)lambda=alpha(beta lambda)(\alpha+\beta)+\lambda=\alpha+(\beta+\lambda),(\alpha \beta) \lambda=\alpha(\beta \lambda)(α+β)+λ=α+(β+λ),(αβ)λ=α(βλ);

单位元（identities）

对所有 λ ∈ C λ ∈ C lambda inC\lambda \in \mathbf{C}λ∈C 都有 λ + 0 = λ , λ 1 = λ λ + 0 = λ , λ 1 = λ lambda+0=lambda,lambda1=lambda\lambda+0=\lambda, \lambda 1=\lambdaλ+0=λ,λ1=λ;

加法逆元（additive inverse）

对每个 α ∈ C α ∈ C alpha inC\alpha \in \mathbf{C}α∈C 都存在唯一的 β ∈ C β ∈ C beta inC\beta \in \mathbf{C}β∈C 使得 α + β = 0 α + β = 0 alpha+beta=0\alpha+\beta=0α+β=0;

乘法逆元（multiplicative inverse）

对每个 α ∈ C , α ≠ 0 α ∈ C , α ≠ 0 alpha inC,alpha!=0\alpha \in \mathbf{C}, \alpha \neq 0α∈C,α≠0 都存在唯一的 β ∈ C β ∈ C beta inC\beta \in \mathbf{C}β∈C 使得 α β = 1 α β = 1 alpha beta=1\alpha \beta=1αβ=1;

分配性质（distributive property）

对所有 λ , α , β ∈ C λ , α , β ∈ C lambda,alpha,beta inC\lambda, \alpha, \beta \in \mathbf{C}λ,α,β∈C 都有 λ ( α + β ) = λ α + λ β λ ( α + β ) = λ α + λ β lambda(alpha+beta)=lambda alpha+lambda beta\lambda(\alpha+\beta)=\lambda \alpha+\lambda \betaλ(α+β)=λα+λβ.
上述性质可以利用我们所熟悉的实数性质以及复数的加法与乘法的定义来证明。下面的这个例子给出了复数乘法的交换性的证明。其他性质的证明留作习题。
1.4 例 证明 α β = β α α β = β α alpha beta=beta alpha\alpha \beta=\beta \alphaαβ=βα 对所有 α , β ∈ C α , β ∈ C alpha,beta inC\alpha, \beta \in \mathbf{C}α,β∈C 成立.
证明 假设 α = a + b i , β = c + d i α = a + b i , β = c + d i alpha=a+bi,beta=c+di\alpha=a+b \mathrm{i}, \beta=c+d \mathrm{i}α=a+bi,β=c+di ，其中 a , b , c , d ∈ R a , b , c , d ∈ R a,b,c,d inRa, b, c, d \in \mathbf{R}a,b,c,d∈R. 那么，复数乘法的定义表明
α β = ( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i α β = ( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i {:[alpha beta=(a+bi)(c+di)],[=(ac-bd)+(ad+bc)i]:}\begin{aligned} \alpha \beta & =(a+b \mathrm{i})(c+d \mathrm{i}) \\ & =(a c-b d)+(a d+b c) \mathrm{i} \end{aligned}αβ=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i
并且
β α = ( c + d i ) ( a + b i ) = ( c a − d b ) + ( c b + d a ) i β α = ( c + d i ) ( a + b i ) = ( c a − d b ) + ( c b + d a ) i {:[beta alpha=(c+di)(a+bi)],[=(ca-db)+(cb+da)i]:}\begin{aligned} \beta \alpha & =(c+d \mathrm{i})(a+b \mathrm{i}) \\ & =(c a-d b)+(c b+d a) \mathrm{i} \end{aligned}βα=(c+di)(a+bi)=(ca−db)+(cb+da)i
上面这两组等式和实数的加法与乘法的交换性表明 α β = β α α β = β α alpha beta=beta alpha\alpha \beta=\beta \alphaαβ=βα.
1.5 定义 − α − α -alpha-\alpha−α, 减法（subtraction）、 1 / α 1 / α 1//alpha1 / \alpha1/α, 除法（division）
设 α , β ∈ C α , β ∈ C alpha,beta inC\alpha, \beta \in \mathbf{C}α,β∈C.
  • 令 − α − α -alpha-\alpha−α 表示 α α alpha\alphaα 的加法逆元. 因此 − α − α -alpha-\alpha−α 是使得
α + ( − α ) = 0 α + ( − α ) = 0 alpha+(-alpha)=0\alpha+(-\alpha)=0α+(−α)=0
的唯一复数。
  • C 上的减法定义为
β − α = β + ( − α ) . β − α = β + ( − α ) . beta-alpha=beta+(-alpha).\beta-\alpha=\beta+(-\alpha) .β−α=β+(−α).
  • 对于 α ≠ 0 α ≠ 0 alpha!=0\alpha \neq 0α≠0, 令 1 / α 1 / α 1//alpha1 / \alpha1/α 表示 α α alpha\alphaα 的乘法逆元. 因此 1 / α 1 / α 1//alpha1 / \alpha1/α 是使得
α ( 1 / α ) = 1 α ( 1 / α ) = 1 alpha(1//alpha)=1\alpha(1 / \alpha)=1α(1/α)=1
的唯一复数。
  • C上的除法定义为
β / α = β ( 1 / α ) . β / α = β ( 1 / α ) . beta//alpha=beta(1//alpha).\beta / \alpha=\beta(1 / \alpha) .β/α=β(1/α).
为了使下文中给出的定义和证明的定理对于实数和复数都适用, 我们将采用如下记号:

1.6 记号 F

在本书中 F F F\mathbf{F}F 总是表示 R R R\mathbf{R}R 或 C C C\mathbf{C}C.
选用字母 F F F\mathbf{F}F 是因为 R R R\mathbf{R}R 和 C C C\mathbf{C}C 都是所谓域（field）的例子。
于是，如果我们证明了一个涉及 F F F\mathbf{F}F 的定理，那么将其中的 F F F\mathbf{F}F 换成 R R R\mathbf{R}R 或 C C C\mathbf{C}C ，定理仍然成立。
F 中的元素称为标量（scalar）。"标量" 是用来代表 "数"的一个很别致的词，通常用来强调一个对象是数，而不是向量（马上就会给出向量的定义）。
对 α ∈ F α ∈ F alpha inF\alpha \in \mathbf{F}α∈F 及正整数 m m mmm ，我们把 α m α m alpha^(m)\alpha^{m}αm 定义为 m m mmm 个 α α alpha\alphaα 的乘积：
α m = α ⋯ ⋯ α ⏟ m ↑ . α m = α ⋯ ⋯ α ⏟ m ↑ . alpha^(m)=ubrace(alpha cdots cdots alphaubrace)_(m uarr).\alpha^{m}=\underbrace{\alpha \cdots \cdots \alpha}_{m \uparrow} .αm=α⋯⋯α⏟m↑.
显然，对所有 α , β ∈ F α , β ∈ F alpha,beta inF\alpha, \beta \in \mathbf{F}α,β∈F 及正整数 m , n m , n m,nm, nm,n 都有 ( α m ) n = α m n α m n = α m n (alpha^(m))^(n)=alpha^(mn)\left(\alpha^{m}\right)^{n}=\alpha^{m n}(αm)n=αmn 和 ( α β ) m = α m β m ( α β ) m = α m β m (alpha beta)^(m)=alpha^(m)beta^(m)(\alpha \beta)^{m}=\alpha^{m} \beta^{m}(αβ)m=αmβm 。

组

在给出 R n R n R^(n)\mathbf{R}^{n}Rn 和 C n C n C^(n)\mathbf{C}^{n}Cn 的定义之前先来看两个重要的例子。

1.7 例 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 和 R 3 R 3 R^(3)\mathbf{R}^{3}R3

  • 集合 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 由全体有序实数对构成:
R 2 = { ( x , y ) : x , y ∈ R } R 2 = { ( x , y ) : x , y ∈ R } R^(2)={(x,y):x,y inR}\mathbf{R}^{2}=\{(x, y): x, y \in \mathbf{R}\}R2={(x,y):x,y∈R}
可以把它看作一个平面.
  • 集合 R 3 R 3 R^(3)\mathbf{R}^{3}R3 由全体有序三元实数组构成：
R 3 = { ( x , y , z ) : x , y , z ∈ R } R 3 = { ( x , y , z ) : x , y , z ∈ R } R^(3)={(x,y,z):x,y,z inR}\mathbf{R}^{3}=\{(x, y, z): x, y, z \in \mathbf{R}\}R3={(x,y,z):x,y,z∈R}
可以把它看作通常的空间.
为了把 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 和 R 3 R 3 R^(3)\mathbf{R}^{3}R3 推广到更高的维数, 需要先讨论组的概念.

1.8 定义 组（list）、长度（length）

设 n n nnn 是非负整数。长度为 n n nnn 的组是 n n nnn 个有顺序的元素，这些元素用逗号隔开并且两端用括弧括起来（这些元素可以是数、其他组或者更抽象的东西）。长度为 n n nnn 的组具有如下形式:
( x 1 , … , x n ) x 1 , … , x n (x_(1),dots,x_(n))\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)(x1,…,xn)
两个组相等当且仅当它们长度相等、所含的元素相同并且元素的顺序也相同.
于是，长度为 2 的组是有序对（pair），而长度为 3 的组是有序三元组（triple）。
很多数学家称长度为 n n nnn 的组为 n n nnn 元组 ( n n nnn-tuple).
有时候我们只说组而不指明其长度. 但要记住, 根据定义, 每个组的长度都是有限的, 这个长度是一个非负整数. 因此, 形如
( x 1 , x 2 , … ) x 1 , x 2 , … (x_(1),x_(2),dots)\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right)(x1,x2,…)
的对象不是组，或许可以称为具有无限长度的序列。
长度为 0 的组形如 (). 将其视为组, 可使一些定理没有平凡的例外.
组与集合有两点不同：组中的元素是有顺序的并且允许重复，而对于集合来说，顺序和重复都无关紧要。

1.9 例 组与集合

  • 组 ( 3 , 5 ) ( 3 , 5 ) (3,5)(3,5)(3,5) 和 ( 5 , 3 ) ( 5 , 3 ) (5,3)(5,3)(5,3) 是不相等的, 但是集合 { 3 , 5 } { 3 , 5 } {3,5}\{3,5\}{3,5} 和 { 5 , 3 } { 5 , 3 } {5,3}\{5,3\}{5,3} 是相等的.
  • 组 ( 4 , 4 ) ( 4 , 4 ) (4,4)(4,4)(4,4) 和 ( 4 , 4 , 4 ) ( 4 , 4 , 4 ) (4,4,4)(4,4,4)(4,4,4) 是不相等的（它们的长度不同）, 而集合 { 4 , 4 } { 4 , 4 } {4,4}\{4,4\}{4,4} 和 { 4 , 4 , 4 } { 4 , 4 , 4 } {4,4,4}\{4,4,4\}{4,4,4}都等于集合 { 4 } { 4 } {4}\{4\}{4}.

F n F n F^(n)\mathrm{F}^{n}Fn

为了定义与 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 和 R 3 R 3 R^(3)\mathbf{R}^{3}R3 类似的高维对象，只需用 F F F\mathbf{F}F （等于 R R R\mathbf{R}R 或 C C C\mathbf{C}C ）代替 R R R\mathbf{R}R ，并且用任意正整数代替 2 或 3. 特别地, 在本节的其余部分, 我们将固定正整数 n n nnn.

1.10 定义 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn

F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 是 F F F\mathbf{F}F 中元素组成的长度为 n n nnn 的组的集合:
F n = { ( x 1 , … , x n ) : x j ∈ F , j = 1 , … , n } F n = x 1 , … , x n : x j ∈ F , j = 1 , … , n F^(n)={(x_(1),dots,x_(n)):x_(j)inF,j=1,dots,n}\mathbf{F}^{n}=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right): x_{j} \in \mathbf{F}, j=1, \ldots, n\right\}Fn={(x1,…,xn):xj∈F,j=1,…,n}
对于 ( x 1 , … , x n ) ∈ F n x 1 , … , x n ∈ F n (x_(1),dots,x_(n))inF^(n)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbf{F}^{n}(x1,…,xn)∈Fn 以及 j ∈ { 1 , … , n } j ∈ { 1 , … , n } j in{1,dots,n}j \in\{1, \ldots, n\}j∈{1,…,n}, 称 x j x j x_(j)x_{j}xj 是 ( x 1 , … , x n ) x 1 , … , x n (x_(1),dots,x_(n))\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)(x1,…,xn) 的第 j j jjj 个坐标.
若 F = R F = R F=R\mathbf{F}=\mathbf{R}F=R 且 n n nnn 等于 2 或 3 , 则 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 的这个定义与前面 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 和 R 3 R 3 R^(3)\mathbf{R}^{3}R3 的定义是一致的.
1.11 例 C 4 C 4 C^(4)\mathrm{C}^{4}C4 是所有含 4 个复数的组所构成的集合:
C 4 = { ( z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) : z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ∈ C } C 4 = z 1 , z 2 , z 3 , z 4 : z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ∈ C C^(4)={(z_(1),z_(2),z_(3),z_(4)):z_(1),z_(2),z_(3),z_(4)inC}\mathbf{C}^{4}=\left\{\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right): z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} \in \mathbf{C}\right\}C4={(z1,z2,z3,z4):z1,z2,z3,z4∈C}
关于生活在 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 中的生物是如何感知 R 3 R 3 R^(3)\mathbf{R}^{3}R3 的有趣描述，可以读一读埃德温 • A. 艾勃特的《平面国》。 这部 1884 年出版的小说可以帮助像我们一样生活在三维空间中的生物想象四维或更高维的物理空间。
若 n ⩾ 4 n ⩾ 4 n >= 4n \geqslant 4n⩾4, 把 R n R n R^(n)\mathbf{R}^{n}Rn 想象成一个物理对象并非易事。同样， C 1 C 1 C^(1)\mathbf{C}^{1}C1 可以看成一个平面，但是对于 n ⩾ 2 n ⩾ 2 n >= 2n \geqslant 2n⩾2 ，人类的大脑不能产生 C n C n C^(n)\mathbf{C}^{n}Cn 的完整形象。不过即使 n n nnn 很大，我们仍可以在 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 中进行代数运算，而且就像在 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 或者 R 3 R 3 R^(3)\mathbf{R}^{3}R3 中一样容易。例如, F n F n F^(n)\mathrm{F}^{n}Fn 上的加法定义如下:

1.12 定义 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 中的加法（addition in F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn ）

F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 中的加法定义为对应坐标相加:
( x 1 , … , x n ) + ( y 1 , … , y n ) = ( x 1 + y 1 , … , x n + y n ) . x 1 , … , x n + y 1 , … , y n = x 1 + y 1 , … , x n + y n . (x_(1),dots,x_(n))+(y_(1),dots,y_(n))=(x_(1)+y_(1),dots,x_(n)+y_(n)).\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)=\left(x_{1}+y_{1}, \ldots, x_{n}+y_{n}\right) .(x1,…,xn)+(y1,…,yn)=(x1+y1,…,xn+yn).
为了简洁，我们将用单个字母来表示 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 中含有 n n nnn 个数的组，而不明确地写出每一个坐标。例如，下面的结果仅对 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 中的 x x xxx 和 y y yyy 来陈述，尽管其证明需要更繁琐的记号 ( x 1 , … , x n ) x 1 , … , x n (x_(1),dots,x_(n))\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)(x1,…,xn) 和 ( y 1 , … , y n ) y 1 , … , y n (y_(1),dots,y_(n))\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)(y1,…,yn) 。

1.13 F n 1.13 F n 1.13F^(n)1.13 \mathbf{F}^{n}1.13Fn 的加法交换性

若 x , y ∈ F n x , y ∈ F n x,y inF^(n)x, y \in \mathbf{F}^{n}x,y∈Fn, 则 x + y = y + x x + y = y + x x+y=y+xx+y=y+xx+y=y+x.
证明 假设 x = ( x 1 , … , x n ) , y = ( y 1 , … , y n ) x = x 1 , … , x n , y = y 1 , … , y n x=(x_(1),dots,x_(n)),y=(y_(1),dots,y_(n))x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)x=(x1,…,xn),y=(y1,…,yn). 则
x + y = ( x 1 , … , x n ) + ( y 1 , … , y n ) = ( x 1 + y 1 , … , x n + y n ) = ( y 1 + x 1 , … , y n + x n ) = ( y 1 , … , y n ) + ( x 1 , … , x n ) = y + x , x + y = x 1 , … , x n + y 1 , … , y n = x 1 + y 1 , … , x n + y n = y 1 + x 1 , … , y n + x n = y 1 , … , y n + x 1 , … , x n = y + x , {:[x+y=(x_(1),dots,x_(n))+(y_(1),dots,y_(n))],[=(x_(1)+y_(1),dots,x_(n)+y_(n))],[=(y_(1)+x_(1),dots,y_(n)+x_(n))],[=(y_(1),dots,y_(n))+(x_(1),dots,x_(n))],[=y+x","]:}\begin{aligned} x+y & =\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \\ & =\left(x_{1}+y_{1}, \ldots, x_{n}+y_{n}\right) \\ & =\left(y_{1}+x_{1}, \ldots, y_{n}+x_{n}\right) \\ & =\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)+\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\ & =y+x, \end{aligned}x+y=(x1,…,xn)+(y1,…,yn)=(x1+y1,…,xn+yn)=(y1+x1,…,yn+xn)=(y1,…,yn)+(x1,…,xn)=y+x,
其中第二个与第四个等式成立是由于 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 中加法的定义, 第三个等式成立是由于 F F F\mathbf{F}F 中加法的通常的交换性。
如果用单个字母来表示 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 中的一个元素，符号 "■"的意思是"证毕".那么在必须列出坐标时，通常用带有适当下标的相同字母来表示这些坐标。例如，若 x ∈ F n x ∈ F n x inF^(n)x \in \mathbf{F}^{n}x∈Fn ，像上面的证明中那样令 x x xxx 等于 ( x 1 , … , x n ) x 1 , … , x n (x_(1),dots,x_(n))\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)(x1,…,xn) 就是很好的记法. 如果可能的话，只讨论 x x xxx 而省略具体的坐标会更好。

1.14 定义 0

用 0 表示长度为 n n nnn 且所有坐标都是 0 的组:
0 = ( 0 , … , 0 ) 0 = ( 0 , … , 0 ) 0=(0,dots,0)0=(0, \ldots, 0)0=(0,…,0)
这里我们以两种不同的方式使用符号 0 ：在 1.14 的式子中，左边的 0 表示一个长度为 n n nnn 的组，而右边的每个 0 都表示一个数。这种做法好像会引起混淆，但实际上不会产生任何问题，因为根据上下文就会知道 0 指的是什么。
1.15 例 考虑陈述： 0 是 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 的加法单位元, 如果对于 x ∈ F n x ∈ F n x inF^(n)x \in \mathbf{F}^{n}x∈Fn 都有
x + 0 = x x + 0 = x x+0=xx+0=xx+0=x
上面的 0 是数 0 还是组 0 ?
解 这里 0 是一个组，因为我们从未定义过 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 中元素（即 x x xxx ）与数 0 的和.
图形往往有助于直观。因为很容易把 R 2 R 2 R^(2)R^{2}R2 勾画在诸如纸或黑板这样的二维表面上，所以可以通过画图来描绘这个空间。 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 中的典型元素是点 x = ( x 1 , x 2 ) x = x 1 , x 2 x=(x_(1),x_(2))x=\left(x_{1}, x_{2}\right)x=(x1,x2). 有时我们不把 x x xxx 看作一个点，而是看作一个始于原点终于 ( x 1 , x 2 ) x 1 , x 2 (x_(1),x_(2))\left(x_{1}, x_{2}\right)(x1,x2) 的箭头，如右图所示。 x x xxx 被看作一个箭头时，称为向量 (vector).
当把 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 中的向量看作箭头时，我们可以把箭头平行移动（不改变它的长度和方向），并视其为同一向量。在这样的观点下，省去坐标轴和具体的坐标而只考虑向量往往能帮助我们获得更好的理解，如右图所示。

R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 的元素可看成点或向量
向量
经济学中的数学模型通常有上千个变量，比如说 x 1 , … , x 5000 x 1 , … , x 5000 x_(1),dots,x_(5000)x_{1}, \ldots, x_{5000}x1,…,x5000 ，这就意味着必须在 R 5000 R 5000 R^(5000)\mathbf{R}^{5000}R5000 中工作。这样的空间不能通过几何手段来处理，但是代数方法却可以很好地发挥作用。因此我们的学科叫做线性代数。
两个向量的和
每当我们使用 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 中的图形或者关于点和向量的不太严格的语言时，要记住，这只是为了帮助理解，而不是要取代将要发展的真正的数学. 虽然我们画不好高维空间中的图，但是高维空间中的元素也像 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 中的元素一样被严格定义。
例如, ( 2 , − 3 , 17 , π , 2 ) ( 2 , − 3 , 17 , π , 2 ) (2,-3,17,pi,sqrt2)(2,-3,17, \pi, \sqrt{2})(2,−3,17,π,2) 是 R 5 R 5 R^(5)\mathbf{R}^{5}R5 中的元素,而且我们偶尔也把它叫作 R 5 R 5 R^(5)\mathbf{R}^{5}R5 中的点或者 R 5 R 5 R^(5)\mathbf{R}^{5}R5 中的向量，而不用担心 R 5 R 5 R^(5)\mathbf{R}^{5}R5 的几何是否有物理意义.
回想一下， F n F n F^(n)\mathrm{F}^{n}Fn 中两个元素的和定义为相应坐标相加所得到元素，参见 1.12. 正如我们将要看到的， R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 中的加法有简单的几何解释。
假设我们要把 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 中的两个向量 x x xxx 和 y y yyy 加起来. 如左图所示, 把向量 y y yyy 平行移动使其始点与向量 x x xxx 的终点重合, 那么, 和 x + y x + y x+yx+yx+y 就是以 x x xxx 的始点为始点，以 y y yyy 的终点为终点的向量。
在下面的定义中, 等式右端的 0 是组 0 ∈ F n 0 ∈ F n 0inF^(n)0 \in \mathbf{F}^{n}0∈Fn.
1.16 定义 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 中的加法逆元（additive invese in F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn ）
对于 x ∈ F n , x x ∈ F n , x x inF^(n),xx \in \mathbf{F}^{n}, xx∈Fn,x 的加法逆元（记作 − x − x -x-x−x ）就是满足下面条件的向量 − x ∈ F n − x ∈ F n -x inF^(n)-x \in \mathbf{F}^{n}−x∈Fn ：
x + ( − x ) = 0 x + ( − x ) = 0 x+(-x)=0x+(-x)=0x+(−x)=0
换言之，若 x = ( x 1 , … , x n ) x = x 1 , … , x n x=(x_(1),dots,x_(n))x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)x=(x1,…,xn) ，则 − x = ( − x 1 , … , − x n ) − x = − x 1 , … , − x n -x=(-x_(1),dots,-x_(n))-x=\left(-x_{1}, \ldots,-x_{n}\right)−x=(−x1,…,−xn).
向量和它的加法逆元
对于向量 x ∈ R 2 x ∈ R 2 x inR^(2)x \in \mathbf{R}^{2}x∈R2 ，加法逆元 − x − x -x-x−x 就是与 x x xxx 平行、长度相等但方向相反的向量. 左图说明了这种理解 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 中的加法逆元的方法。
我们已经讨论了 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 中的加法, 现在来讨论乘法. 我们或许可以用类似的方式来定义 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn上的乘法，即通过 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 中的两个元素的对应坐标相乘来得到 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 中的另一个元素。但经验表明，这样的定义对我们的目标是没有用的。另一种乘法，称为标量乘法，才是我们的课程的核心. 确切地说, 我们需要定义 F F F\mathbf{F}F 中元素与 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 中元素的乘法.

1.17 定义 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 中的标量乘法（ scalar multiplication in F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn ）

一个数 λ λ lambda\lambdaλ 与 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 中的一个向量的乘积这样来计算：用 λ λ lambda\lambdaλ 乘以向量的每个坐标，即
λ ( x 1 , … , x n ) = ( λ x 1 , … , λ x n ) λ x 1 , … , x n = λ x 1 , … , λ x n lambda(x_(1),dots,x_(n))=(lambdax_(1),dots,lambdax_(n))\lambda\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left(\lambda x_{1}, \ldots, \lambda x_{n}\right)λ(x1,…,xn)=(λx1,…,λxn)
其中 λ ∈ F , ( x 1 , … , x n ) ∈ F n λ ∈ F , x 1 , … , x n ∈ F n lambda inF,(x_(1),dots,x_(n))inF^(n)\lambda \in \mathbf{F},\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbf{F}^{n}λ∈F,(x1,…,xn)∈Fn.
R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 中的标量乘法有很好的几何解释。如果 λ λ lambda\lambdaλ 是正数， x x xxx 是 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 中的向量，则向量 λ x λ x lambda x\lambda xλx 的方向与 x x xxx 相同，而其长度为 x x xxx 长度的 λ λ lambda\lambdaλ 倍。 也就是说，为了得到 λ x λ x lambda x\lambda xλx ，只需将 x x xxx 收缩或者伸长 λ λ lambda\lambdaλ倍，这取决于 λ < 1 λ < 1 lambda < 1\lambda<1λ<1 或者 λ > 1 λ > 1 lambda > 1\lambda>1λ>1 。
如果 λ λ lambda\lambdaλ 是负数， x x xxx 是 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 中的向量，则向量 λ x λ x lambda x\lambda xλx 的方向与 x x xxx 相反，而其长度为 x x xxx 长度的 | λ | | λ | |lambda||\lambda||λ|倍, 如右图所示。

关于域的题外话

在标量乘法中，我们把一个标量和一个向量相乘，得到一个向量。你也许熟悉 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 或者 R 3 R 3 R^(3)\mathbf{R}^{3}R3 中的点积，它把两个向量相乘而得到一个标量. 在第 6 章我们将研究内积, 这时点积的推广便尤为重要。
标量乘法
一个域是一个集合，至少包含有两个分别称为 0 和 1 的不同元素，并带有加法和乘法运算，而且这些运算满足 1.3 中列出的所有性质。因此， R R R\mathbf{R}R 和 C C C\mathbf{C}C 都是域，有理数集合连同通常的加法和乘法运算也是域. 域的另一个例子是集合 { 0 , 1 } { 0 , 1 } {0,1}\{0,1\}{0,1} ，带有通常的加法和乘法运算，但规定 1 + 1 1 + 1 1+11+11+1 等于 0 。
在本书中，我们无需处理 R R R\mathbf{R}R 和 C C C\mathbf{C}C 以外的域。然而，线性代数中许多对 R R R\mathbf{R}R 和 C C C\mathbf{C}C有效的定义、定理、证明都可照搬到任意域上。如果想这么做，在第 1 ∼ 3 1 ∼ 3 1∼31 \sim 31∼3 章中，我们尽可以把 F F F\mathbf{F}F 当作任意的域，而不仅仅是 R R R\mathbf{R}R 或 C C C\mathbf{C}C ，只有个别例子和习题要求对于任意正整数 n n nnn 必有 1 + 1 + ⋯ + 1 ⏟ n 次 ≠ 0 1 + 1 + ⋯ + 1 ⏟ n  次  ≠ 0 ubrace(1+1+cdots+1ubrace)_(n" 次 ")!=0\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n \text { 次 }} \neq 01+1+⋯+1⏟n 次 ≠0 。

习题 1.A

1 设 a a aaa 和 b b bbb 是不全为 0 的实数。求实数 c c ccc 和 d d ddd 使得 1 / ( a + b i ) = c + d i 1 / ( a + b i ) = c + d i 1//(a+bi)=c+di1 /(a+b \mathrm{i})=c+d \mathrm{i}1/(a+bi)=c+di.
2 证明 − 1 + 3 i 2 − 1 + 3 i 2 (-1+sqrt3i)/(2)\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}−1+3i2 是 1 的立方根（即它的立方等于 1 ）。
3 求 i 的两个不同的平方根。
4 证明对所有 α , β ∈ C α , β ∈ C alpha,beta inC\alpha, \beta \in \mathbf{C}α,β∈C 有 α + β = β + α α + β = β + α alpha+beta=beta+alpha\alpha+\beta=\beta+\alphaα+β=β+α.
5 证明对所有 α , β , λ ∈ C α , β , λ ∈ C alpha,beta,lambda inC\alpha, \beta, \lambda \in \mathbf{C}α,β,λ∈C 有 ( α + β ) + λ = α + ( β + λ ) ( α + β ) + λ = α + ( β + λ ) (alpha+beta)+lambda=alpha+(beta+lambda)(\alpha+\beta)+\lambda=\alpha+(\beta+\lambda)(α+β)+λ=α+(β+λ).
6 证明对所有 α , β , λ ∈ C α , β , λ ∈ C alpha,beta,lambda inC\alpha, \beta, \lambda \in \mathbf{C}α,β,λ∈C 有 ( α β ) λ = α ( β λ ) ( α β ) λ = α ( β λ ) (alpha beta)lambda=alpha(beta lambda)(\alpha \beta) \lambda=\alpha(\beta \lambda)(αβ)λ=α(βλ).
7 证明对每个 α ∈ C α ∈ C alpha inC\alpha \in \mathbf{C}α∈C 都存在唯一的 β ∈ C β ∈ C beta inC\beta \in \mathbf{C}β∈C 使得 α + β = 0 α + β = 0 alpha+beta=0\alpha+\beta=0α+β=0.
8 证明对每个 α ∈ C ( α ≠ 0 ) α ∈ C ( α ≠ 0 ) alpha inC(alpha!=0)\alpha \in \mathbf{C}(\alpha \neq 0)α∈C(α≠0) 都存在唯一的 β ∈ C β ∈ C beta inC\beta \in \mathbf{C}β∈C 使得 α β = 1 α β = 1 alpha beta=1\alpha \beta=1αβ=1 。
9 证明对所有 λ , α , β ∈ C λ , α , β ∈ C lambda,alpha,beta inC\lambda, \alpha, \beta \in \mathbf{C}λ,α,β∈C 都有 λ ( α + β ) = λ α + λ β λ ( α + β ) = λ α + λ β lambda(alpha+beta)=lambda alpha+lambda beta\lambda(\alpha+\beta)=\lambda \alpha+\lambda \betaλ(α+β)=λα+λβ.
10 求 x ∈ R 4 x ∈ R 4 x inR^(4)x \in \mathbf{R}^{4}x∈R4 使得 ( 4 , − 3 , 1 , 7 ) + 2 x = ( 5 , 9 , − 6 , 8 ) ( 4 , − 3 , 1 , 7 ) + 2 x = ( 5 , 9 , − 6 , 8 ) (4,-3,1,7)+2x=(5,9,-6,8)(4,-3,1,7)+2 x=(5,9,-6,8)(4,−3,1,7)+2x=(5,9,−6,8).
11 解释为什么不存在 λ ∈ C λ ∈ C lambda inC\lambda \in \mathbf{C}λ∈C 使得 λ ( 2 − 3 i , 5 + 4 i , − 6 + 7 i ) = ( 12 − 5 i , 7 + 22 i , − 32 − 9 i ) λ ( 2 − 3 i , 5 + 4 i , − 6 + 7 i ) = ( 12 − 5 i , 7 + 22 i , − 32 − 9 i ) lambda(2-3i,5+4i,-6+7i)=(12-5i,7+22i,-32-9i)\lambda(2-3 \mathrm{i}, 5+4 \mathrm{i},-6+7 \mathrm{i})=(12-5 \mathrm{i}, 7+22 \mathrm{i},-32-9 \mathrm{i})λ(2−3i,5+4i,−6+7i)=(12−5i,7+22i,−32−9i).
12 证明对所有 x , y , z ∈ F n x , y , z ∈ F n x,y,z inF^(n)x, y, z \in \mathbf{F}^{n}x,y,z∈Fn 都有 ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ( x + y ) + z = x + ( y + z ) (x+y)+z=x+(y+z)(x+y)+z=x+(y+z)(x+y)+z=x+(y+z).
13 证明对所有 x ∈ F n x ∈ F n x inF^(n)x \in \mathbf{F}^{n}x∈Fn 和 a , b ∈ F a , b ∈ F a,b inFa, b \in \mathbf{F}a,b∈F 都有 ( a b ) x = a ( b x ) ( a b ) x = a ( b x ) (ab)x=a(bx)(a b) x=a(b x)(ab)x=a(bx).
14 证明对所有 x ∈ F n x ∈ F n x inF^(n)x \in \mathbf{F}^{n}x∈Fn 都有 1 x = x 1 x = x 1x=x1 x=x1x=x.
15 证明对所有 x , y ∈ F n x , y ∈ F n x,y inF^(n)x, y \in \mathbf{F}^{n}x,y∈Fn 都有 λ ( x + y ) = λ x + λ y λ ( x + y ) = λ x + λ y lambda(x+y)=lambda x+lambda y\lambda(x+y)=\lambda x+\lambda yλ(x+y)=λx+λy.
16 证明对所有 a , b ∈ F a , b ∈ F a,b inFa, b \in \mathbf{F}a,b∈F 和 x ∈ F n x ∈ F n x inF^(n)x \in \mathbf{F}^{n}x∈Fn 都有 ( a + b ) x = a x + b x ( a + b ) x = a x + b x (a+b)x=ax+bx(a+b) x=a x+b x(a+b)x=ax+bx.

1.B 向量空间的定义

促使我们定义向量空间的动因源自 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 上加法和标量乘法的性质：加法具有交换性和结合性，并且有单位元。每个元素都有加法逆元。标量乘法具有结合性，用数 1与向量做标量乘法不改变该向量，与预期一样。加法和标量乘法通过分配性质联系在一起。
我们把向量空间定义为带有加法和标量乘法的集合 V V VVV, 使得加法和标量乘法具有上一段所描述的性质。
1.18 定义 加法（addition）、标量乘法（scalar multiplication）
  • 集合 V V VVV 上的加法是一个函数，它把每一对 u , v ∈ V u , v ∈ V u,v in Vu, v \in Vu,v∈V 都对应到 V V VVV 的一个元素 u + v u + v u+vu+vu+v 。
  • 集合 V V VVV 上的标量乘法是一个函数, 它把任意 λ ∈ F λ ∈ F lambda inF\lambda \in \mathbf{F}λ∈F 和 v ∈ V v ∈ V v in Vv \in Vv∈V 都对应到一个元素 λ v ∈ V λ v ∈ V lambda v in V\lambda v \in Vλv∈V 。
现在我们可以给出向量空间的正式定义。

1.19 定义 向量空间（vector space）

向量空间就是带有加法和标量乘法的集合 V V VVV, 满足如下性质：

交换性（commutativity）

对所有 u , v ∈ V u , v ∈ V u,v in Vu, v \in Vu,v∈V 都有 u + v = v + u u + v = v + u u+v=v+uu+v=v+uu+v=v+u;

结合性（associativity）

对所有 u , v , w ∈ V u , v , w ∈ V u,v,w in Vu, v, w \in Vu,v,w∈V 和 a , b ∈ F a , b ∈ F a,b inFa, b \in \mathbf{F}a,b∈F 都有 ( u + v ) + w = u + ( v + w ) ( u + v ) + w = u + ( v + w ) (u+v)+w=u+(v+w)(u+v)+w=u+(v+w)(u+v)+w=u+(v+w) 和 ( a b ) v = a ( b v ) ( a b ) v = a ( b v ) (ab)v=a(bv)(a b) v=a(b v)(ab)v=a(bv);

加法单位元（additive identity）

存在元素 0 ∈ V 0 ∈ V 0in V0 \in V0∈V 使得对所有 v ∈ V v ∈ V v in Vv \in Vv∈V 都有 v + 0 = v v + 0 = v v+0=vv+0=vv+0=v;

加法逆元（additive inverse）

对每个 v ∈ V v ∈ V v in Vv \in Vv∈V 都存在 w ∈ V w ∈ V w in Vw \in Vw∈V 使得 v + w = 0 v + w = 0 v+w=0v+w=0v+w=0;

乘法单位元（multiplicative identity）

对所有 v ∈ V v ∈ V v in Vv \in Vv∈V 都有 1 v = v 1 v = v 1v=v1 v=v1v=v;

分配性质（distributive properties）

对所有 a , b ∈ F a , b ∈ F a,b inFa, b \in \mathbf{F}a,b∈F 和 u , v ∈ V u , v ∈ V u,v in Vu, v \in Vu,v∈V 都有 a ( u + v ) = a u + a v a ( u + v ) = a u + a v a(u+v)=au+ava(u+v)=a u+a va(u+v)=au+av 和 ( a + b ) v = a v + b v ( a + b ) v = a v + b v (a+b)v=av+bv(a+b) v=a v+b v(a+b)v=av+bv.
下面的几何语言有时更直观。
1.20 定义 向量（vector)、点（point）
向量空间中的元素称为向量或点.
向量空间的标量乘法依赖于 F F F\mathbf{F}F. 因此，在需要确切指明时，我们会说 V V VVV 是 F F F\mathbf{F}F 上的向量空间，而不是简单地说 V V VVV 是向量空间。例如， R n R n R^(n)\mathbf{R}^{n}Rn 是 R R R\mathbf{R}R 上的向量空间， C n C n C^(n)\mathbf{C}^{n}Cn 是 C 上的向量空间。
1.21 定义 实向量空间（real vector space）、复向量空间（complex vector space）
  • R R R\mathbf{R}R 上的向量空间称为实向量空间.
  • C 上的向量空间称为复向量空间.
一般来说， F F F\mathbf{F}F 的选取在上下文中是很明显的或者是无关紧要的，所以我们通常都假设 F F F\mathbf{F}F 是自明的。
请自行验证在通常的加法和标量乘法下 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn是 F F F\mathbf{F}F 上的向量空间。正是这个例子为我们定义向量空间提供了动因.
最简单的向量空间只含有一个点，即 { 0 } { 0 } {0}\{0\}{0} 是向量空间.
1.22 例 定义 F ∞ F ∞ F^(oo)\mathbf{F}^{\infty}F∞ 为 F F F\mathbf{F}F 中元素的所有无穷序列构成的集合:
F ∞ = { ( x 1 , x 2 , … ) : x j ∈ F , j = 1 , 2 , … } F ∞ = x 1 , x 2 , … : x j ∈ F , j = 1 , 2 , … F^(oo)={(x_(1),x_(2),dots):x_(j)inF,j=1,2,dots}\mathbf{F}^{\infty}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right): x_{j} \in \mathbf{F}, j=1,2, \ldots\right\}F∞={(x1,x2,…):xj∈F,j=1,2,…}
F ∞ F ∞ F^(oo)\mathbf{F}^{\infty}F∞ 中加法和标量乘法的定义也和我们所料想的一样：
( x 1 , x 2 , … ) + ( y 1 , y 2 , … ) = ( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , … ) λ ( x 1 , x 2 , … ) = ( λ x 1 , λ x 2 , … ) x 1 , x 2 , … + y 1 , y 2 , … = x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , … λ x 1 , x 2 , … = λ x 1 , λ x 2 , … {:[(x_(1),x_(2),dots)+(y_(1),y_(2),dots)=(x_(1)+y_(1),x_(2)+y_(2),dots)],[lambda(x_(1),x_(2),dots)=(lambdax_(1),lambdax_(2),dots)]:}\begin{gathered} \left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right)+\left(y_{1}, y_{2}, \ldots\right)=\left(x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}, \ldots\right) \\ \lambda\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right)=\left(\lambda x_{1}, \lambda x_{2}, \ldots\right) \end{gathered}(x1,x2,…)+(y1,y2,…)=(x1+y1,x2+y2,…)λ(x1,x2,…)=(λx1,λx2,…)
请自行验证在此定义下 F ∞ F ∞ F^(oo)\mathbf{F}^{\infty}F∞ 成为 F F F\mathbf{F}F 上的向量空间, 其加法单位元是每个元素都为 0的无穷序列。
向量空间的下一个例子涉及函数集合.

1.23 记号 F S F S F^(S)\mathbf{F}^{S}FS

  • 设 S S SSS 是一个集合，我们用 F S F S F^(S)\mathbf{F}^{S}FS 表示 S S SSS 到 F F F\mathbf{F}F 的所有函数的集合。
  • 对于 f , g ∈ F S f , g ∈ F S f,g inF^(S)f, g \in \mathbf{F}^{S}f,g∈FS, 规定和 f + g ∈ F S f + g ∈ F S f+g inF^(S)f+g \in \mathbf{F}^{S}f+g∈FS 是如下函数: 对所有 x ∈ S x ∈ S x in Sx \in Sx∈S,
( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) (f+g)(x)=f(x)+g(x)(f+g)(x)=f(x)+g(x)(f+g)(x)=f(x)+g(x)
  • 对于 λ ∈ F λ ∈ F lambda inF\lambda \in \mathbf{F}λ∈F 和 f ∈ F S f ∈ F S f inF^(S)f \in \mathbf{F}^{S}f∈FS, 规定乘积 λ f ∈ F S λ f ∈ F S lambda f inF^(S)\lambda f \in \mathbf{F}^{S}λf∈FS 是如下函数: 对所有 x ∈ S x ∈ S x in Sx \in Sx∈S,
( λ f ) ( x ) = λ f ( x ) ( λ f ) ( x ) = λ f ( x ) (lambda f)(x)=lambda f(x)(\lambda f)(x)=\lambda f(x)(λf)(x)=λf(x)
举一个具体的例子：如果 S S SSS 是区间 [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1] 且 F = R F = R F=R\mathbf{F}=\mathbf{R}F=R ，那么 R [ 0 , 1 ] R [ 0 , 1 ] R^([0,1])\mathbf{R}^{[0,1]}R[0,1] 就是定义在区间 [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1] 上的所有实值函数的集合.
请验证下面例子中的三条性质。

1.24 例 F S F S F^(S)\mathrm{F}^{S}FS 是向量空间

  • 若 S S SSS 是非空集合，则 F S F S F^(S)\mathbf{F}^{S}FS （在上面定义的加法和标量乘法下）是 F F F\mathbf{F}F 上的向量空间。
  • F S F S F^(S)\mathbf{F}^{S}FS 的加法单位元是如下定义的函数 0 : S → F 0 : S → F 0:S rarrF0: S \rightarrow \mathbf{F}0:S→F : 对所有 x ∈ S x ∈ S x in Sx \in Sx∈S,
0 ( x ) = 0 0 ( x ) = 0 0(x)=00(x)=00(x)=0
  • 对于 f ∈ F S , f f ∈ F S , f f inF^(S),ff \in \mathbf{F}^{S}, ff∈FS,f 的加法逆元是如下定义的函数 − f : S → F − f : S → F -f:S rarrF-f: S \rightarrow \mathbf{F}−f:S→F : 对所有 x ∈ S x ∈ S x in Sx \in Sx∈S,
( − f ) ( x ) = − f ( x ) ( − f ) ( x ) = − f ( x ) (-f)(x)=-f(x)(-f)(x)=-f(x)(−f)(x)=−f(x)
向量空间 R [ 0 , 1 ] R [ 0 , 1 ] R^([0,1])\mathbf{R}^{[0,1]}R[0,1] 中的元素是 [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1]上的实值函数，而不是组。一般来说，向量空间是一个抽象的对象，其中的元素可能是组、函数或其他稀奇古怪的对象。
前面的向量空间的两个例子 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 和 F ∞ F ∞ F^(oo)\mathbf{F}^{\infty}F∞ 都是 F S F S F^(S)\mathbf{F}^{S}FS 的特例，因为 F F F\mathbf{F}F 上长度为 n n nnn 的组可以看作是 { 1 , 2 , … , n } { 1 , 2 , … , n } {1,2,dots,n}\{1,2, \ldots, n\}{1,2,…,n} 到 F F F\mathbf{F}F 的函数，而 F F F\mathbf{F}F 中元素的无穷序列可以看作是正整数集到 F F F\mathbf{F}F 的函数。也就是说，我们可将 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 看作是 F { 1 , 2 , … , n } F { 1 , 2 , … , n } F^({1,2,dots,n})\mathbf{F}^{\{1,2, \ldots, n\}}F{1,2,…,n} ，将 F ∞ F ∞ F^(oo)\mathbf{F}^{\infty}F∞看作是 F { 1 , 2 , … } F { 1 , 2 , … } F^({1,2,dots})\mathbf{F}^{\{1,2, \ldots\}}F{1,2,…} 。
我们马上就会看到向量空间的更多例子，但在此之前，我们需要先来给出向量空间的一些基本性质。
向量空间的定义要求向量空间具有加法单位元，以下定理表明这个单位元是唯一的。

1.25 加法单位元唯一

向量空间有唯一的加法单位元.
证明 设 0 和 0 ′ 0 ′ 0^(')0^{\prime}0′ 都是向量空间 V V VVV 的加法单位元，则
0 ′ = 0 ′ + 0 = 0 + 0 ′ = 0 0 ′ = 0 ′ + 0 = 0 + 0 ′ = 0 0^(')=0^(')+0=0+0^(')=00^{\prime}=0^{\prime}+0=0+0^{\prime}=00′=0′+0=0+0′=0
其中第一个等式成立是因为 0 是加法单位元，第二个等式成立是因为加法交换性，第三个等式成立是因为 0 ′ 0 ′ 0^(')0^{\prime}0′ 是加法单位元。因此 0 = 0 ′ 0 = 0 ′ 0=0^(')0=0^{\prime}0=0′ ，这就证明了 V V VVV 中只有一个加法单位元。
向量空间的每个元素 v v vvv 都有加法逆元，即向量空间中使得 v + w = 0 v + w = 0 v+w=0v+w=0v+w=0 的元素 w w www.下面的结果表明向量空间中的每个元素都有唯一的加法逆元。

1.26 加法逆元唯一

向量空间中的每个元素都有唯一的加法逆元。
证明 设 V V VVV 是向量空间， v ∈ V v ∈ V v in Vv \in Vv∈V ，并设 w w www 和 w ′ w ′ w^(')w^{\prime}w′ 都是 v v vvv 的加法逆元，那么
w = w + 0 = w + ( v + w ′ ) = ( w + v ) + w ′ = 0 + w ′ = w ′ w = w + 0 = w + v + w ′ = ( w + v ) + w ′ = 0 + w ′ = w ′ w=w+0=w+(v+w^('))=(w+v)+w^(')=0+w^(')=w^(')w=w+0=w+\left(v+w^{\prime}\right)=(w+v)+w^{\prime}=0+w^{\prime}=w^{\prime}w=w+0=w+(v+w′)=(w+v)+w′=0+w′=w′
因此 w = w ′ w = w ′ w=w^(')w=w^{\prime}w=w′ 。
由于加法逆元是唯一的，下面的记号就有意义了。

1.27 记号 − v 、 w − v − v 、 w − v -v、w-v-v 、 w-v−v、w−v

设 v , w ∈ V v , w ∈ V v,w in Vv, w \in Vv,w∈V. 则
  • 用 − v − v -v-v−v 表示 v v vvv 的加法逆元;
  • 定义 w − v w − v w-vw-vw−v 为 w + ( − v ) w + ( − v ) w+(-v)w+(-v)w+(−v).
本书中几乎所有的结论都会涉及向量空间。为了避免经常重复像"设 V V VVV 是向量空间"这样的话，我们现在作出必要的声明，从此便可一劳永逸：

1.28 记号 V V VVV

在本书的其余部分，总设 V V VVV 是 F F F\mathbf{F}F 上的向量空间.
在下面的结果中，等式左边的 0 表示标量（数 0 ∈ F 0 ∈ F 0inF0 \in \mathbf{F}0∈F ），等式右边的 0 表示向量 （ V V VVV 中的加法单位元）。

1.29 数 0 0 0\mathbf{0}0 乘以向量

对任意 v ∈ V v ∈ V v in Vv \in Vv∈V 都有 0 v = 0 0 v = 0 0v=00 v=00v=0.

Abstract

注意， 1.29 是关于标量乘法和 V V VVV 的加法单位元的论断。在向量空间的定义中，把标量乘法和向量的加法联系在一起的只有分配性质。故在 1.29 的证明中必然用到分配性质。

证明 对 v ∈ V v ∈ V v in Vv \in Vv∈V ，我们有
0 v = ( 0 + 0 ) v = 0 v + 0 v 0 v = ( 0 + 0 ) v = 0 v + 0 v 0v=(0+0)v=0v+0v0 v=(0+0) v=0 v+0 v0v=(0+0)v=0v+0v
在上面等式的两端都加上 0 v 0 v 0v0 v0v 的加法逆元，可得 0 = 0 v 0 = 0 v 0=0v0=0 v0=0v 。
在下面的结果中， 0 表示 V V VVV 的加法单位元. 虽然 1.29 和 1.30 的证明是相似的，但 1.29 和 1.30 并不是一回事。确切地说， 1.29 说明标量 0 和任意向量的乘积都等于向量 0 , 而 1.30 说明任意标量与向量 0 的乘积都等于向量 0 .

1.30 数乘以向量 0

对任意 a ∈ F a ∈ F a inFa \in \mathbf{F}a∈F 都有 a 0 = 0 a 0 = 0 a0=0a 0=0a0=0.
证明 对 a ∈ F a ∈ F a inFa \in \mathbf{F}a∈F ，我们有
a 0 = a ( 0 + 0 ) = a 0 + a 0 a 0 = a ( 0 + 0 ) = a 0 + a 0 a0=a(0+0)=a0+a0a 0=a(0+0)=a 0+a 0a0=a(0+0)=a0+a0
在上面等式的两端都加上 a 0 a 0 a0a 0a0 的加法逆元，可得 0 = a 0 0 = a 0 0=a00=a 00=a0 。
现在我们来证明, 若将 V V VVV 中元素与标量 -1 相乘, 则得到该元素的加法逆元.

1.31 数 -1 乘以向量

对任意 v ∈ V v ∈ V v in Vv \in Vv∈V 都有 ( − 1 ) v = − v ( − 1 ) v = − v (-1)v=-v(-1) v=-v(−1)v=−v.
证明 对 v ∈ V v ∈ V v in Vv \in Vv∈V ，我们有
v + ( − 1 ) v = 1 v + ( − 1 ) v = ( 1 + ( − 1 ) ) v = 0 v = 0 v + ( − 1 ) v = 1 v + ( − 1 ) v = ( 1 + ( − 1 ) ) v = 0 v = 0 v+(-1)v=1v+(-1)v=(1+(-1))v=0v=0v+(-1) v=1 v+(-1) v=(1+(-1)) v=0 v=0v+(−1)v=1v+(−1)v=(1+(−1))v=0v=0
这个等式说明, (-1) v v vvv 与 v v vvv 相加得 0 . 因此 ( − 1 ) v ( − 1 ) v (-1)v(-1) v(−1)v 必为 v v vvv 的加法逆元.

习题 1.B

1 证明对任意 v ∈ V v ∈ V v in Vv \in Vv∈V 都有 − ( − v ) = v − ( − v ) = v -(-v)=v-(-v)=v−(−v)=v 。
2 设 a ∈ F , v ∈ V , a v = 0 a ∈ F , v ∈ V , a v = 0 a inF,v in V,av=0a \in \mathbf{F}, v \in V, a v=0a∈F,v∈V,av=0. 证明 a = 0 a = 0 a=0a=0a=0 或 v = 0 v = 0 v=0v=0v=0 。
3 设 v , w ∈ V v , w ∈ V v,w in Vv, w \in Vv,w∈V. 说明为什么有唯一的 x ∈ V x ∈ V x in Vx \in Vx∈V 使得 v + 3 x = w v + 3 x = w v+3x=wv+3 x=wv+3x=w.
4 空集不是向量空间. 1.19 中列出的性质中只有一条是空集不满足的, 请问是哪一条?
5 证明在向量空间的定义 1.19 中，关于加法逆元的那个条件可替换为
对所有 v ∈ V v ∈ V v in Vv \in Vv∈V 都有 0 v = 0 0 v = 0 0v=00 v=00v=0.
这里，等式左端的 0 是数 0 ，右端的 0 是 V V VVV 的加法单位元。（在一个定义中, "某个条件可替换为另一个条件"是指把这个条件换成另一个条件后所定义的是同一类对象.）
6 设 ∞ ∞ oo\infty∞ 和 − ∞ − ∞ -oo-\infty−∞ 是两个不同的对象，它们都不属于 R. 根据记号就能猜出如何在 R ∪ { ∞ } ∪ { − ∞ } R ∪ { ∞ } ∪ { − ∞ } Ruu{oo}uu{-oo}\mathbf{R} \cup\{\infty\} \cup\{-\infty\}R∪{∞}∪{−∞} 上定义加法和标量乘法。具体来说，两个实数的加法和乘法按通常的实数运算法则定义，并且对 t ∈ R t ∈ R t inRt \in \mathbf{R}t∈R 定义
t ∞ = { − ∞ , 若 t < 0 , 0 , 若 t = 0 , ∞ , 若 t > 0 , t ( − ∞ ) = { ∞ , 若 t < 0 , 0 , 若 t = 0 , − ∞ , 若 t > 0 , t + ∞ = ∞ + t = ∞ , t + ( − ∞ ) = ( − ∞ ) + t = − ∞ , ∞ + ∞ = ∞ , ( − ∞ ) + ( − ∞ ) = − ∞ , ∞ + ( − ∞ ) = 0 . t ∞ = − ∞ ,  若  t < 0 , 0 ,  若  t = 0 , ∞ ,  若  t > 0 , t ( − ∞ ) = ∞ ,  若  t < 0 , 0 ,  若  t = 0 , − ∞ ,  若  t > 0 , t + ∞ = ∞ + t = ∞ , t + ( − ∞ ) = ( − ∞ ) + t = − ∞ , ∞ + ∞ = ∞ , ( − ∞ ) + ( − ∞ ) = − ∞ , ∞ + ( − ∞ ) = 0 . {:[t oo={[-oo","," 若 "t < 0","],[0","," 若 "t=0","],[oo","," 若 "t > 0","]quad t(-oo)={[oo","," 若 "t < 0","],[0","," 若 "t=0","],[-oo","," 若 "t > 0","]:}],[t+oo=oo+t=oo","quad t+(-oo)=(-oo)+t=-oo","],[oo+oo=oo","quad(-oo)+(-oo)=-oo","quad oo+(-oo)=0.]:}\begin{aligned} & t \infty=\left\{\begin{array}{ll} -\infty, & \text { 若 } t<0, \\ 0, & \text { 若 } t=0, \\ \infty, & \text { 若 } t>0, \end{array} \quad t(-\infty)= \begin{cases}\infty, & \text { 若 } t<0, \\ 0, & \text { 若 } t=0, \\ -\infty, & \text { 若 } t>0,\end{cases} \right. \\ & t+\infty=\infty+t=\infty, \quad t+(-\infty)=(-\infty)+t=-\infty, \\ & \infty+\infty=\infty, \quad(-\infty)+(-\infty)=-\infty, \quad \infty+(-\infty)=0 . \end{aligned}t∞={−∞, 若 t<0,0, 若 t=0,∞, 若 t>0,t(−∞)={∞, 若 t<0,0, 若 t=0,−∞, 若 t>0,t+∞=∞+t=∞,t+(−∞)=(−∞)+t=−∞,∞+∞=∞,(−∞)+(−∞)=−∞,∞+(−∞)=0.
试问 R ∪ { ∞ } ∪ { − ∞ } R ∪ { ∞ } ∪ { − ∞ } Ruu{oo}uu{-oo}\mathbf{R} \cup\{\infty\} \cup\{-\infty\}R∪{∞}∪{−∞} 是否为 R R R\mathbf{R}R 上的向量空间？说明理由.

1.C 子空间

通过考虑子空间，我们可以大量地扩充向量空间的例子.

1.32 定义子空间（subspace）

如果 V V VVV 的子集 U U UUU （采用与 V V VVV 相同的加法和标量乘法）也是向量空间，则称 U U UUU 是 V V VVV 的子空间。
1.33 例 { ( x 1 , x 2 , 0 ) : x 1 , x 2 ∈ F } x 1 , x 2 , 0 : x 1 , x 2 ∈ F {(x_(1),x_(2),0):x_(1),x_(2)inF}\left\{\left(x_{1}, x_{2}, 0\right): x_{1}, x_{2} \in \mathbf{F}\right\}{(x1,x2,0):x1,x2∈F} 是 F 3 F 3 F^(3)\mathbf{F}^{3}F3 的子空间。
下面的结果给出了判断向量空间的一个子集是否为子空间的最简单的方法。
有些数学家采用线性子空间这个术语，意思与子空间一样。

1.34 子空间的条件

V V VVV 的子集 U U UUU 是 V V VVV 的子空间当且仅当 U U UUU 满足以下三个条件：

加法单位元 (additive identity)

0 ∈ U ; 0 ∈ U ; 0in U;0 \in U ;0∈U;

加法封闭性（closed under addition）

u , w ∈ U u , w ∈ U u,w in Uu, w \in Uu,w∈U 蕴涵 u + w ∈ U ; u + w ∈ U ; u+w in U;u+w \in U ;u+w∈U;

标量乘法封闭性（closed under scalar multiplication）

a ∈ F a ∈ F a inFa \in \mathbf{F}a∈F 和 u ∈ U u ∈ U u in Uu \in Uu∈U 蕴涵 a u ∈ U a u ∈ U au in Ua u \in Uau∈U.
上述关于加法单位元的条件可以替换为条件 " U U UUU 非空"（因为此时取 u ∈ U u ∈ U u in Uu \in Uu∈U ，用数 0 乘以 u u uuu ，利用 U U UUU 在标量乘法下封闭可得到 0 ∈ U 0 ∈ U 0in U0 \in U0∈U )。然而，若 U U UUU 的确是 V V VVV 的子空间，则证明 U U UUU 非空的最简单的方法还是证明 0 ∈ U 0 ∈ U 0in U0 \in U0∈U 。
证明 若 U U UUU 是 V V VVV 的子空间，则由向量空间的定义， U U UUU 满足上述三个条件。
反之，假定 U U UUU 满足上述三个条件。那么第一个条件保证了 V V VVV 的加法单位元在 U U UUU 中.
第二个条件保证了加法在 U U UUU 上是有意义的。第三个条件保证了标量乘法在 U U UUU 上是有意义的。
若 u ∈ U u ∈ U u in Uu \in Uu∈U ，则由上述的第三个条件知 − u − u -u-u−u （由 1.31 知其等于 ( − 1 ) u ( − 1 ) u (-1)u(-1) u(−1)u ）也在 U U UUU 中。因此 U U UUU 的每个元素在 U U UUU 中都有加法逆元。
向量空间定义中的其余部分（例如结合性和交换性）在 U U UUU 上自然成立，因为它们在更大的空间 V V VVV 上成立. 所以 U U UUU 是一个向量空间，从而是 V V VVV 的子空间。
上面的三个条件通常可以使我们快速判定 V V VVV 的一个子集是否为 V V VVV 的子空间. 请验证下面例子中的所有结论.

1.35 例 子空间

(a) 若 b ∈ F b ∈ F b inFb \in \mathbf{F}b∈F, 则 { ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ F 4 : x 3 = 5 x 4 + b } x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ F 4 : x 3 = 5 x 4 + b {(x_(1),x_(2),x_(3),x_(4))inF^(4):x_(3)=5x_(4)+b}\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbf{F}^{4}: x_{3}=5 x_{4}+b\right\}{(x1,x2,x3,x4)∈F4:x3=5x4+b} 是 F 4 F 4 F^(4)\mathbf{F}^{4}F4 的子空间当且仅当 b = 0 b = 0 b=0b=0b=0.
(b) 区间 [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1] 上的全体实值连续函数的集合是 R [ 0 , 1 ] R [ 0 , 1 ] R^([0,1])\mathbf{R}^{[0,1]}R[0,1] 的子空间.
(c) R R R\mathbf{R}R 上的全体实值可微函数的集合是 R R R R R^(R)\mathbf{R}^{\mathbf{R}}RR 的子空间.
(d) 区间 ( 0 , 3 ) ( 0 , 3 ) (0,3)(0,3)(0,3) 上满足条件 f ′ ( 2 ) = b f ′ ( 2 ) = b f^(')(2)=bf^{\prime}(2)=bf′(2)=b 的实值可微函数的集合是 R ( 0 , 3 ) R ( 0 , 3 ) R^((0,3))\mathbf{R}^{(0,3)}R(0,3) 的子空间当且仅当 b = 0 b = 0 b=0b=0b=0.
(e) 极限为 0 的复数序列组成的集合是 C ∞ C ∞ C^(oo)\mathbf{C}^{\infty}C∞ 的子空间.
上述某些结论的验证表明，线性结构以微积分为基础。例如，证明上述第二个结论需要 "两个连续函数的和仍为连续函数"这一结果。再如，证明上述第四个结论需要下面的结果：对于常数 c , c f c , c f c,cfc, c fc,cf 的导数等于 c c ccc 乘以 f f fff 的导数.
显然， { 0 } { 0 } {0}\{0\}{0} 是 V V VVV 的最小的子空间， V V VVV 自身是 V V VVV 的最大的子空间。空集不是 V V VVV 的子空间，因为子空间必须是向量空间，而向量空间至少要包含一个元素，即加法单位元。
R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 的子空间恰为 { 0 } 、 R 2 { 0 } 、 R 2 {0}、R^(2)\{0\} 、 \mathbf{R}^{2}{0}、R2 以及 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 中所有过原点的直线. R 3 R 3 R^(3)\mathbf{R}^{3}R3 的子空间恰为 { 0 } 、 R 3 、 R 3 { 0 } 、 R 3 、 R 3 {0}、R^(3)、R^(3)\{0\} 、 \mathbf{R}^{3} 、 \mathbf{R}^{3}{0}、R3、R3 中所有过原点的直线以及 R 3 R 3 R^(3)\mathbf{R}^{3}R3 中所有过原点的平面。容易证明这些对象确实都是子空间，而难点在于证明它们是 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 或 R 3 R 3 R^(3)\mathbf{R}^{3}R3 仅有的子空间。当我们在下一章引进更多的工具之后，证明这些结论会变得容易一些。

子空间的和

在研究向量空间时，我们感兴趣的通常只是子空间，而不是任意子集。子空间的和的概念是非常有用的。
子空间的并一般不是子空间（见习题 12），这就是我们通常讨论子空间的和而不讨论子空间的并的原因。

1.36 定义 子集的和（sum of subsets）

设 U 1 , … , U m U 1 , … , U m U_(1),dots,U_(m)U_{1}, \ldots, U_{m}U1,…,Um 都是 V V VVV 的子集，则 U 1 , … , U m U 1 , … , U m U_(1),dots,U_(m)U_{1}, \ldots, U_{m}U1,…,Um 的和定义为 U 1 , … , U m U 1 , … , U m U_(1),dots,U_(m)U_{1}, \ldots, U_{m}U1,…,Um 中元素所有可能的和所构成的集合, 记作 U 1 + ⋯ + U m U 1 + ⋯ + U m U_(1)+cdots+U_(m)U_{1}+\cdots+U_{m}U1+⋯+Um. 更确切地说,
U 1 + ⋯ + U m = { u 1 + ⋯ + u m : u 1 ∈ U 1 , … , u m ∈ U m } U 1 + ⋯ + U m = u 1 + ⋯ + u m : u 1 ∈ U 1 , … , u m ∈ U m U_(1)+cdots+U_(m)={u_(1)+cdots+u_(m):u_(1)inU_(1),dots,u_(m)inU_(m)}U_{1}+\cdots+U_{m}=\left\{u_{1}+\cdots+u_{m}: u_{1} \in U_{1}, \ldots, u_{m} \in U_{m}\right\}U1+⋯+Um={u1+⋯+um:u1∈U1,…,um∈Um}
我们来看子空间和的一些例子.
1.37 例 设 U U UUU 是 F 3 F 3 F^(3)\mathbf{F}^{3}F3 中第二个和第三个坐标均为 0 的那些元素构成的集合， W W WWW 是 F 3 F 3 F^(3)\mathbf{F}^{3}F3中第一个和第三个坐标均为 0 的那些元素构成的集合:
U = { ( x , 0 , 0 ) ∈ F 3 : x ∈ F } , W = { ( 0 , y , 0 ) ∈ F 3 : y ∈ F } U = ( x , 0 , 0 ) ∈ F 3 : x ∈ F , W = ( 0 , y , 0 ) ∈ F 3 : y ∈ F U={(x,0,0)inF^(3):x inF},quad W={(0,y,0)inF^(3):y inF}U=\left\{(x, 0,0) \in \mathbf{F}^{3}: x \in \mathbf{F}\right\}, \quad W=\left\{(0, y, 0) \in \mathbf{F}^{3}: y \in \mathbf{F}\right\}U={(x,0,0)∈F3:x∈F},W={(0,y,0)∈F3:y∈F}
请验证
U + W = { ( x , y , 0 ) : x , y ∈ F } U + W = { ( x , y , 0 ) : x , y ∈ F } U+W={(x,y,0):x,y inF}U+W=\{(x, y, 0): x, y \in \mathbf{F}\}U+W={(x,y,0):x,y∈F}
1.38 例 设
U = { ( x , x , y , y ) ∈ F 4 : x , y ∈ F } , W = { ( x , x , x , y ) ∈ F 4 : x , y ∈ F } U = ( x , x , y , y ) ∈ F 4 : x , y ∈ F , W = ( x , x , x , y ) ∈ F 4 : x , y ∈ F U={(x,x,y,y)inF^(4):x,y inF},quad W={(x,x,x,y)inF^(4):x,y inF}U=\left\{(x, x, y, y) \in \mathbf{F}^{4}: x, y \in \mathbf{F}\right\}, \quad W=\left\{(x, x, x, y) \in \mathbf{F}^{4}: x, y \in \mathbf{F}\right\}U={(x,x,y,y)∈F4:x,y∈F},W={(x,x,x,y)∈F4:x,y∈F}
请验证
U + W = { ( x , x , y , z ) ∈ F 4 : x , y , z ∈ F } U + W = ( x , x , y , z ) ∈ F 4 : x , y , z ∈ F U+W={(x,x,y,z)inF^(4):x,y,z inF}U+W=\left\{(x, x, y, z) \in \mathbf{F}^{4}: x, y, z \in \mathbf{F}\right\}U+W={(x,x,y,z)∈F4:x,y,z∈F}
以下结果表明子空间的和是子空间, 并且它是包含这些子空间的最小的子空间.

1.39 子空间的和是包含这些子空间的最小子空间

设 U 1 , … , U m U 1 , … , U m U_(1),dots,U_(m)U_{1}, \ldots, U_{m}U1,…,Um 都是 V V VVV 的子空间，则 U 1 + ⋯ + U m U 1 + ⋯ + U m U_(1)+cdots+U_(m)U_{1}+\cdots+U_{m}U1+⋯+Um 是 V V VVV 的包含 U 1 , … , U m U 1 , … , U m U_(1),dots,U_(m)U_{1}, \ldots, U_{m}U1,…,Um 的最小子空间。
在向量空间理论中，子空间的和类似于集合论中子集的并。给定一个向量空间的两个子空间，包含它们的最小子空间是它们的和。类似地，给定一个集合的两个子集，包含它们的最小子集是它们的并集。
证明 容易看出 0 ∈ U 1 + ⋯ + U m 0 ∈ U 1 + ⋯ + U m 0inU_(1)+cdots+U_(m)0 \in U_{1}+\cdots+U_{m}0∈U1+⋯+Um ，并且 U 1 + ⋯ + U m U 1 + ⋯ + U m U_(1)+cdots+U_(m)U_{1}+\cdots+U_{m}U1+⋯+Um 在加法和标量乘法下是封闭的。因此， 1.34 意味着 U 1 + ⋯ + U m U 1 + ⋯ + U m U_(1)+cdots+U_(m)U_{1}+\cdots+U_{m}U1+⋯+Um 是 V V VVV 的子空间。
显然 U 1 , … , U m U 1 , … , U m U_(1),dots,U_(m)U_{1}, \ldots, U_{m}U1,…,Um 都含于 U 1 + ⋯ + U m U 1 + ⋯ + U m U_(1)+cdots+U_(m)U_{1}+\cdots+U_{m}U1+⋯+Um （为说明这一点，考虑和 u 1 + ⋯ + u m u 1 + ⋯ + u m u_(1)+cdots+u_(m)u_{1}+\cdots+u_{m}u1+⋯+um ，其中除一项之外的其余项均为 0 )。 反之， V V VVV 中任何包含 U 1 , … , U m U 1 , … , U m U_(1),dots,U_(m)U_{1}, \ldots, U_{m}U1,…,Um 的子空间一定都包含 U 1 + ⋯ + U m U 1 + ⋯ + U m U_(1)+cdots+U_(m)U_{1}+\cdots+U_{m}U1+⋯+Um （因为子空间包含其中元素的所有有限和）。是， U 1 + ⋯ + U m U 1 + ⋯ + U m U_(1)+cdots+U_(m)U_{1}+\cdots+U_{m}U1+⋯+Um 是 V V VVV 中包含 U 1 , … , U m U 1 , … , U m U_(1),dots,U_(m)U_{1}, \ldots, U_{m}U1,…,Um 的最小的子空间。

直和

设 U 1 , … , U m U 1 , … , U m U_(1),dots,U_(m)U_{1}, \ldots, U_{m}U1,…,Um 都是 V V VVV 的子空间，则 U 1 + ⋯ + U m U 1 + ⋯ + U m U_(1)+cdots+U_(m)U_{1}+\cdots+U_{m}U1+⋯+Um 的每个元素都可写成
u 1 + ⋯ + u m u 1 + ⋯ + u m u_(1)+cdots+u_(m)u_{1}+\cdots+u_{m}u1+⋯+um
的形式，其中每个 u j u j u_(j)u_{j}uj 属于 U j U j U_(j)U_{j}Uj 。我们特别感兴趣的是 U 1 + ⋯ + U m U 1 + ⋯ + U m U_(1)+cdots+U_(m)U_{1}+\cdots+U_{m}U1+⋯+Um 中每个向量都可以唯一地表示成上述形式的情形，这种情形非常重要，所以给它起一个特殊的名字：直和。

1.40 定义 直和 (direct sum)

设 U 1 , … , U m U 1 , … , U m U_(1),dots,U_(m)U_{1}, \ldots, U_{m}U1,…,Um 都是 V V VVV 的子空间。
  • 和 U 1 + ⋯ + U m U 1 + ⋯ + U m U_(1)+cdots+U_(m)U_{1}+\cdots+U_{m}U1+⋯+Um 称为直和，如果 U 1 + ⋯ + U m U 1 + ⋯ + U m U_(1)+cdots+U_(m)U_{1}+\cdots+U_{m}U1+⋯+Um 中的每个元素都可以唯一地表示成 u 1 + ⋯ + u m u 1 + ⋯ + u m u_(1)+cdots+u_(m)u_{1}+\cdots+u_{m}u1+⋯+um ，其中每个 u j u j u_(j)u_{j}uj 属于 U j U j U_(j)U_{j}Uj 。
  • 若 U 1 + ⋯ + U m U 1 + ⋯ + U m U_(1)+cdots+U_(m)U_{1}+\cdots+U_{m}U1+⋯+Um 是直和, 则用 U 1 ⊕ ⋯ ⊕ U m U 1 ⊕ ⋯ ⊕ U m U_(1)o+cdots o+U_(m)U_{1} \oplus \cdots \oplus U_{m}U1⊕⋯⊕Um 来表示 U 1 + ⋯ + U m U 1 + ⋯ + U m U_(1)+cdots+U_(m)U_{1}+\cdots+U_{m}U1+⋯+Um, 这里符号 ⊕ ⊕ o+\oplus⊕ 表明此处的和是一个直和。
    1.41 例 设 U U UUU 是 F 3 F 3 F^(3)\mathbf{F}^{3}F3 中最后一个坐标为 0 的那些向量组成的子空间， W W WWW 是 F 3 F 3 F^(3)\mathbf{F}^{3}F3 中前两个坐标为 0 的那些向量组成的子空间:
U = { ( x , y , 0 ) ∈ F 3 : x , y ∈ F } , W = { ( 0 , 0 , z ) ∈ F 3 : z ∈ F } U = ( x , y , 0 ) ∈ F 3 : x , y ∈ F , W = ( 0 , 0 , z ) ∈ F 3 : z ∈ F U={(x,y,0)inF^(3):x,y inF},quad W={(0,0,z)inF^(3):z inF}U=\left\{(x, y, 0) \in \mathbf{F}^{3}: x, y \in \mathbf{F}\right\}, \quad W=\left\{(0,0, z) \in \mathbf{F}^{3}: z \in \mathbf{F}\right\}U={(x,y,0)∈F3:x,y∈F},W={(0,0,z)∈F3:z∈F}
请验证 F 3 = U ⊕ W F 3 = U ⊕ W F^(3)=U o+W\mathbf{F}^{3}=U \oplus WF3=U⊕W 。
1.42 例 设 U j U j U_(j)U_{j}Uj 是 F n F n F^(n)\mathbf{F}^{n}Fn 中除第 j j jjj 个坐标以外其余坐标全是 0 的那些向量所组成的子空间（例如， U 2 = { ( 0 , x , 0 , … , 0 ) ∈ F n : x ∈ F } U 2 = ( 0 , x , 0 , … , 0 ) ∈ F n : x ∈ F U_(2)={(0,x,0,dots,0)inF^(n):x inF}U_{2}=\left\{(0, x, 0, \ldots, 0) \in \mathbf{F}^{n}: x \in \mathbf{F}\right\}U2={(0,x,0,…,0)∈Fn:x∈F} ）。请验证 F n = U 1 ⊕ ⋯ ⊕ U n F n = U 1 ⊕ ⋯ ⊕ U n F^(n)=U_(1)o+cdots o+U_(n)\mathbf{F}^{n}=U_{1} \oplus \cdots \oplus U_{n}Fn=U1⊕⋯⊕Un 。
反面的例子有时能像正面的例子那样加深我们的理解.
1.43 例 设
U 1 = { ( x , y , 0 ) ∈ F 3 : x , y ∈ F } , U 2 = { ( 0 , 0 , z ) ∈ F 3 : z ∈ F } , U 3 = { ( 0 , y , y ) ∈ F 3 : y ∈ F } . U 1 = ( x , y , 0 ) ∈ F 3 : x , y ∈ F , U 2 = ( 0 , 0 , z ) ∈ F 3 : z ∈ F , U 3 = ( 0 , y , y ) ∈ F 3 : y ∈ F . {:[U_(1)={(x,y,0)inF^(3):x,y inF}","],[U_(2)={(0,0,z)inF^(3):z inF}","],[U_(3)={(0,y,y)inF^(3):y inF}.]:}\begin{aligned} & U_{1}=\left\{(x, y, 0) \in \mathbf{F}^{3}: x, y \in \mathbf{F}\right\}, \\ & U_{2}=\left\{(0,0, z) \in \mathbf{F}^{3}: z \in \mathbf{F}\right\}, \\ & U_{3}=\left\{(0, y, y) \in \mathbf{F}^{3}: y \in \mathbf{F}\right\} . \end{aligned}U1={(x,y,0)∈F3:x,y∈F},U2={(0,0,z)∈F3:z∈F},U3={(0,y,y)∈F3:y∈F}.
证明 U 1 + U 2 + U 3 U 1 + U 2 + U 3 U_(1)+U_(2)+U_(3)U_{1}+U_{2}+U_{3}U1+U2+U3 不是直和.
证明 显然 F 3 = U 1 + U 2 + U 3 F 3 = U 1 + U 2 + U 3 F^(3)=U_(1)+U_(2)+U_(3)\mathbf{F}^{3}=U_{1}+U_{2}+U_{3}F3=U1+U2+U3, 这是因为每个向量 ( x , y , z ) ∈ F 3 ( x , y , z ) ∈ F 3 (x,y,z)inF^(3)(x, y, z) \in \mathbf{F}^{3}(x,y,z)∈F3 都可以写成
( x , y , z ) = ( x , y , 0 ) + ( 0 , 0 , z ) + ( 0 , 0 , 0 ) ( x , y , z ) = ( x , y , 0 ) + ( 0 , 0 , z ) + ( 0 , 0 , 0 ) (x,y,z)=(x,y,0)+(0,0,z)+(0,0,0)(x, y, z)=(x, y, 0)+(0,0, z)+(0,0,0)(x,y,z)=(x,y,0)+(0,0,z)+(0,0,0)
右端第一个向量属于 U 1 U 1 U_(1)U_{1}U1, 第二个向量属于 U 2 U 2 U_(2)U_{2}U2, 第三个向量属于 U 3 U 3 U_(3)U_{3}U3.
然而 F 3 F 3 F^(3)\mathbf{F}^{3}F3 不是 U 1 , U 2 , U 3 U 1 , U 2 , U 3 U_(1),U_(2),U_(3)U_{1}, U_{2}, U_{3}U1,U2,U3 的直和，这是因为向量 ( 0 , 0 , 0 ) ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0)(0,0,0)(0,0,0) 能用两种不同方式写成和 u 1 + u 2 + u 3 u 1 + u 2 + u 3 u_(1)+u_(2)+u_(3)u_{1}+u_{2}+u_{3}u1+u2+u3 使得每个 u j u j u_(j)u_{j}uj 属于 U j U j U_(j)U_{j}Uj 。具体来说，我们有
( 0 , 0 , 0 ) = ( 0 , 1 , 0 ) + ( 0 , 0 , 1 ) + ( 0 , − 1 , − 1 ) ( 0 , 0 , 0 ) = ( 0 , 1 , 0 ) + ( 0 , 0 , 1 ) + ( 0 , − 1 , − 1 ) (0,0,0)=(0,1,0)+(0,0,1)+(0,-1,-1)(0,0,0)=(0,1,0)+(0,0,1)+(0,-1,-1)(0,0,0)=(0,1,0)+(0,0,1)+(0,−1,−1)
当然也有
( 0 , 0 , 0 ) = ( 0 , 0 , 0 ) + ( 0 , 0 , 0 ) + ( 0 , 0 , 0 ) ( 0 , 0 , 0 ) = ( 0 , 0 , 0 ) + ( 0 , 0 , 0 ) + ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0)=(0,0,0)+(0,0,0)+(0,0,0)(0,0,0)=(0,0,0)+(0,0,0)+(0,0,0)(0,0,0)=(0,0,0)+(0,0,0)+(0,0,0)
其中每个等式右端的第一个向量属于 U 1 U 1 U_(1)U_{1}U1, 第二个向量属于 U 2 U 2 U_(2)U_{2}U2, 第三个向量属于 U 3 U 3 U_(3)U_{3}U3.
直和的定义要求和空间中的每个向量都能唯一地表示成一个适当的和。以下结果表明，在确定子空间的和是否为直和时，只需考虑 0是否可以唯一地写成一个适当的和。
符号 ⊕ ⊕ o+\oplus⊕ 由一个圈和一个位于其内的加号组成，提醒我们正在处理子空间的一种特殊类型的和：直和的每个元素都可以唯一地表示成这些给定的子空间中元素的和。

1.44 直和的条件

设 U 1 , … , U n U 1 , … , U n U_(1),dots,U_(n)U_{1}, \ldots, U_{n}U1,…,Un 都是 V V VVV 的子空间。" U 1 + ⋯ + U m U 1 + ⋯ + U m U_(1)+cdots+U_(m)U_{1}+\cdots+U_{m}U1+⋯+Um 是直和" 当且仅当 " 0 表示成 u 1 + ⋯ + u n u 1 + ⋯ + u n u_(1)+cdots+u_(n)u_{1}+\cdots+u_{n}u1+⋯+un （其中每个 u j ∈ U j u j ∈ U j u_(j)inU_(j)u_{j} \in U_{j}uj∈Uj ）的唯一方式是每个 u j u j u_(j)u_{j}uj 都等于 0 " 0 " 0"0 "0" 。
证明 首先假设 U 1 + ⋯ + U m U 1 + ⋯ + U m U_(1)+cdots+U_(m)U_{1}+\cdots+U_{m}U1+⋯+Um 是直和. 那么直和的定义表明: 如果 0 = u 1 + ⋯ + u m 0 = u 1 + ⋯ + u m 0=u_(1)+cdots+u_(m)0=u_{1}+\cdots+u_{m}0=u1+⋯+um （其中每个 u j ∈ U j u j ∈ U j u_(j)inU_(j)u_{j} \in U_{j}uj∈Uj ），则必有每个 u j u j u_(j)u_{j}uj 都等于 0 。
现在假设：如果 0 = u 1 + ⋯ + u m 0 = u 1 + ⋯ + u m 0=u_(1)+cdots+u_(m)0=u_{1}+\cdots+u_{m}0=u1+⋯+um （其中每个 u j ∈ U j u j ∈ U j u_(j)inU_(j)u_{j} \in U_{j}uj∈Uj ），则每个 u j u j u_(j)u_{j}uj 都等于 0 。为了证明 U 1 + ⋯ + U m U 1 + ⋯ + U m U_(1)+cdots+U_(m)U_{1}+\cdots+U_{m}U1+⋯+Um 是直和，设 v ∈ U 1 + ⋯ + U m v ∈ U 1 + ⋯ + U m v inU_(1)+cdots+U_(m)v \in U_{1}+\cdots+U_{m}v∈U1+⋯+Um. 把 v v vvv 写成
v = u 1 + ⋯ + u m v = u 1 + ⋯ + u m v=u_(1)+cdots+u_(m)v=u_{1}+\cdots+u_{m}v=u1+⋯+um
其中 u 1 ∈ U 1 , … , u m ∈ U m u 1 ∈ U 1 , … , u m ∈ U m u_(1)inU_(1),dots,u_(m)inU_(m)u_{1} \in U_{1}, \ldots, u_{m} \in U_{m}u1∈U1,…,um∈Um. 为证明这个表示法唯一，假设还有一个表示
v = v 1 + ⋯ + v m v = v 1 + ⋯ + v m v=v_(1)+cdots+v_(m)v=v_{1}+\cdots+v_{m}v=v1+⋯+vm
其中 v 1 ∈ U 1 , … , v m ∈ U m v 1 ∈ U 1 , … , v m ∈ U m v_(1)inU_(1),dots,v_(m)inU_(m)v_{1} \in U_{1}, \ldots, v_{m} \in U_{m}v1∈U1,…,vm∈Um. 两式相减, 我们有
0 = ( u 1 − v 1 ) + ⋯ + ( u m − v m ) 0 = u 1 − v 1 + ⋯ + u m − v m 0=(u_(1)-v_(1))+cdots+(u_(m)-v_(m))0=\left(u_{1}-v_{1}\right)+\cdots+\left(u_{m}-v_{m}\right)0=(u1−v1)+⋯+(um−vm)
由于 u 1 − v 1 ∈ U 1 , … , u m − v m ∈ U m u 1 − v 1 ∈ U 1 , … , u m − v m ∈ U m u_(1)-v_(1)inU_(1),dots,u_(m)-v_(m)inU_(m)u_{1}-v_{1} \in U_{1}, \ldots, u_{m}-v_{m} \in U_{m}u1−v1∈U1,…,um−vm∈Um, 上式表明每个 u j − v j u j − v j u_(j)-v_(j)u_{j}-v_{j}uj−vj 都等于 0 . 于是, u 1 = v 1 , … , u m = v m u 1 = v 1 , … , u m = v m u_(1)=v_(1),dots,u_(m)=v_(m)u_{1}=v_{1}, \ldots, u_{m}=v_{m}u1=v1,…,um=vm.
下面的结果给出了验证两个子空间可以做直和的一个简单条件.

1.45 两个子空间的直和

设 U U UUU 和 W W WWW 都是 V V VVV 的子空间，则 U + W U + W U+WU+WU+W 是直和当且仅当 U ∩ W = { 0 } U ∩ W = { 0 } U nn W={0}U \cap W=\{0\}U∩W={0}.
证明 首先假设 U + W U + W U+WU+WU+W 是直和。若 v ∈ U ∩ W v ∈ U ∩ W v in U nn Wv \in U \cap Wv∈U∩W, 则 0 = v + ( − v ) 0 = v + ( − v ) 0=v+(-v)0=v+(-v)0=v+(−v), 其中 v ∈ U , − v ∈ W v ∈ U , − v ∈ W v in U,-v in Wv \in U,-v \in Wv∈U,−v∈W.由于 0 可唯一地表示成 U U UUU 中向量与 W W WWW 中向量的和，我们有 v = 0 v = 0 v=0v=0v=0 。于是 U ∩ W = { 0 } U ∩ W = { 0 } U nn W={0}U \cap W=\{0\}U∩W={0},这就证明了定理的一个方面。
另一方面，假设 U ∩ W = { 0 } U ∩ W = { 0 } U nn W={0}U \cap W=\{0\}U∩W={0} 。为证明 U + W U + W U+WU+WU+W 是直和，假设 u ∈ U , w ∈ W u ∈ U , w ∈ W u in U,w in Wu \in U, w \in Wu∈U,w∈W ， 0 = u + w 0 = u + w 0=u+w0=u+w0=u+w. 为完成证明, 只需证明 u = w = 0 u = w = 0 u=w=0u=w=0u=w=0 （由于 1.44）。 由上面的等式可得 u = − w ∈ W u = − w ∈ W u=-w in Wu=-w \in Wu=−w∈W. 于是 u ∈ U ∩ W u ∈ U ∩ W u in U nn Wu \in U \cap Wu∈U∩W. 因此 u = 0 u = 0 u=0u=0u=0, 由此及上面的等式可得 w = 0 w = 0 w=0w=0w=0, 这就完成了证明。
子空间的和类似于子集的并。同样，子空间的直和类似于子集的不交并. 任意两个子空间都相交，因为它们都包含 0 . 因此要用交为 { 0 } { 0 } {0}\{0\}{0} 代替不相交，至少在两个子空间的情形如此。
上面的结果只考虑了两个子空间的情形。在考虑多于两个的子空间的和是否为直和时,只验证任意两个子空间的交为 { 0 } { 0 } {0}\{0\}{0} 是不够的。为了看出这一点, 考虑例 1.43 , 在那个非直和的例子中, 我们有 U 1 ∩ U 2 = U 1 ∩ U 3 = U 2 ∩ U 3 = U 1 ∩ U 2 = U 1 ∩ U 3 = U 2 ∩ U 3 = U_(1)nnU_(2)=U_(1)nnU_(3)=U_(2)nnU_(3)=U_{1} \cap U_{2}=U_{1} \cap U_{3}=U_{2} \cap U_{3}=U1∩U2=U1∩U3=U2∩U3= { 0 } { 0 } {0}\{0\}{0} 。

习题 1.C

1 判断 F 3 F 3 F^(3)\mathbf{F}^{3}F3 的下列子集是不是 F 3 F 3 F^(3)\mathbf{F}^{3}F3 的子空间:
(a) { ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ F 3 : x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 0 } x 1 , x 2 , x 3 ∈ F 3 : x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 0 {(x_(1),x_(2),x_(3))inF^(3):x_(1)+2x_(2)+3x_(3)=0}\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbf{F}^{3}: x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=0\right\}{(x1,x2,x3)∈F3:x1+2x2+3x3=0};
(b) { ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ F 3 : x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 4 } x 1 , x 2 , x 3 ∈ F 3 : x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 4 {(x_(1),x_(2),x_(3))inF^(3):x_(1)+2x_(2)+3x_(3)=4}\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbf{F}^{3}: x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=4\right\}{(x1,x2,x3)∈F3:x1+2x2+3x3=4};
(c) { ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ F 3 : x 1 x 2 x 3 = 0 } x 1 , x 2 , x 3 ∈ F 3 : x 1 x 2 x 3 = 0 {(x_(1),x_(2),x_(3))inF^(3):x_(1)x_(2)x_(3)=0}\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbf{F}^{3}: x_{1} x_{2} x_{3}=0\right\}{(x1,x2,x3)∈F3:x1x2x3=0};
(d) { ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ F 3 : x 1 = 5 x 3 } x 1 , x 2 , x 3 ∈ F 3 : x 1 = 5 x 3 {(x_(1),x_(2),x_(3))inF^(3):x_(1)=5x_(3)}\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbf{F}^{3}: x_{1}=5 x_{3}\right\}{(x1,x2,x3)∈F3:x1=5x3}.
2 验证例1.35中的所有结论.
3 证明区间 ( − 4 , 4 ) ( − 4 , 4 ) (-4,4)(-4,4)(−4,4) 上满足 f ′ ( − 1 ) = 3 f ( 2 ) f ′ ( − 1 ) = 3 f ( 2 ) f^(')(-1)=3f(2)f^{\prime}(-1)=3 f(2)f′(−1)=3f(2) 的可微的实值函数 f f fff 构成的集合是 R ( − 4 , 4 ) R ( − 4 , 4 ) R^((-4,4))\mathbf{R}^{(-4,4)}R(−4,4) 的子空间。
4 设 b ∈ R b ∈ R b inRb \in \mathbf{R}b∈R. 证明区间 [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1] 上满足 ∫ 0 1 f ( x ) d x = b ∫ 0 1   f ( x ) d x = b int_(0)^(1)f(x)dx=b\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=b∫01f(x)dx=b 的实值连续函数 f f fff 构成的集合是 R [ 0 , 1 ] R [ 0 , 1 ] R^([0,1])\mathbf{R}^{[0,1]}R[0,1] 的子空间当且仅当 b = 0 b = 0 b=0b=0b=0.
5 R 2 5 R 2 5R^(2)5 \mathrm{R}^{2}5R2 是复向量空间 C 2 C 2 C^(2)\mathrm{C}^{2}C2 的子空间吗？
6 (a) { ( a , b , c ) ∈ R 3 : a 3 = b 3 } ( a , b , c ) ∈ R 3 : a 3 = b 3 {(a,b,c)inR^(3):a^(3)=b^(3)}\left\{(a, b, c) \in \mathbf{R}^{3}: a^{3}=b^{3}\right\}{(a,b,c)∈R3:a3=b3} 是 R 3 R 3 R^(3)\mathbf{R}^{3}R3 的子空间吗?
(b) { ( a , b , c ) ∈ C 3 : a 3 = b 3 } ( a , b , c ) ∈ C 3 : a 3 = b 3 {(a,b,c)inC^(3):a^(3)=b^(3)}\left\{(a, b, c) \in \mathbf{C}^{3}: a^{3}=b^{3}\right\}{(a,b,c)∈C3:a3=b3} 是 C 3 C 3 C^(3)\mathbf{C}^{3}C3 的子空间吗?
7 给出 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 的一个非空子集 U U UUU 的例子，使得 U U UUU 对于加法和加法逆元是封闭的（后者意味着若 u ∈ U u ∈ U u in Uu \in Uu∈U 则 − u ∈ U − u ∈ U -u in U-u \in U−u∈U ), 但 U U UUU 不是 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 的子空间。
8 给出 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 的一个非空子集 U U UUU 的例子, 使得 U U UUU 在标量乘法下是封闭的, 但 U U UUU 不是 R 2 R 2 R^(2)R^{2}R2 的子空间。
9 函数 f : R → R f : R → R f:RrarrRf: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}f:R→R 称为周期的，如果有正数 p p ppp 使得对任意 x ∈ R x ∈ R x inRx \in \mathbf{R}x∈R 有 f ( x ) = f ( x + p ) f ( x ) = f ( x + p ) f(x)=f(x+p)f(x)=f(x+p)f(x)=f(x+p). R R R\mathbf{R}R 到 R R R\mathbf{R}R 的周期函数构成的集合是 R R R R R^(R)\mathbf{R}^{\mathbf{R}}RR 的子空间吗？说明理由。
10 设 U 1 U 1 U_(1)U_{1}U1 和 U 2 U 2 U_(2)U_{2}U2 均为 V V VVV 的子空间。证明 U 1 ∩ U 2 U 1 ∩ U 2 U_(1)nnU_(2)U_{1} \cap U_{2}U1∩U2 是 V V VVV 的子空间.
11 证明 V V VVV 的任意一族子空间的交是 V V VVV 的子空间。
12 证明 V V VVV 的两个子空间的并是 V V VVV 的子空间当且仅当其中一个子空间包含另一个子空间。
13 证明 V V VVV 的三个子空间的并是 V V VVV 的子空间当且仅当其中一个子空间包含另两个子空间。
令人惊讶的是, 本题比上题难得多, 或许是因为若将 F F F\mathbf{F}F 换成只包含两个元素的域则本题的结论不再成立。
14 验证例 1.38 的结论。
15 设 U U UUU 是 V V VVV 的子空间, 求 U + U U + U U+UU+UU+U.
16 V 16 V 16 V16 V16V 的子空间加法运算具有交换性吗？也就是说，如果 U U UUU 和 W W WWW 都是 V V VVV 的子空间，那么是否有 U + W = W + U U + W = W + U U+W=W+UU+W=W+UU+W=W+U ?
17 V 17 V 17 V17 V17V 的子空间加法运算具有结合性吗？也就是说，如果 U 1 , U 2 , U 3 U 1 , U 2 , U 3 U_(1),U_(2),U_(3)U_{1}, U_{2}, U_{3}U1,U2,U3 是 V V VVV 的子空间，那么是否有 ( U 1 + U 2 ) + U 3 = U 1 + ( U 2 + U 3 ) U 1 + U 2 + U 3 = U 1 + U 2 + U 3 (U_(1)+U_(2))+U_(3)=U_(1)+(U_(2)+U_(3))\left(U_{1}+U_{2}\right)+U_{3}=U_{1}+\left(U_{2}+U_{3}\right)(U1+U2)+U3=U1+(U2+U3) ?
18 V 18 V 18 V18 V18V 的子空间加法运算有单位元吗？哪些子空间有加法逆元？
19 证明或给出反例：如果 U 1 , U 2 , W U 1 , U 2 , W U_(1),U_(2),WU_{1}, U_{2}, WU1,U2,W 是 V V VVV 的子空间，使得 U 1 + W = U 2 + W U 1 + W = U 2 + W U_(1)+W=U_(2)+WU_{1}+W=U_{2}+WU1+W=U2+W ，则 U 1 = U 2 U 1 = U 2 U_(1)=U_(2)U_{1}=U_{2}U1=U2.
20 设 U = { ( x , x , y , y ) ∈ F 4 : x , y ∈ F } U = ( x , x , y , y ) ∈ F 4 : x , y ∈ F U={(x,x,y,y)inF^(4):x,y inF}U=\left\{(x, x, y, y) \in \mathbf{F}^{4}: x, y \in \mathbf{F}\right\}U={(x,x,y,y)∈F4:x,y∈F}, 找出 F 4 F 4 F^(4)\mathbf{F}^{4}F4 的一个子空间 W W WWW 使得 F 4 = F 4 = F^(4)=\mathbf{F}^{4}=F4= U ⊕ W U ⊕ W U o+WU \oplus WU⊕W.
21 设 U = { ( x , y , x + y , x − y , 2 x ) ∈ F 5 : x , y ∈ F } U = ( x , y , x + y , x − y , 2 x ) ∈ F 5 : x , y ∈ F U={(x,y,x+y,x-y,2x)inF^(5):x,y inF}U=\left\{(x, y, x+y, x-y, 2 x) \in \mathbf{F}^{5}: x, y \in \mathbf{F}\right\}U={(x,y,x+y,x−y,2x)∈F5:x,y∈F}, 找出 F 5 F 5 F^(5)\mathbf{F}^{5}F5 的一个子空间 W W WWW 使得 F 5 = U ⊕ W F 5 = U ⊕ W F^(5)=U o+W\mathbf{F}^{5}=U \oplus WF5=U⊕W.
22 设 U = { ( x , y , x + y , x − y , 2 x ) ∈ F 5 : x , y ∈ F } U = ( x , y , x + y , x − y , 2 x ) ∈ F 5 : x , y ∈ F U={(x,y,x+y,x-y,2x)inF^(5):x,y inF}U=\left\{(x, y, x+y, x-y, 2 x) \in \mathbf{F}^{5}: x, y \in \mathbf{F}\right\}U={(x,y,x+y,x−y,2x)∈F5:x,y∈F}, 找出 F 5 F 5 F^(5)\mathbf{F}^{5}F5 的三个非 { 0 } { 0 } {0}\{0\}{0} 子空间 W 1 , W 2 , W 3 W 1 , W 2 , W 3 W_(1),W_(2),W_(3)W_{1}, W_{2}, W_{3}W1,W2,W3 使得 F 5 = U ⊕ W 1 ⊕ W 2 ⊕ W 3 F 5 = U ⊕ W 1 ⊕ W 2 ⊕ W 3 F^(5)=U o+W_(1)o+W_(2)o+W_(3)\mathbf{F}^{5}=U \oplus W_{1} \oplus W_{2} \oplus W_{3}F5=U⊕W1⊕W2⊕W3 。
23 证明或给出反例：如果 U 1 , U 2 , W U 1 , U 2 , W U_(1),U_(2),WU_{1}, U_{2}, WU1,U2,W 是 V V VVV 的子空间，使得 V = U 1 ⊕ W V = U 1 ⊕ W V=U_(1)o+WV=U_{1} \oplus WV=U1⊕W 且 V = V = V=V=V= U 2 ⊕ W U 2 ⊕ W U_(2)o+WU_{2} \oplus WU2⊕W ，则 U 1 = U 2 U 1 = U 2 U_(1)=U_(2)U_{1}=U_{2}U1=U2 。
24 函数 f : R → R f : R → R f:RrarrRf: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}f:R→R 称为偶函数，如果对所有 x ∈ R x ∈ R x inRx \in \mathbf{R}x∈R 均有 f ( − x ) = f ( x ) f ( − x ) = f ( x ) f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)f(−x)=f(x) 。函数 f : R → R f : R → R f:RrarrRf: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}f:R→R 称为奇函数, 如果对所有 x ∈ R x ∈ R x inRx \in \mathbf{R}x∈R 均有 f ( − x ) = − f ( x ) f ( − x ) = − f ( x ) f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)f(−x)=−f(x). 用 U e U e U_(e)U_{\mathrm{e}}Ue 表示 R R R\mathbf{R}R上实值偶函数的集合，用 U o U o U_(o)U_{\mathrm{o}}Uo 表示 R R R\mathbf{R}R 上实值奇函数的集合。证明 R R = U e ⊕ U o R R = U e ⊕ U o R^(R)=U_(e)o+U_(o)\mathbf{R}^{\mathbf{R}}=U_{\mathbf{e}} \oplus U_{\mathrm{o}}RR=Ue⊕Uo.