美国数学家保罗 • 哈尔莫斯 （1916-2006），他于1942年发表了第一本现代的线性代数著作。该书与本章同名.
有限维向量空间
回顾一下, 我们总是采用如下假定:
2.1 记号
F
F
F \mathbf{F} F 、
V
V
V V V
F
F
F \mathbf{F} F
R
R
R \mathbf{R} R
C
C
C \mathbf{C} C
V
V
V V V
F
F
F \mathbf{F} F
上一章我们学习了向量空间. 线性代数所关注的并不是任意的向量空间, 而是本章介绍的有限维向量空间。
本章的学习目标
■ 线性无关
2.A 张成空间与线性无关
我们一直用圆括号将一组数括起来表示数组，对于
F
n
F
n
F^(n) \mathbf{F}^{n} F n 中的元素我们将沿用这一记号。例如，
(
2
,
−
7
,
8
)
∈
F
3
(
2
,
−
7
,
8
)
∈
F
3
(2,-7,8)inF^(3) (2,-7,8) \in \mathbf{F}^{3} ( 2 , − 7 , 8 ) ∈ F 3 。但是现在需要考虑向量组（这里的向量可以是
F
n
F
n
F^(n) \mathbf{F}^{n} F n 的元素或其他向量空间的元素）。为避免混淆，我们在表示向量组时通常不用括号括起来。例如，
(
4
,
1
,
6
)
,
(
9
,
5
,
7
)
(
4
,
1
,
6
)
,
(
9
,
5
,
7
)
(4,1,6),(9,5,7) (4,1,6),(9,5,7) ( 4 , 1 , 6 ) , ( 9 , 5 , 7 ) 表示
R
3
R
3
R^(3) \mathbf{R}^{3} R 3 中的一个长度为 2 的向量组。
2.2 记号 向量组（list of vectors）
我们表示向量组时，通常不用括号括起来.
线性组合与张成空间
将一个向量组中的向量做标量乘法后相加, 即得到该向量组的一个所谓的线性组合. 下面是正式的定义:
2.3 定义 线性组合（linear combination）
V
V
V V V 中的一组向量
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m 的线性组合是指形如
a
1
v
1
+
⋯
+
a
m
v
m
a
1
v
1
+
⋯
+
a
m
v
m
a_(1)v_(1)+cdots+a_(m)v_(m) a_{1} v_{1}+\cdots+a_{m} v_{m} a 1 v 1 + ⋯ + a m v m 的向量，其中
a
1
,
…
,
a
m
∈
F
a
1
,
…
,
a
m
∈
F
a_(1),dots,a_(m)inF a_{1}, \ldots, a_{m} \in \mathbf{F} a 1 , … , a m ∈ F .
2.4 例 在
F
3
F
3
F^(3) \mathbf{F}^{3} F 3 中，
(
17
,
−
4
,
2
)
(
17
,
−
4
,
2
)
(17,-4,2) (17,-4,2) ( 17 , − 4 , 2 )
(
2
,
1
,
−
3
)
,
(
1
,
−
2
,
4
)
(
2
,
1
,
−
3
)
,
(
1
,
−
2
,
4
)
(2,1,-3),(1,-2,4) (2,1,-3),(1,-2,4) ( 2 , 1 , − 3 ) , ( 1 , − 2 , 4 )
(
17
,
−
4
,
2
)
=
6
(
2
,
1
,
−
3
)
+
5
(
1
,
−
2
,
4
)
(
17
,
−
4
,
2
)
=
6
(
2
,
1
,
−
3
)
+
5
(
1
,
−
2
,
4
)
(17,-4,2)=6(2,1,-3)+5(1,-2,4) (17,-4,2)=6(2,1,-3)+5(1,-2,4) ( 17 , − 4 , 2 ) = 6 ( 2 , 1 , − 3 ) + 5 ( 1 , − 2 , 4 )
(
17
,
−
4
,
5
)
(
17
,
−
4
,
5
)
(17,-4,5) (17,-4,5) ( 17 , − 4 , 5 )
(
2
,
1
,
−
3
)
,
(
1
,
−
2
,
4
)
(
2
,
1
,
−
3
)
,
(
1
,
−
2
,
4
)
(2,1,-3),(1,-2,4) (2,1,-3),(1,-2,4) ( 2 , 1 , − 3 ) , ( 1 , − 2 , 4 )
a
1
,
a
2
∈
F
a
1
,
a
2
∈
F
a_(1),a_(2)inF a_{1}, a_{2} \in \mathbf{F} a 1 , a 2 ∈ F
(
17
,
−
4
,
5
)
=
a
1
(
2
,
1
,
−
3
)
+
a
2
(
1
,
−
2
,
4
)
(
17
,
−
4
,
5
)
=
a
1
(
2
,
1
,
−
3
)
+
a
2
(
1
,
−
2
,
4
)
(17,-4,5)=a_(1)(2,1,-3)+a_(2)(1,-2,4) (17,-4,5)=a_{1}(2,1,-3)+a_{2}(1,-2,4) ( 17 , − 4 , 5 ) = a 1 ( 2 , 1 , − 3 ) + a 2 ( 1 , − 2 , 4 ) 也就是说，方程组
{
17
=
2
a
1
+
a
2
,
−
4
=
a
1
−
2
a
2
,
5
=
−
3
a
1
+
4
a
2
17
=
2
a
1
+
a
2
,
−
4
=
a
1
−
2
a
2
,
5
=
−
3
a
1
+
4
a
2
{[17=2a_(1)+a_(2)","],[-4=a_(1)-2a_(2)","],[5=-3a_(1)+4a_(2)]:} \left\{\begin{aligned}
17 & =2 a_{1}+a_{2}, \\
-4 & =a_{1}-2 a_{2}, \\
5 & =-3 a_{1}+4 a_{2}
\end{aligned}\right. { 17 = 2 a 1 + a 2 , − 4 = a 1 − 2 a 2 , 5 = − 3 a 1 + 4 a 2 无解（请自行验证）。
2.5 定义 张成空间（span）
V
V
V V V 中一组向量
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m 的所有线性组合所构成的集合称为
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m 的张成空间，记为
span
(
v
1
,
…
,
v
m
)
span
v
1
,
…
,
v
m
span(v_(1),dots,v_(m)) \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right) span ( v 1 , … , v m ) 。也就是说，
span
(
v
1
,
…
,
v
m
)
=
{
a
1
v
1
+
⋯
+
a
m
v
m
:
a
1
,
…
,
a
m
∈
F
}
span
v
1
,
…
,
v
m
=
a
1
v
1
+
⋯
+
a
m
v
m
:
a
1
,
…
,
a
m
∈
F
span(v_(1),dots,v_(m))={a_(1)v_(1)+cdots+a_(m)v_(m):a_(1),dots,a_(m)inF} \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right)=\left\{a_{1} v_{1}+\cdots+a_{m} v_{m}: a_{1}, \ldots, a_{m} \in \mathbf{F}\right\} span ( v 1 , … , v m ) = { a 1 v 1 + ⋯ + a m v m : a 1 , … , a m ∈ F } 空向量组（）的张成空间定义为
{
0
}
{
0
}
{0} \{0\} { 0 } 。
2.6 例 前面的例子表明在
F
3
F
3
F^(3) \mathbf{F}^{3} F 3 中,
(
17
,
−
4
,
2
)
∈
span
(
(
2
,
1
,
−
3
)
,
(
1
,
−
2
,
4
)
)
(
17
,
−
4
,
2
)
∈
span
(
(
2
,
1
,
−
3
)
,
(
1
,
−
2
,
4
)
)
(17,-4,2)in span((2,1,-3),(1,-2,4)) (17,-4,2) \in \operatorname{span}((2,1,-3),(1,-2,4)) ( 17 , − 4 , 2 ) ∈ span ( ( 2 , 1 , − 3 ) , ( 1 , − 2 , 4 ) )
(
17
,
−
4
,
5
)
∉
span
(
(
2
,
1
,
−
3
)
,
(
1
,
−
2
,
4
)
)
(
17
,
−
4
,
5
)
∉
span
(
(
2
,
1
,
−
3
)
,
(
1
,
−
2
,
4
)
)
(17,-4,5)!in span((2,1,-3),(1,-2,4)) (17,-4,5) \notin \operatorname{span}((2,1,-3),(1,-2,4)) ( 17 , − 4 , 5 ) ∉ span ( ( 2 , 1 , − 3 ) , ( 1 , − 2 , 4 ) )
有些数学家采用术语线性张成空间，意思与张成空间一样。
2.7 张成空间是包含这组向量的最小子空间
V
V
V V V 中一组向量的张成空间是包含这组向量的最小子空间.
证明 设
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m 是
V
V
V V V 中的一组向量。
先证明
span
(
v
1
,
…
,
v
m
)
span
v
1
,
…
,
v
m
span(v_(1),dots,v_(m)) \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right) span ( v 1 , … , v m ) 是
V
V
V V V 的子空间。加法单位元属于
span
(
v
1
,
…
,
v
m
)
span
v
1
,
…
,
v
m
span(v_(1),dots,v_(m)) \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right) span ( v 1 , … , v m ) , 因为
0
=
0
v
1
+
⋯
+
0
v
m
0
=
0
v
1
+
⋯
+
0
v
m
0=0v_(1)+cdots+0v_(m) 0=0 v_{1}+\cdots+0 v_{m} 0 = 0 v 1 + ⋯ + 0 v m 其次，
span
(
v
1
,
…
,
v
m
)
span
v
1
,
…
,
v
m
span(v_(1),dots,v_(m)) \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right) span ( v 1 , … , v m ) 在加法下封闭，因为
(
a
1
v
1
+
⋯
+
a
m
v
m
)
+
(
c
1
v
1
+
⋯
+
c
m
v
m
)
=
(
a
1
+
c
1
)
v
1
+
⋯
+
(
a
m
+
c
m
)
v
m
a
1
v
1
+
⋯
+
a
m
v
m
+
c
1
v
1
+
⋯
+
c
m
v
m
=
a
1
+
c
1
v
1
+
⋯
+
a
m
+
c
m
v
m
(a_(1)v_(1)+cdots+a_(m)v_(m))+(c_(1)v_(1)+cdots+c_(m)v_(m))=(a_(1)+c_(1))v_(1)+cdots+(a_(m)+c_(m))v_(m) \left(a_{1} v_{1}+\cdots+a_{m} v_{m}\right)+\left(c_{1} v_{1}+\cdots+c_{m} v_{m}\right)=\left(a_{1}+c_{1}\right) v_{1}+\cdots+\left(a_{m}+c_{m}\right) v_{m} ( a 1 v 1 + ⋯ + a m v m ) + ( c 1 v 1 + ⋯ + c m v m ) = ( a 1 + c 1 ) v 1 + ⋯ + ( a m + c m ) v m 再次,
span
(
v
1
,
…
,
v
m
)
span
v
1
,
…
,
v
m
span(v_(1),dots,v_(m)) \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right) span ( v 1 , … , v m ) 在标量乘法下封闭，因为
λ
(
a
1
v
1
+
⋯
+
a
m
v
m
)
=
λ
a
1
v
1
+
⋯
+
λ
a
m
v
m
λ
a
1
v
1
+
⋯
+
a
m
v
m
=
λ
a
1
v
1
+
⋯
+
λ
a
m
v
m
lambda(a_(1)v_(1)+cdots+a_(m)v_(m))=lambdaa_(1)v_(1)+cdots+lambdaa_(m)v_(m) \lambda\left(a_{1} v_{1}+\cdots+a_{m} v_{m}\right)=\lambda a_{1} v_{1}+\cdots+\lambda a_{m} v_{m} λ ( a 1 v 1 + ⋯ + a m v m ) = λ a 1 v 1 + ⋯ + λ a m v m 于是
span
(
v
1
,
…
,
v
m
)
span
v
1
,
…
,
v
m
span(v_(1),dots,v_(m)) \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right) span ( v 1 , … , v m ) 是
V
V
V V V 的子空间（由于 1.34）.
每个
v
j
v
j
v_(j) v_{j} v j 都是
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m 的线性组合（为了证明这一点, 在 2.3 中令
a
j
=
1
a
j
=
1
a_(j)=1 a_{j}=1 a j = 1 并令其他
a
a
a a a 都等于 0
)
)
) ) ) 。于是
span
(
v
1
,
…
,
v
m
)
span
v
1
,
…
,
v
m
span(v_(1),dots,v_(m)) \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right) span ( v 1 , … , v m ) 包含每一个
v
j
v
j
v_(j) v_{j} v j 。反之, 由于子空间对加法和标量乘法都封闭，从而
V
V
V V V 的包含所有
v
j
v
j
v_(j) v_{j} v j 的子空间必定都包含
span
(
v
1
,
…
,
v
m
)
span
v
1
,
…
,
v
m
span(v_(1),dots,v_(m)) \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right) span ( v 1 , … , v m ) 。因此
span
(
v
1
,
…
,
v
m
)
span
v
1
,
…
,
v
m
span(v_(1),dots,v_(m)) \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right) span ( v 1 , … , v m ) 是
V
V
V V V 的包含所有向量
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m 的最小子空间.
2.8 定义 张成（spans）
若
span
(
v
1
,
…
,
v
m
)
span
v
1
,
…
,
v
m
span(v_(1),dots,v_(m)) \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right) span ( v 1 , … , v m ) 等于
V
V
V V V ，则称
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m 张成
V
V
V V V 。
2.9 例 设
n
n
n n n 是正整数. 证明
(
1
,
0
,
…
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
,
…
,
0
)
,
…
,
(
0
,
…
,
0
,
1
)
(
1
,
0
,
…
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
,
…
,
0
)
,
…
,
(
0
,
…
,
0
,
1
)
(1,0,dots,0),(0,1,0,dots,0),dots,(0,dots,0,1) (1,0, \ldots, 0),(0,1,0, \ldots, 0), \ldots,(0, \ldots, 0,1) ( 1 , 0 , … , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , … , 0 ) , … , ( 0 , … , 0 , 1 ) 张成
F
n
F
n
F^(n) \mathbf{F}^{n} F n . 上面向量组中的第
j
j
j j j 个向量是第
j
j
j j j 个元素为 1 其余元素均为 0 的
n
n
n n n 元组.
证明 设
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
F
n
x
1
,
…
,
x
n
∈
F
n
(x_(1),dots,x_(n))inF^(n) \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbf{F}^{n} ( x 1 , … , x n ) ∈ F n . 则
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
x
1
(
1
,
0
,
…
,
0
)
+
x
2
(
0
,
1
,
0
,
…
,
0
)
+
⋯
+
x
n
(
0
,
…
,
0
,
1
)
x
1
,
…
,
x
n
=
x
1
(
1
,
0
,
…
,
0
)
+
x
2
(
0
,
1
,
0
,
…
,
0
)
+
⋯
+
x
n
(
0
,
…
,
0
,
1
)
(x_(1),dots,x_(n))=x_(1)(1,0,dots,0)+x_(2)(0,1,0,dots,0)+cdots+x_(n)(0,dots,0,1) \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=x_{1}(1,0, \ldots, 0)+x_{2}(0,1,0, \ldots, 0)+\cdots+x_{n}(0, \ldots, 0,1) ( x 1 , … , x n ) = x 1 ( 1 , 0 , … , 0 ) + x 2 ( 0 , 1 , 0 , … , 0 ) + ⋯ + x n ( 0 , … , 0 , 1 ) 于是
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
span
(
(
1
,
0
,
…
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
,
…
,
0
)
,
…
,
(
0
,
…
,
0
,
1
)
)
x
1
,
…
,
x
n
∈
span
(
(
1
,
0
,
…
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
,
…
,
0
)
,
…
,
(
0
,
…
,
0
,
1
)
)
(x_(1),dots,x_(n))in span((1,0,dots,0),(0,1,0,dots,0),dots,(0,dots,0,1)) \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \operatorname{span}((1,0, \ldots, 0),(0,1,0, \ldots, 0), \ldots,(0, \ldots, 0,1)) ( x 1 , … , x n ) ∈ span ( ( 1 , 0 , … , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , … , 0 ) , … , ( 0 , … , 0 , 1 ) ) .
现在我们给出线性代数中的一个关键定义:
如果一个向量空间可以由该空间中的某个向量组张成, 则称这个向量空间是有限维的。
回想一下，根据定义，每个组都具有有限长度。
上面的例 2.9 表明对任意正整数
n
,
F
n
n
,
F
n
n,F^(n) n, \mathbf{F}^{n} n , F n 是有限维向量空间。
多项式的定义对我们来说无疑是很熟悉的.
2.11 定义 多项式（polynomial），
P
(
F
)
P
(
F
)
P(F) \mathcal{P}(\mathbf{F}) P ( F )
对于函数
p
:
F
→
F
p
:
F
→
F
p:FrarrF p: \mathbf{F} \rightarrow \mathbf{F} p : F → F
a
0
,
…
,
a
m
∈
F
a
0
,
…
,
a
m
∈
F
a_(0),dots,a_(m)inF a_{0}, \ldots, a_{m} \in \mathbf{F} a 0 , … , a m ∈ F
z
∈
F
z
∈
F
z inF z \in \mathbf{F} z ∈ F
p
(
z
)
=
a
0
+
a
1
z
+
a
2
z
2
+
⋯
+
a
m
z
m
p
(
z
)
=
a
0
+
a
1
z
+
a
2
z
2
+
⋯
+
a
m
z
m
p(z)=a_(0)+a_(1)z+a_(2)z^(2)+cdots+a_(m)z^(m) p(z)=a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\cdots+a_{m} z^{m} p ( z ) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ + a m z m 则称
p
p
p p p 为系数属于
F
F
F \mathbf{F} F 的多项式。.
P
(
F
)
P
(
F
)
P(F) \mathcal{P}(\mathbf{F}) P ( F )
F
F
F \mathbf{F} F
在通常的（多项式）加法和标量乘法下，
P
(
F
)
P
(
F
)
P(F) \mathcal{P}(\mathbf{F}) P ( F ) 是
F
F
F \mathbf{F} F 上的向量空间（请自行验证）。 也就是说，
P
(
F
)
P
(
F
)
P(F) \mathcal{P}(\mathbf{F}) P ( F ) 是
F
F
F
F
F^(F) \mathbf{F}^{\mathbf{F}} F F （
F
F
F \mathbf{F} F 到
F
F
F \mathbf{F} F 的全体函数构成的向量空间）的子空间。
如果一个多项式（视为
F
F
F \mathbf{F} F 到
F
F
F \mathbf{F} F 的函数）可用两组系数来表示，将这两个表达式相减得到一个多项式，该多项式作为
F
F
F \mathbf{F} F 上的函数是恒等于零的函数，因此该多项式的系数均为 0 （如果你不熟悉这一事实，先承认它，我们后面会给出证明：见 4.7）。结论：一个多项式的系数由该多项式唯一确定。因此，下面定义的多项式的次数是唯一确定的。
2.12 定义 多项式的次数（degree of a polynomial），
deg
p
deg
p
deg p \operatorname{deg} p deg p
对于多项式
p
∈
P
(
F
)
p
∈
P
(
F
)
p inP(F) p \in \mathcal{P}(\mathbf{F}) p ∈ P ( F )
a
0
,
a
1
,
…
,
a
m
∈
F
a
0
,
a
1
,
…
,
a
m
∈
F
a_(0),a_(1),dots,a_(m)inF a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{m} \in \mathbf{F} a 0 , a 1 , … , a m ∈ F
a
m
≠
0
a
m
≠
0
a_(m)!=0 a_{m} \neq 0 a m ≠ 0
z
∈
F
z
∈
F
z inF z \in \mathbf{F} z ∈ F
p
(
z
)
=
a
0
+
a
1
z
+
⋯
+
a
m
z
m
p
(
z
)
=
a
0
+
a
1
z
+
⋯
+
a
m
z
m
p(z)=a_(0)+a_(1)z+cdots+a_(m)z^(m) p(z)=a_{0}+a_{1} z+\cdots+a_{m} z^{m} p ( z ) = a 0 + a 1 z + ⋯ + a m z m 则说
p
p
p p p 的次数为
m
m
m m m . 若
p
p
p p p 的次数为
m
m
m m m ，则记
deg
p
=
m
deg
p
=
m
deg p=m \operatorname{deg} p=m deg p = m .
规定恒等于 0 的多项式的次数为
−
∞
−
∞
-oo -\infty − ∞
在下面的定义中，我们约定
−
∞
<
m
−
∞
<
m
-oo < m -\infty<m − ∞ < m ，这意味着恒等于 0 的多项式属于
P
m
(
F
)
P
m
(
F
)
P_(m)(F) \mathcal{P}_{m}(\mathbf{F}) P m ( F ) .
2.13 定义
P
m
(
F
)
P
m
(
F
)
P_(m)(F) \mathcal{P}_{m}(\mathbf{F}) P m ( F )
对于非负整数
m
m
m m m ，用
P
m
(
F
)
P
m
(
F
)
P_(m)(F) \mathcal{P}_{m}(\mathbf{F}) P m ( F ) 表示系数在
F
F
F \mathbf{F} F 中且次数不超过
m
m
m m m 的所有多项式构成的集合。
要验证下面的例子，只需注意到
P
m
(
F
)
=
span
(
1
,
z
,
…
,
z
m
)
P
m
(
F
)
=
span
1
,
z
,
…
,
z
m
P_(m)(F)=span(1,z,dots,z^(m)) \mathcal{P}_{m}(\mathbf{F})=\operatorname{span}\left(1, z, \ldots, z^{m}\right) P m ( F ) = span ( 1 , z , … , z m ) 。此处我们用
z
k
z
k
z^(k) z^{k} z k 表示函数，这有点滥用记号.
2.14 例 对每个非负整数
m
,
P
m
(
F
)
m
,
P
m
(
F
)
m,P_(m)(F) m, \mathcal{P}_{m}(\mathbf{F}) m , P m ( F ) 是有限维向量空间.
2.15 定义 无限维向量空间（infinite-dimensional vector space）
一个向量空间如果不是有限维的，则称为无限维的。
2.16 例 证明
P
(
F
)
P
(
F
)
P(F) \mathcal{P}(\mathbf{F}) P ( F ) 是无限维的。
证明 考虑
P
(
F
)
P
(
F
)
P(F) \mathcal{P}(\mathbf{F}) P ( F ) 中任意一组元素。记
m
m
m m m 为这组多项式的最高次数. 则这个组的张成空间中的每个多项式的次数最多为
m
m
m m m 。因此
z
m
+
1
z
m
+
1
z^(m+1) z^{m+1} z m + 1 不属于这个组的张成空间。从而没有组能够张成
P
(
F
)
P
(
F
)
P(F) \mathcal{P}(\mathbf{F}) P ( F ) 。所以
P
(
F
)
P
(
F
)
P(F) \mathcal{P}(\mathbf{F}) P ( F ) 是无限维的。
线性无关
设
v
1
,
…
,
v
m
∈
V
v
1
,
…
,
v
m
∈
V
v_(1),dots,v_(m)in V v_{1}, \ldots, v_{m} \in V v 1 , … , v m ∈ V 且
v
∈
span
(
v
1
,
…
,
v
m
)
v
∈
span
v
1
,
…
,
v
m
v in span(v_(1),dots,v_(m)) v \in \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right) v ∈ span ( v 1 , … , v m ) 。由张成空间的定义，有
a
1
,
…
,
a
m
∈
a
1
,
…
,
a
m
∈
a_(1),dots,a_(m)in a_{1}, \ldots, a_{m} \in a 1 , … , a m ∈ F 使得
v
=
a
1
v
1
+
⋯
+
a
m
v
m
v
=
a
1
v
1
+
⋯
+
a
m
v
m
v=a_(1)v_(1)+cdots+a_(m)v_(m) v=a_{1} v_{1}+\cdots+a_{m} v_{m} v = a 1 v 1 + ⋯ + a m v m 考虑上式中标量选取的唯一性问题。假设
c
1
,
…
,
c
m
c
1
,
…
,
c
m
c_(1),dots,c_(m) c_{1}, \ldots, c_{m} c 1 , … , c m 是另一组标量也使得
v
=
c
1
v
1
+
⋯
+
c
m
v
m
v
=
c
1
v
1
+
⋯
+
c
m
v
m
v=c_(1)v_(1)+cdots+c_(m)v_(m) v=c_{1} v_{1}+\cdots+c_{m} v_{m} v = c 1 v 1 + ⋯ + c m v m 两式相减得
0
=
(
a
1
−
c
1
)
v
1
+
⋯
+
(
a
m
−
c
m
)
v
m
0
=
a
1
−
c
1
v
1
+
⋯
+
a
m
−
c
m
v
m
0=(a_(1)-c_(1))v_(1)+cdots+(a_(m)-c_(m))v_(m) 0=\left(a_{1}-c_{1}\right) v_{1}+\cdots+\left(a_{m}-c_{m}\right) v_{m} 0 = ( a 1 − c 1 ) v 1 + ⋯ + ( a m − c m ) v m 于是我们把 0 写成了
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m 的线性组合。如果 0 只能用显然的方式（每个标量都取零）写成
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m 的线性组合，则每个
a
j
−
c
j
a
j
−
c
j
a_(j)-c_(j) a_{j}-c_{j} a j − c j 都等于 0 ，即每个
a
j
a
j
a_(j) a_{j} a j 都等于
c
j
c
j
c_(j) c_{j} c j （因此标量的取法确实是唯一的）。这种情况很重要，所以我们给它起一个特殊的名字 ——线性无关，这正是我们现在要定义的。
2.17 定义 线性无关（linearly independent）
V
V
V V V
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m
a
1
v
1
+
⋯
+
a
m
v
m
a
1
v
1
+
⋯
+
a
m
v
m
a_(1)v_(1)+cdots+a_(m)v_(m) a_{1} v_{1}+\cdots+a_{m} v_{m} a 1 v 1 + ⋯ + a m v m
a
1
,
…
,
a
m
∈
F
a
1
,
…
,
a
m
∈
F
a_(1),dots,a_(m)inF a_{1}, \ldots, a_{m} \in \mathbf{F} a 1 , … , a m ∈ F
a
1
=
⋯
=
a
m
=
0
a
1
=
⋯
=
a
m
=
0
a_(1)=cdots=a_(m)=0 a_{1}=\cdots=a_{m}=0 a 1 = ⋯ = a m = 0 规定空组 () 是线性无关的.
上一段的推导表明，
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m 是线性无关的当且仅当
span
(
v
1
,
…
,
v
m
)
span
v
1
,
…
,
v
m
span(v_(1),dots,v_(m)) \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right) span ( v 1 , … , v m ) 中每个向量都可以唯一地表示成
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m 的线性组合。
2.18 例 线性无关组
（a）
V
V
V V V 中一个向量
v
v
v v v 所构成的向量组
v
v
v v v 是线性无关的当且仅当
v
≠
0
v
≠
0
v!=0 v \neq 0 v ≠ 0 .
(b)
V
V
V V V 中两个向量构成的向量组线性无关当且仅当每个向量都不能写成另一个向量的标量倍。
(c)
F
4
F
4
F^(4) \mathbf{F}^{4} F 4 中的组
(
1
,
0
,
0
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
,
0
)
,
(
0
,
0
,
1
,
0
)
(
1
,
0
,
0
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
,
0
)
,
(
0
,
0
,
1
,
0
)
(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0) (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0) ( 1 , 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 , 0 ) 线性无关.
(d) 对每个非负整数
m
,
P
(
F
)
m
,
P
(
F
)
m,P(F) m, \mathcal{P}(\mathbf{F}) m , P ( F ) 中的组
1
,
z
,
…
,
z
m
1
,
z
,
…
,
z
m
1,z,dots,z^(m) 1, z, \ldots, z^{m} 1 , z , … , z m 线性无关.
一个线性无关组中去掉一些向量后, 余下的向量构成的向量组仍线性无关, 请自行验证。
2.19 定义 线性相关（linearly dependent）
V
V
V V V 也就是说,
V
V
V V V
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m
a
1
,
…
,
a
m
∈
F
a
1
,
…
,
a
m
∈
F
a_(1),dots,a_(m)inF a_{1}, \ldots, a_{m} \in \mathbf{F} a 1 , … , a m ∈ F
a
1
v
1
+
⋯
+
a
m
v
m
=
0
a
1
v
1
+
⋯
+
a
m
v
m
=
0
a_(1)v_(1)+cdots+a_(m)v_(m)=0 a_{1} v_{1}+\cdots+a_{m} v_{m}=0 a 1 v 1 + ⋯ + a m v m = 0
2.20 例 线性相关组
F
3
F
3
F^(3) \mathbf{F}^{3} F 3
(
2
,
3
,
1
)
,
(
1
,
−
1
,
2
)
,
(
7
,
3
,
8
)
(
2
,
3
,
1
)
,
(
1
,
−
1
,
2
)
,
(
7
,
3
,
8
)
(2,3,1),(1,-1,2),(7,3,8) (2,3,1),(1,-1,2),(7,3,8) ( 2 , 3 , 1 ) , ( 1 , − 1 , 2 ) , ( 7 , 3 , 8 )
2
(
2
,
3
,
1
)
+
3
(
1
,
−
1
,
2
)
+
(
−
1
)
(
7
,
3
,
8
)
=
(
0
,
0
,
0
)
2
(
2
,
3
,
1
)
+
3
(
1
,
−
1
,
2
)
+
(
−
1
)
(
7
,
3
,
8
)
=
(
0
,
0
,
0
)
2(2,3,1)+3(1,-1,2)+(-1)(7,3,8)=(0,0,0) 2(2,3,1)+3(1,-1,2)+(-1)(7,3,8)=(0,0,0) 2 ( 2 , 3 , 1 ) + 3 ( 1 , − 1 , 2 ) + ( − 1 ) ( 7 , 3 , 8 ) = ( 0 , 0 , 0 )
请验证,
F
3
F
3
F^(3) \mathbf{F}^{3} F 3
(
2
,
3
,
1
)
,
(
1
,
−
1
,
2
)
,
(
7
,
3
,
c
)
(
2
,
3
,
1
)
,
(
1
,
−
1
,
2
)
,
(
7
,
3
,
c
)
(2,3,1),(1,-1,2),(7,3,c) (2,3,1),(1,-1,2),(7,3, c) ( 2 , 3 , 1 ) , ( 1 , − 1 , 2 ) , ( 7 , 3 , c )
c
=
8
c
=
8
c=8 c=8 c = 8
若
V
V
V V V
包含 0 向量的向量组线性相关. (这是前一条的特殊情形.)
下面的引理以后会经常用到. 它是说, 给定一组线性相关的向量, 那么其中必有一个向量包含于它前面诸向量的张成空间，进而我们可以扔掉这个向量而不改变原来这组向量的张成空间。
2.21 线性相关性引理
设
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m 是
V
V
V V V 中的一个线性相关的向量组. 则有
j
∈
{
1
,
2
,
…
,
m
}
j
∈
{
1
,
2
,
…
,
m
}
j in{1,2,dots,m} j \in\{1,2, \ldots, m\} j ∈ { 1 , 2 , … , m } 使得:
(a)
v
j
∈
span
(
v
1
,
…
,
v
j
−
1
)
v
j
∈
span
v
1
,
…
,
v
j
−
1
v_(j)in span(v_(1),dots,v_(j-1)) v_{j} \in \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{j-1}\right) v j ∈ span ( v 1 , … , v j − 1 ) ;
(b) 若从
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m 中去掉第
j
j
j j j 项，则剩余组的张成空间等于
span
(
v
1
,
…
,
v
m
)
span
v
1
,
…
,
v
m
span(v_(1),dots,v_(m)) \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right) span ( v 1 , … , v m ) .
证明 由于向量组
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m 线性相关，存在不全为 0 的数
a
1
,
…
,
a
m
∈
F
a
1
,
…
,
a
m
∈
F
a_(1),dots,a_(m)inF a_{1}, \ldots, a_{m} \in \mathbf{F} a 1 , … , a m ∈ F 使得
a
1
v
1
+
⋯
+
a
m
v
m
=
0
a
1
v
1
+
⋯
+
a
m
v
m
=
0
a_(1)v_(1)+cdots+a_(m)v_(m)=0 a_{1} v_{1}+\cdots+a_{m} v_{m}=0 a 1 v 1 + ⋯ + a m v m = 0 设
j
j
j j j 是
{
1
,
…
,
m
}
{
1
,
…
,
m
}
{1,dots,m} \{1, \ldots, m\} { 1 , … , m } 中使得
a
j
≠
0
a
j
≠
0
a_(j)!=0 a_{j} \neq 0 a j ≠ 0 的最大者，则
2.22
v
j
=
−
a
1
a
j
v
1
−
⋯
−
a
j
−
1
a
j
v
j
−
1
,
v
j
=
−
a
1
a
j
v
1
−
⋯
−
a
j
−
1
a
j
v
j
−
1
,
v_(j)=-(a_(1))/(a_(j))v_(1)-cdots-(a_(j-1))/(a_(j))v_(j-1), v_{j}=-\frac{a_{1}}{a_{j}} v_{1}-\cdots-\frac{a_{j-1}}{a_{j}} v_{j-1}, v j = − a 1 a j v 1 − ⋯ − a j − 1 a j v j − 1 , 这样就证明了 (a).
为了证明 (b), 设
u
∈
span
(
v
1
,
…
,
v
m
)
u
∈
span
v
1
,
…
,
v
m
u in span(v_(1),dots,v_(m)) u \in \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right) u ∈ span ( v 1 , … , v m ) . 则存在
c
1
,
…
,
c
m
∈
F
c
1
,
…
,
c
m
∈
F
c_(1),dots,c_(m)inF c_{1}, \ldots, c_{m} \in \mathbf{F} c 1 , … , c m ∈ F 使得
u
=
c
1
v
1
+
⋯
+
c
m
v
m
u
=
c
1
v
1
+
⋯
+
c
m
v
m
u=c_(1)v_(1)+cdots+c_(m)v_(m) u=c_{1} v_{1}+\cdots+c_{m} v_{m} u = c 1 v 1 + ⋯ + c m v m 把 2.22 代入上式可知，
u
u
u u u 包含于从
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m 中去掉第
j
j
j j j 项所得到的组的张成空间.因此 (b) 成立。
在线性相关性引理中取
j
=
1
j
=
1
j=1 j=1 j = 1 , 则有
v
1
=
0
v
1
=
0
v_(1)=0 v_{1}=0 v 1 = 0 , 因为若
j
=
1
j
=
1
j=1 j=1 j = 1 则条件 (a) 应理解成
v
1
∈
span
(
)
v
1
∈
span
(
)
v_(1)in span() v_{1} \in \operatorname{span}() v 1 ∈ span ( ) （回想一下，
span
(
)
=
{
0
}
span
(
)
=
{
0
}
span()={0} \operatorname{span}()=\{0\} span ( ) = { 0 } ）。还要注意, 若
v
1
=
0
v
1
=
0
v_(1)=0 v_{1}=0 v 1 = 0 且
j
=
1
j
=
1
j=1 j=1 j = 1 , 则 (b) 的证明需要做一些显而易见的改动。
一般情况下, 在本书后面的证明中我们将不再强调一些特殊情形, 尽管这些特殊情形是必须要想到的, 包括空组、长度为 1 的组、子空间
{
0
}
{
0
}
{0} \{0\} { 0 } 或其他一些平凡的情形。在这些特殊情形下结果往往明显是正确的，只是证明稍有不同。请务必自己验证一下这些特殊情形。
现在来看一个重要的结果: 线性无关组的长度一定不会大于张成组的长度.
2.23 线性无关组的长度
≤
≤
<= \leq ≤
在有限维向量空间中，线性无关向量组的长度小于等于向量空间的每一个张成组的长度。
证明 设
u
1
,
…
,
u
m
u
1
,
…
,
u
m
u_(1),dots,u_(m) u_{1}, \ldots, u_{m} u 1 , … , u m 在
V
V
V V V 中是线性无关的，并设
w
1
,
…
,
w
n
w
1
,
…
,
w
n
w_(1),dots,w_(n) w_{1}, \ldots, w_{n} w 1 , … , w n 张成
V
V
V V V 。我们需要证明
m
≤
n
m
≤
n
m <= n m \leq n m ≤ n . 我们通过以下步骤来证明. 注意每一步都添加了某个
u
u
u u u , 而去掉了某个
w
w
w w w .
第 1 步
设
B
B
B B B 表示
V
V
V V V 的张成组
w
1
,
…
,
w
n
w
1
,
…
,
w
n
w_(1),dots,w_(n) w_{1}, \ldots, w_{n} w 1 , … , w n . 则在该组上再添加任何向量都会得到一个线性相关组 (因为新添加的向量可以写成该向量组的线性组合)。特别地, 组
u
1
,
w
1
,
…
,
w
n
u
1
,
w
1
,
…
,
w
n
u_(1),w_(1),dots,w_(n) u_{1}, w_{1}, \ldots, w_{n} u 1 , w 1 , … , w n 是线性相关的. 因此利用线性相关性引理 2.21，我们可以去掉某个
w
w
w w w 而使得由
u
1
u
1
u_(1) u_{1} u 1 和余下的那些
w
w
w w w 构成的新组
B
B
B B B （长度为
n
n
n n n ）张成
V
V
V V V 。
第
j
j
j \mathbf{j} j
第
j
−
1
j
−
1
j-1 j-1 j − 1 步中的组
B
B
B B B （长度为
n
n
n n n ）张成
V
V
V V V ，从而再添加任何向量都会得到一个线性相关组. 特别地, 在
B
B
B B B 中添加
u
j
u
j
u_(j) u_{j} u j 于
u
1
,
…
,
u
j
−
1
u
1
,
…
,
u
j
−
1
u_(1),dots,u_(j-1) u_{1}, \ldots, u_{j-1} u 1 , … , u j − 1 之后, 那么所得组的长度为
(
n
+
1
)
(
n
+
1
)
(n+1) (n+1) ( n + 1 ) ，所以是线性相关的. 利用线性相关性引理 2.21 ，该组中有一个向量包含于它前面向量的张成空间，又因为
u
1
,
…
,
u
j
u
1
,
…
,
u
j
u_(1),dots,u_(j) u_{1}, \ldots, u_{j} u 1 , … , u j 是线性无关的，所以这个向量一定是某个
w
w
w w w ，而不是某个
u
u
u u u 。我们可以从
B
B
B B B 中去掉这个
w
w
w w w ，那么由
u
1
,
…
,
u
j
u
1
,
…
,
u
j
u_(1),dots,u_(j) u_{1}, \ldots, u_{j} u 1 , … , u j 和余下的那些
w
w
w w w 构成的新组
B
B
B B B （长度为
n
n
n n n ）仍张成
V
V
V V V 。
经过
m
m
m m m 步, 我们已经添加了所有的
u
u
u u u , 程序结束. 每一步, 我们在
B
B
B B B 中添加了某个
u
u
u u u ，而线性相关性引理意味着可以去掉某个
w
w
w w w 。因此诸
w
w
w w w 至少和诸
u
u
u u u 一样多。
下面两个例子告诉我们如何使用上面的结果来证明（不需要具体计算），某些组不是线性无关的以及某些组不能张成给定的向量空间。
2.24 例 证明组
(
1
,
2
,
3
)
,
(
4
,
5
,
8
)
,
(
9
,
6
,
7
)
,
(
−
3
,
2
,
8
)
(
1
,
2
,
3
)
,
(
4
,
5
,
8
)
,
(
9
,
6
,
7
)
,
(
−
3
,
2
,
8
)
(1,2,3),(4,5,8),(9,6,7),(-3,2,8) (1,2,3),(4,5,8),(9,6,7),(-3,2,8) ( 1 , 2 , 3 ) , ( 4 , 5 , 8 ) , ( 9 , 6 , 7 ) , ( − 3 , 2 , 8 ) 在
R
3
R
3
R^(3) \mathbf{R}^{3} R 3 中不是线性无关的.
证明 组
(
1
,
0
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
)
,
(
0
,
0
,
1
)
(
1
,
0
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
)
,
(
0
,
0
,
1
)
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) 张成
R
3
R
3
R^(3) \mathbf{R}^{3} R 3 . 所以
R
3
R
3
R^(3) \mathbf{R}^{3} R 3 中不存在长度大于 3 的线性无关组。
2.25 例 证明组
(
1
,
2
,
3
,
−
5
)
,
(
4
,
5
,
8
,
3
)
,
(
9
,
6
,
7
,
−
1
)
(
1
,
2
,
3
,
−
5
)
,
(
4
,
5
,
8
,
3
)
,
(
9
,
6
,
7
,
−
1
)
(1,2,3,-5),(4,5,8,3),(9,6,7,-1) (1,2,3,-5),(4,5,8,3),(9,6,7,-1) ( 1 , 2 , 3 , − 5 ) , ( 4 , 5 , 8 , 3 ) , ( 9 , 6 , 7 , − 1 ) 不能张成
R
4
R
4
R^(4) \mathbf{R}^{4} R 4 .
证明 组
(
1
,
0
,
0
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
,
0
)
,
(
0
,
0
,
1
,
0
)
,
(
0
,
0
,
0
,
1
)
(
1
,
0
,
0
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
,
0
)
,
(
0
,
0
,
1
,
0
)
,
(
0
,
0
,
0
,
1
)
(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1) (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1) ( 1 , 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 , 1 ) 在
R
4
R
4
R^(4) \mathbf{R}^{4} R 4 中是线性无关的. 所以长度小于 4 的组不能张成
R
4
R
4
R^(4) \mathbf{R}^{4} R 4 。
直觉告诉我们，有限维向量空间的任何子空间一定也是有限维的. 现在来证明这种直觉是对的。
2.26 有限维子空间
有限维向量空间的子空间都是有限维的。
证明 设
V
V
V V V 是有限维向量空间，
U
U
U U U 是
V
V
V V V 的子空间。只需证明
U
U
U U U 是有限维的. 我们通过以下步骤来证明。
第 1 步
若
U
=
{
0
}
U
=
{
0
}
U={0} U=\{0\} U = { 0 } ，则
U
U
U U U 是有限维的，得证. 若
U
≠
{
0
}
U
≠
{
0
}
U!={0} U \neq\{0\} U ≠ { 0 } ，则取非零向量
v
1
∈
U
v
1
∈
U
v_(1)in U v_{1} \in U v 1 ∈ U .
第
j
j
j \mathbf{j} j
若
U
=
span
(
v
1
,
…
,
v
j
−
1
)
U
=
span
v
1
,
…
,
v
j
−
1
U=span(v_(1),dots,v_(j-1)) U=\operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{j-1}\right) U = span ( v 1 , … , v j − 1 ) , 则
U
U
U U U 是有限维的, 得证. 若
U
≠
span
(
v
1
,
…
,
v
j
−
1
)
U
≠
span
v
1
,
…
,
v
j
−
1
U!=span(v_(1),dots,v_(j-1)) U \neq \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{j-1}\right) U ≠ span ( v 1 , … , v j − 1 ) ,则取一个向量
v
j
∈
U
v
j
∈
U
v_(j)in U v_{j} \in U v j ∈ U 使得
v
j
∉
span
(
v
1
,
…
,
v
j
−
1
)
v
j
∉
span
v
1
,
…
,
v
j
−
1
v_(j)!in span(v_(1),dots,v_(j-1)) v_{j} \notin \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{j-1}\right) v j ∉ span ( v 1 , … , v j − 1 ) .
经过每一步, 只要这个程序还在继续, 我们都构造了一个向量组, 使得其中每一个向量都不在它前面向量的张成空间中。因此，由线性相关性引理2.21，每一步我们都构造了一个线性无关组。这一线性无关组不能比
V
V
V V V 的任何张成组长（由于 2.23）。因此这个程序最终一定会停止，这表明
U
U
U U U 是有限维的。
习题 2.A
1 设
v
1
,
v
2
,
v
3
,
v
4
v
1
,
v
2
,
v
3
,
v
4
v_(1),v_(2),v_(3),v_(4) v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} v 1 , v 2 , v 3 , v 4 张成
V
V
V V V 。证明组
v
1
−
v
2
,
v
2
−
v
3
,
v
3
−
v
4
,
v
4
v
1
−
v
2
,
v
2
−
v
3
,
v
3
−
v
4
,
v
4
v_(1)-v_(2),v_(2)-v_(3),v_(3)-v_(4),v_(4) v_{1}-v_{2}, v_{2}-v_{3}, v_{3}-v_{4}, v_{4} v 1 − v 2 , v 2 − v 3 , v 3 − v 4 , v 4 也张成
V
V
V V V .
2 证明例 2.18 的结论。
3 求数
t
t
t t t 使得
(
3
,
1
,
4
)
,
(
2
,
−
3
,
5
)
,
(
5
,
9
,
t
)
(
3
,
1
,
4
)
,
(
2
,
−
3
,
5
)
,
(
5
,
9
,
t
)
(3,1,4),(2,-3,5),(5,9,t) (3,1,4),(2,-3,5),(5,9, t) ( 3 , 1 , 4 ) , ( 2 , − 3 , 5 ) , ( 5 , 9 , t ) 在
R
3
R
3
R^(3) \mathbf{R}^{3} R 3 中不是线性无关的.
4 证明例 2.20 的第 2 条结论。
5 (a) 证明：若将
C
C
C \mathbf{C} C 视为
R
R
R \mathbf{R} R 上的向量空间，则组
1
+
i
,
1
−
i
1
+
i
,
1
−
i
1+i,1-i 1+i, 1-i 1 + i , 1 − i 是线性无关的.
(b) 证明：若将
C
C
C \mathbf{C} C 视为
C
C
C \mathbf{C} C 上的向量空间，则组
1
+
i
,
1
−
i
1
+
i
,
1
−
i
1+i,1-i 1+i, 1-i 1 + i , 1 − i 是线性相关的。
6 设
v
1
,
v
2
,
v
3
,
v
4
v
1
,
v
2
,
v
3
,
v
4
v_(1),v_(2),v_(3),v_(4) v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} v 1 , v 2 , v 3 , v 4 在
V
V
V V V 中是线性无关的。证明组
v
1
−
v
2
,
v
2
−
v
3
,
v
3
−
v
4
,
v
4
v
1
−
v
2
,
v
2
−
v
3
,
v
3
−
v
4
,
v
4
v_(1)-v_(2),v_(2)-v_(3),v_(3)-v_(4),v_(4) v_{1}-v_{2}, v_{2}-v_{3}, v_{3}-v_{4}, v_{4} v 1 − v 2 , v 2 − v 3 , v 3 − v 4 , v 4 也是线性无关的。
7 证明或给出反例：若
v
1
,
v
2
,
…
,
v
m
v
1
,
v
2
,
…
,
v
m
v_(1),v_(2),dots,v_(m) v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{m} v 1 , v 2 , … , v m 在
V
V
V V V 中线性无关，则
5
v
1
−
4
v
2
,
v
2
,
v
3
,
…
,
v
m
5
v
1
−
4
v
2
,
v
2
,
v
3
,
…
,
v
m
5v_(1)-4v_(2),v_(2),v_(3),dots,v_(m) 5 v_{1}-4 v_{2}, v_{2}, v_{3}, \ldots, v_{m} 5 v 1 − 4 v 2 , v 2 , v 3 , … , v m 是线性无关的。
8 证明或给出反例：设
v
1
,
v
2
,
…
,
v
m
v
1
,
v
2
,
…
,
v
m
v_(1),v_(2),dots,v_(m) v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{m} v 1 , v 2 , … , v m 在
V
V
V V V 中线性无关，并设
λ
∈
F
λ
∈
F
lambda inF \lambda \in \mathbf{F} λ ∈ F 且
λ
≠
0
λ
≠
0
lambda!=0 \lambda \neq 0 λ ≠ 0 ，则
λ
v
1
,
λ
v
2
,
…
,
λ
v
m
λ
v
1
,
λ
v
2
,
…
,
λ
v
m
lambdav_(1),lambdav_(2),dots,lambdav_(m) \lambda v_{1}, \lambda v_{2}, \ldots, \lambda v_{m} λ v 1 , λ v 2 , … , λ v m 是线性无关的。
9 证明或给出反例：若
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m 和
w
1
,
…
,
w
m
w
1
,
…
,
w
m
w_(1),dots,w_(m) w_{1}, \ldots, w_{m} w 1 , … , w m 都是
V
V
V V V 中的线性无关组, 则
v
1
+
w
1
,
…
,
v
m
+
w
m
v
1
+
w
1
,
…
,
v
m
+
w
m
v_(1)+w_(1),dots,v_(m)+w_(m) v_{1}+w_{1}, \ldots, v_{m}+w_{m} v 1 + w 1 , … , v m + w m 是线性无关的。
10 设
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m 在
V
V
V V V 中线性无关，并设
w
∈
V
w
∈
V
w in V w \in V w ∈ V 。证明：若
v
1
+
w
,
…
,
v
m
+
w
v
1
+
w
,
…
,
v
m
+
w
v_(1)+w,dots,v_(m)+w v_{1}+w, \ldots, v_{m}+w v 1 + w , … , v m + w 线性相关，则
w
∈
span
(
v
1
,
…
,
v
m
)
w
∈
span
v
1
,
…
,
v
m
w in span(v_(1),dots,v_(m)) w \in \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right) w ∈ span ( v 1 , … , v m ) 。
11 设
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m 在
V
V
V V V 中线性无关，并设
w
∈
V
w
∈
V
w in V w \in V w ∈ V 。证明:
v
1
,
…
,
v
m
,
w
v
1
,
…
,
v
m
,
w
v_(1),dots,v_(m),w v_{1}, \ldots, v_{m}, w v 1 , … , v m , w 线性无关当且仅当
w
∉
span
(
v
1
,
…
,
v
m
)
w
∉
span
v
1
,
…
,
v
m
w!in span(v_(1),dots,v_(m)) w \notin \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right) w ∉ span ( v 1 , … , v m ) 。
12 说明为什么在
P
4
(
F
)
P
4
(
F
)
P_(4)(F) \mathcal{P}_{4}(\mathbf{F}) P 4 ( F ) 中不存在由 6 个多项式构成的线性无关组.
13 说明为什么 4 个多项式构成的组不能张成
P
4
(
F
)
P
4
(
F
)
P_(4)(F) \mathcal{P}_{4}(\mathbf{F}) P 4 ( F ) .
14 证明：
V
V
V V V 是无限维的当且仅当
V
V
V V V 中存在一个向量序列
v
1
,
v
2
,
…
v
1
,
v
2
,
…
v_(1),v_(2),dots v_{1}, v_{2}, \ldots v 1 , v 2 , … 使得当
m
m
m m m 是任意正整数时
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m 都是线性无关的。
15 证明
F
∞
F
∞
F^(oo) \mathrm{F}^{\infty} F ∞ 是无限维的。
16 证明区间
[
0
,
1
]
[
0
,
1
]
[0,1] [0,1] [ 0 , 1 ] 上的所有实值连续函数构成的实向量空间是无限维的.
17 设
p
0
,
p
1
,
…
,
p
m
p
0
,
p
1
,
…
,
p
m
p_(0),p_(1),dots,p_(m) p_{0}, p_{1}, \ldots, p_{m} p 0 , p 1 , … , p m 是
P
m
(
F
)
P
m
(
F
)
P_(m)(F) \mathcal{P}_{m}(\mathbf{F}) P m ( F ) 中的多项式使得对每个
j
j
j j j 都有
p
j
(
2
)
=
0
p
j
(
2
)
=
0
p_(j)(2)=0 p_{j}(2)=0 p j ( 2 ) = 0 . 证明
p
0
,
p
1
,
…
,
p
m
p
0
,
p
1
,
…
,
p
m
p_(0),p_(1),dots,p_(m) p_{0}, p_{1}, \ldots, p_{m} p 0 , p 1 , … , p m 在
P
m
(
F
)
P
m
(
F
)
P_(m)(F) \mathcal{P}_{m}(\mathbf{F}) P m ( F ) 中不是线性无关的。
2.B 基
上一节讨论了线性无关组和张成组. 现在我们将这两个概念结合在一起.
若
V
V
V V V 中的一个向量组既线性无关又张成
V
V
V V V ，则称为
V
V
V V V 的基.
2.28 例 基
(a) 组
(
1
,
0
,
…
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
,
…
,
0
)
,
…
,
(
0
,
…
,
0
,
1
)
(
1
,
0
,
…
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
,
…
,
0
)
,
…
,
(
0
,
…
,
0
,
1
)
(1,0,dots,0),(0,1,0,dots,0),dots,(0,dots,0,1) (1,0, \ldots, 0),(0,1,0, \ldots, 0), \ldots,(0, \ldots, 0,1) ( 1 , 0 , … , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , … , 0 ) , … , ( 0 , … , 0 , 1 ) 是
F
n
F
n
F^(n) \mathbf{F}^{n} F n 的基，称为
F
n
F
n
F^(n) \mathbf{F}^{n} F n 的标准基。
(b) 组
(
1
,
2
)
,
(
3
,
5
)
(
1
,
2
)
,
(
3
,
5
)
(1,2),(3,5) (1,2),(3,5) ( 1 , 2 ) , ( 3 , 5 ) 是
F
2
F
2
F^(2) \mathbf{F}^{2} F 2 的基.
(c) 组
(
1
,
2
,
−
4
)
,
(
7
,
−
5
,
6
)
(
1
,
2
,
−
4
)
,
(
7
,
−
5
,
6
)
(1,2,-4),(7,-5,6) (1,2,-4),(7,-5,6) ( 1 , 2 , − 4 ) , ( 7 , − 5 , 6 ) 在
F
3
F
3
F^(3) \mathbf{F}^{3} F 3 中线性无关, 但不是
F
3
F
3
F^(3) \mathbf{F}^{3} F 3 的基, 因为它不能张成
F
3
F
3
F^(3) \mathbf{F}^{3} F 3 .
(d) 组
(
1
,
2
)
,
(
3
,
5
)
,
(
4
,
13
)
(
1
,
2
)
,
(
3
,
5
)
,
(
4
,
13
)
(1,2),(3,5),(4,13) (1,2),(3,5),(4,13) ( 1 , 2 ) , ( 3 , 5 ) , ( 4 , 13 ) 张成
F
2
F
2
F^(2) \mathbf{F}^{2} F 2 ，但不是
F
2
F
2
F^(2) \mathbf{F}^{2} F 2 的基，因为它不是线性无关的.
(e) 组
(
1
,
1
,
0
)
,
(
0
,
0
,
1
)
(
1
,
1
,
0
)
,
(
0
,
0
,
1
)
(1,1,0),(0,0,1) (1,1,0),(0,0,1) ( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) 是
{
(
x
,
x
,
y
)
∈
F
3
:
x
,
y
∈
F
}
(
x
,
x
,
y
)
∈
F
3
:
x
,
y
∈
F
{(x,x,y)inF^(3):x,y inF} \left\{(x, x, y) \in \mathbf{F}^{3}: x, y \in \mathbf{F}\right\} { ( x , x , y ) ∈ F 3 : x , y ∈ F } 的基.
(f) 组
(
1
,
−
1
,
0
)
,
(
1
,
0
,
−
1
)
(
1
,
−
1
,
0
)
,
(
1
,
0
,
−
1
)
(1,-1,0),(1,0,-1) (1,-1,0),(1,0,-1) ( 1 , − 1 , 0 ) , ( 1 , 0 , − 1 ) 是
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
F
3
:
x
+
y
+
z
=
0
}
(
x
,
y
,
z
)
∈
F
3
:
x
+
y
+
z
=
0
{(x,y,z)inF^(3):x+y+z=0} \left\{(x, y, z) \in \mathbf{F}^{3}: x+y+z=0\right\} { ( x , y , z ) ∈ F 3 : x + y + z = 0 } 的基.
（g）组
1
,
z
,
…
,
z
m
1
,
z
,
…
,
z
m
1,z,dots,z^(m) 1, z, \ldots, z^{m} 1 , z , … , z m 是
P
m
(
F
)
P
m
(
F
)
P_(m)(F) \mathcal{P}_{m}(\mathbf{F}) P m ( F ) 的基。
F
n
F
n
F^(n) \mathbf{F}^{n} F n 还有许多标准基以外的基. 例如（7, 5), (-4,9) 和
(
1
,
2
)
,
(
3
,
5
)
(
1
,
2
)
,
(
3
,
5
)
(1,2),(3,5) (1,2),(3,5) ( 1 , 2 ) , ( 3 , 5 ) 都是
F
2
F
2
F^(2) \mathbf{F}^{2} F 2 的基.
以下命题说明了为什么基非常有用。回想一下"唯一"是指"只能用一种方式"。
2.29 基的判定准则
V
V
V V V 中的向量组
v
1
,
…
,
v
n
v
1
,
…
,
v
n
v_(1),dots,v_(n) v_{1}, \ldots, v_{n} v 1 , … , v n 是
V
V
V V V 的基当且仅当每个
v
∈
V
v
∈
V
v in V v \in V v ∈ V 都能唯一地写成以下形式
2.30
v
=
a
1
v
1
+
⋯
+
a
n
v
n
v
=
a
1
v
1
+
⋯
+
a
n
v
n
v=a_(1)v_(1)+cdots+a_(n)v_(n) v=a_{1} v_{1}+\cdots+a_{n} v_{n} v = a 1 v 1 + ⋯ + a n v n 其中
a
1
,
…
,
a
n
∈
F
a
1
,
…
,
a
n
∈
F
a_(1),dots,a_(n)inF a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbf{F} a 1 , … , a n ∈ F .
这个证明本质上重复了我们定义线性无关性时所采用的思想。
的，设标量
c
1
,
…
,
c
n
c
1
,
…
,
c
n
c_(1),dots,c_(n) c_{1}, \ldots, c_{n} c 1 , … , c n 使得
证明 设
v
1
,
…
,
v
n
v
1
,
…
,
v
n
v_(1),dots,v_(n) v_{1}, \ldots, v_{n} v 1 , … , v n 是
V
V
V V V 的基，并设
v
∈
V
v
∈
V
v in V v \in V v ∈ V 。因为
v
1
,
…
,
v
n
v
1
,
…
,
v
n
v_(1),dots,v_(n) v_{1}, \ldots, v_{n} v 1 , … , v n 张成
V
V
V V V ，所以存在
a
1
,
…
,
a
n
∈
F
a
1
,
…
,
a
n
∈
F
a_(1),dots,a_(n)inF a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbf{F} a 1 , … , a n ∈ F 使得 2.30 成立. 为证明 2.30 中的表示是唯一
v
=
c
1
v
1
+
⋯
+
c
n
v
n
v
=
c
1
v
1
+
⋯
+
c
n
v
n
v=c_(1)v_(1)+cdots+c_(n)v_(n) v=c_{1} v_{1}+\cdots+c_{n} v_{n} v = c 1 v 1 + ⋯ + c n v n 用 2.30 减上式可得
0
=
(
a
1
−
c
1
)
v
1
+
⋯
+
(
a
n
−
c
n
)
v
n
0
=
a
1
−
c
1
v
1
+
⋯
+
a
n
−
c
n
v
n
0=(a_(1)-c_(1))v_(1)+cdots+(a_(n)-c_(n))v_(n) 0=\left(a_{1}-c_{1}\right) v_{1}+\cdots+\left(a_{n}-c_{n}\right) v_{n} 0 = ( a 1 − c 1 ) v 1 + ⋯ + ( a n − c n ) v n 这说明每个
a
j
−
c
j
=
0
a
j
−
c
j
=
0
a_(j)-c_(j)=0 a_{j}-c_{j}=0 a j − c j = 0 （因为
v
1
,
…
,
v
n
v
1
,
…
,
v
n
v_(1),dots,v_(n) v_{1}, \ldots, v_{n} v 1 , … , v n 线性无关），因此
a
1
=
c
1
,
…
,
a
n
=
c
n
a
1
=
c
1
,
…
,
a
n
=
c
n
a_(1)=c_(1),dots,a_(n)=c_(n) a_{1}=c_{1}, \ldots, a_{n}=c_{n} a 1 = c 1 , … , a n = c n 。这就证明了唯一性, 完成证明的一个方面.
要证明另一方面, 设每个
v
∈
V
v
∈
V
v in V v \in V v ∈ V 都可以唯一地写成 2.30 的形式. 显然, 这说明
v
1
,
…
,
v
n
v
1
,
…
,
v
n
v_(1),dots,v_(n) v_{1}, \ldots, v_{n} v 1 , … , v n 张成
V
V
V V V 。要证明
v
1
,
…
,
v
n
v
1
,
…
,
v
n
v_(1),dots,v_(n) v_{1}, \ldots, v_{n} v 1 , … , v n 线性无关，设
a
1
,
…
,
a
n
∈
F
a
1
,
…
,
a
n
∈
F
a_(1),dots,a_(n)inF a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbf{F} a 1 , … , a n ∈ F 使得
0
=
a
1
v
1
+
⋯
+
a
n
v
n
0
=
a
1
v
1
+
⋯
+
a
n
v
n
0=a_(1)v_(1)+cdots+a_(n)v_(n) 0=a_{1} v_{1}+\cdots+a_{n} v_{n} 0 = a 1 v 1 + ⋯ + a n v n 由2.30中（取
v
=
0
v
=
0
v=0 v=0 v = 0 ）表示的唯一性可得
a
1
=
⋯
=
a
n
=
0
a
1
=
⋯
=
a
n
=
0
a_(1)=cdots=a_(n)=0 a_{1}=\cdots=a_{n}=0 a 1 = ⋯ = a n = 0 。因此
v
1
,
…
,
v
n
v
1
,
…
,
v
n
v_(1),dots,v_(n) v_{1}, \ldots, v_{n} v 1 , … , v n 线性无关，从而是
V
V
V V V 的基。
向量空间的张成组不一定是基，因为它可能不是线性无关的。下面的命题表明：任给一个张成组，可以去掉其中的一些向量使得剩余组是线性无关的并且仍张成这个向量空间。
例如在向量空间
F
2
F
2
F^(2) \mathbf{F}^{2} F 2 中，如果将下面的证明过程应用于组
(
1
,
2
)
,
(
3
,
6
)
,
(
4
,
7
)
(
1
,
2
)
,
(
3
,
6
)
,
(
4
,
7
)
(1,2),(3,6),(4,7) (1,2),(3,6),(4,7) ( 1 , 2 ) , ( 3 , 6 ) , ( 4 , 7 ) ,
(
5
,
9
)
(
5
,
9
)
(5,9) (5,9) ( 5 , 9 ) , 则第二个和第四个向量将被去掉, 剩下的
(
1
,
2
)
,
(
4
,
7
)
(
1
,
2
)
,
(
4
,
7
)
(1,2),(4,7) (1,2),(4,7) ( 1 , 2 ) , ( 4 , 7 ) 构成了
F
2
F
2
F^(2) \mathbf{F}^{2} F 2 的一个基.
2.31 张成组含有基
在向量空间中，每个张成组都可以化简成一个基.
证明 设
v
1
,
…
,
v
n
v
1
,
…
,
v
n
v_(1),dots,v_(n) v_{1}, \ldots, v_{n} v 1 , … , v n 张成
V
V
V V V ，我们要从
v
1
,
…
,
v
n
v
1
,
…
,
v
n
v_(1),dots,v_(n) v_{1}, \ldots, v_{n} v 1 , … , v n 中去掉一些向量使得其余向量构成
V
V
V V V 的基。我们通过以下步骤来完成证明。暂用
B
B
B B B 表示组
v
1
,
…
,
v
n
v
1
,
…
,
v
n
v_(1),dots,v_(n) v_{1}, \ldots, v_{n} v 1 , … , v n ，现在就从
B
B
B B B 开始。
第 1 步
若
v
1
=
0
v
1
=
0
v_(1)=0 v_{1}=0 v 1 = 0 , 则从
B
B
B B B 中去掉
v
1
v
1
v_(1) v_{1} v 1 . 若
v
1
≠
0
v
1
≠
0
v_(1)!=0 v_{1} \neq 0 v 1 ≠ 0 , 则保持
B
B
B B B 不变.
第
j
j
j \mathbf{j} j
若
v
j
∈
span
(
v
1
,
…
,
v
j
−
1
)
v
j
∈
span
v
1
,
…
,
v
j
−
1
v_(j)in span(v_(1),dots,v_(j-1)) v_{j} \in \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{j-1}\right) v j ∈ span ( v 1 , … , v j − 1 ) ，则从
B
B
B B B 中去掉
v
j
v
j
v_(j) v_{j} v j .
若
v
j
∉
span
(
v
1
,
…
,
v
j
−
1
)
v
j
∉
span
v
1
,
…
,
v
j
−
1
v_(j)!in span(v_(1),dots,v_(j-1)) v_{j} \notin \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{j-1}\right) v j ∉ span ( v 1 , … , v j − 1 ) ，则保持
B
B
B B B 不变。
经过
n
n
n n n 步以后程序终止，得到一个组，仍用
B
B
B B B 表示。因为最初的组张成
V
V
V V V ，而去掉的向量都已经包含于其前面诸向量的张成空间，所以这个新组
B
B
B B B 也张成
V
V
V V V 。这一程序确保
B
B
B B B 中向量都不包含于它前面诸向量的张成空间。由线性相关性引理 2.21 可知
B
B
B B B 是线性无关的。于是
B
B
B B B 是
V
V
V V V 的一个基。
下面的命题是上述命题的简单推论，它说明每个有限维向量空间都有基.
2.32 有限维向量空间的基
每个有限维向量空间都有基.
在某种意义上说，下面的命题是 2.31 的对偶. 2.31 说的是每个张成组都可以化简成基. 现在我们来证明，对于任意给定的线性无关组，都可以添加（也可能不需要添加）一些向量使得扩充后的组仍然是线性无关的，并且还张成整个空间.
2.33 线性无关组可扩充为基
在有限维向量空间中，每个线性无关的向量组都可以扩充成向量空间的基.
证明 设
V
V
V V V 是有限维的，
u
1
,
…
,
u
m
u
1
,
…
,
u
m
u_(1),dots,u_(m) u_{1}, \ldots, u_{m} u 1 , … , u m 在
V
V
V V V 中线性无关。设
w
1
,
…
,
w
n
w
1
,
…
,
w
n
w_(1),dots,w_(n) w_{1}, \ldots, w_{n} w 1 , … , w n 是
V
V
V V V 的一个基.则组
u
1
,
…
,
u
m
,
w
1
,
…
,
w
n
u
1
,
…
,
u
m
,
w
1
,
…
,
w
n
u_(1),dots,u_(m),w_(1),dots,w_(n) u_{1}, \ldots, u_{m}, w_{1}, \ldots, w_{n} u 1 , … , u m , w 1 , … , w n 张成
V
V
V V V 。应用 2.31 的证明过程将这个组化简成
V
V
V V V 的一个基，这个基包含了向量
u
1
,
…
,
u
m
u
1
,
…
,
u
m
u_(1),dots,u_(m) u_{1}, \ldots, u_{m} u 1 , … , u m （因为
u
1
,
…
,
u
m
u
1
,
…
,
u
m
u_(1),dots,u_(m) u_{1}, \ldots, u_{m} u 1 , … , u m 是线性无关的，这些
u
u
u u u 都没有被去掉）和某些
w
w
w w w 。
例如在
F
3
F
3
F^(3) \mathbf{F}^{3} F 3 中，假定我们从线性无关组
(
2
,
3
,
4
)
,
(
9
,
6
,
8
)
(
2
,
3
,
4
)
,
(
9
,
6
,
8
)
(2,3,4),(9,6,8) (2,3,4),(9,6,8) ( 2 , 3 , 4 ) , ( 9 , 6 , 8 ) 出发。如果我们在上面的证明中把
w
1
,
w
2
,
w
3
w
1
,
w
2
,
w
3
w_(1),w_(2),w_(3) w_{1}, w_{2}, w_{3} w 1 , w 2 , w 3 取为
F
3
F
3
F^(3) \mathbf{F}^{3} F 3 的标准基，则按照上面的证明过程我们将得到组
(
2
,
3
,
4
)
,
(
9
,
6
,
8
)
,
(
0
,
1
,
0
)
(
2
,
3
,
4
)
,
(
9
,
6
,
8
)
,
(
0
,
1
,
0
)
(2,3,4),(9,6,8),(0,1,0) (2,3,4),(9,6,8),(0,1,0) ( 2 , 3 , 4 ) , ( 9 , 6 , 8 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , 这是
F
3
F
3
F^(3) \mathbf{F}^{3} F 3 的一个基.
即使不假设
V
V
V V V 是有限维的，利用同样的基本思想和更高级的工具也可以证明下面的命题。
作为上述命题的一个应用，我们现在来证明，对于有限维向量空间的每个子空间，都可以找到另一个子空间，使得整个空间是这两个子空间的直和。
2.34
V
2.34
V
2.34 V 2.34 V 2.34 V
V
V
V V V
设
V
V
V V V 是有限维的，
U
U
U U U 是
V
V
V V V 的子空间，则存在
V
V
V V V 的子空间
W
W
W W W 使得
V
=
U
⊕
W
V
=
U
⊕
W
V=U o+W V=U \oplus W V = U ⊕ W .
证明 因为
V
V
V V V 是有限维的，所以
U
U
U U U 也是有限维的（参见 2.26），从而
U
U
U U U 有一个基
u
1
,
…
,
u
m
u
1
,
…
,
u
m
u_(1),dots,u_(m) u_{1}, \ldots, u_{m} u 1 , … , u m （参见 2.32）。当然，
u
1
,
…
,
u
m
u
1
,
…
,
u
m
u_(1),dots,u_(m) u_{1}, \ldots, u_{m} u 1 , … , u m 是
V
V
V V V 中的一个线性无关组，因此可以扩充成
V
V
V V V 的一个基
u
1
,
…
,
u
m
,
w
1
,
…
,
w
n
u
1
,
…
,
u
m
,
w
1
,
…
,
w
n
u_(1),dots,u_(m),w_(1),dots,w_(n) u_{1}, \ldots, u_{m}, w_{1}, \ldots, w_{n} u 1 , … , u m , w 1 , … , w n （参见2.33）。令
W
=
span
(
w
1
,
…
,
w
n
)
W
=
span
w
1
,
…
,
w
n
W=span(w_(1),dots,w_(n)) W=\operatorname{span}\left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right) W = span ( w 1 , … , w n ) 。
要证明
V
=
U
⊕
W
V
=
U
⊕
W
V=U o+W V=U \oplus W V = U ⊕ W ，根据 1.45，只需证明
V
=
U
+
W
和
U
∩
W
=
{
0
}
.
V
=
U
+
W
和
U
∩
W
=
{
0
}
.
V=U+W quad" 和 "quad U nn W={0}. V=U+W \quad \text { 和 } \quad U \cap W=\{0\} . 和 V = U + W 和 U ∩ W = { 0 } . 要证明上述第一个等式，设
v
∈
V
v
∈
V
v in V v \in V v ∈ V 。因为组
u
1
,
…
,
u
m
,
w
1
,
…
,
w
n
u
1
,
…
,
u
m
,
w
1
,
…
,
w
n
u_(1),dots,u_(m),w_(1),dots,w_(n) u_{1}, \ldots, u_{m}, w_{1}, \ldots, w_{n} u 1 , … , u m , w 1 , … , w n 张成
V
V
V V V ，所以存在标量
a
1
,
…
,
a
m
,
b
1
,
…
,
b
n
∈
F
a
1
,
…
,
a
m
,
b
1
,
…
,
b
n
∈
F
a_(1),dots,a_(m),b_(1),dots,b_(n)inF a_{1}, \ldots, a_{m}, b_{1}, \ldots, b_{n} \in \mathbf{F} a 1 , … , a m , b 1 , … , b n ∈ F 使得
v
=
a
1
u
1
+
⋯
+
a
m
u
m
⏟
u
+
b
1
w
1
+
⋯
+
b
n
w
n
⏟
w
v
=
a
1
u
1
+
⋯
+
a
m
u
m
⏟
u
+
b
1
w
1
+
⋯
+
b
n
w
n
⏟
w
v=ubrace(a_(1)u_(1)+cdots+a_(m)u_(m)ubrace)_(u)+ubrace(b_(1)w_(1)+cdots+b_(n)w_(n)ubrace)_(w) v=\underbrace{a_{1} u_{1}+\cdots+a_{m} u_{m}}_{u}+\underbrace{b_{1} w_{1}+\cdots+b_{n} w_{n}}_{w} v = a 1 u 1 + ⋯ + a m u m ⏟ u + b 1 w 1 + ⋯ + b n w n ⏟ w 这就是说
v
=
u
+
w
v
=
u
+
w
v=u+w v=u+w v = u + w , 其中
u
∈
U
,
w
∈
W
u
∈
U
,
w
∈
W
u in U,w in W u \in U, w \in W u ∈ U , w ∈ W 定义如上. 因此
v
∈
U
+
W
v
∈
U
+
W
v in U+W v \in U+W v ∈ U + W , 这就证明了
V
=
U
+
W
V
=
U
+
W
V=U+W V=U+W V = U + W 。
要证明
U
∩
W
=
{
0
}
U
∩
W
=
{
0
}
U nn W={0} U \cap W=\{0\} U ∩ W = { 0 } , 设
v
∈
U
∩
W
v
∈
U
∩
W
v in U nn W v \in U \cap W v ∈ U ∩ W . 存在标量
a
1
,
…
,
a
m
,
b
1
,
…
,
b
n
∈
F
a
1
,
…
,
a
m
,
b
1
,
…
,
b
n
∈
F
a_(1),dots,a_(m),b_(1),dots,b_(n)inF a_{1}, \ldots, a_{m}, b_{1}, \ldots, b_{n} \in \mathbf{F} a 1 , … , a m , b 1 , … , b n ∈ F 使得
v
=
a
1
u
1
+
⋯
+
a
m
u
m
=
b
1
w
1
+
⋯
+
b
n
w
n
v
=
a
1
u
1
+
⋯
+
a
m
u
m
=
b
1
w
1
+
⋯
+
b
n
w
n
v=a_(1)u_(1)+cdots+a_(m)u_(m)=b_(1)w_(1)+cdots+b_(n)w_(n) v=a_{1} u_{1}+\cdots+a_{m} u_{m}=b_{1} w_{1}+\cdots+b_{n} w_{n} v = a 1 u 1 + ⋯ + a m u m = b 1 w 1 + ⋯ + b n w n 因此
a
1
u
1
+
⋯
+
a
m
u
m
−
b
1
w
1
−
⋯
−
b
n
w
n
=
0
a
1
u
1
+
⋯
+
a
m
u
m
−
b
1
w
1
−
⋯
−
b
n
w
n
=
0
a_(1)u_(1)+cdots+a_(m)u_(m)-b_(1)w_(1)-cdots-b_(n)w_(n)=0 a_{1} u_{1}+\cdots+a_{m} u_{m}-b_{1} w_{1}-\cdots-b_{n} w_{n}=0 a 1 u 1 + ⋯ + a m u m − b 1 w 1 − ⋯ − b n w n = 0 因为
u
1
,
…
,
u
m
,
w
1
,
…
,
w
n
u
1
,
…
,
u
m
,
w
1
,
…
,
w
n
u_(1),dots,u_(m),w_(1),dots,w_(n) u_{1}, \ldots, u_{m}, w_{1}, \ldots, w_{n} u 1 , … , u m , w 1 , … , w n 是线性无关的，所以
a
1
=
⋯
=
a
m
=
b
1
=
⋯
=
b
n
=
0
a
1
=
⋯
=
a
m
=
b
1
=
⋯
=
b
n
=
0
a_(1)=cdots=a_(m)=b_(1)=cdots=b_(n)=0 a_{1}=\cdots=a_{m}=b_{1}=\cdots=b_{n}=0 a 1 = ⋯ = a m = b 1 = ⋯ = b n = 0 ，从而
v
=
0
v
=
0
v=0 v=0 v = 0 , 这就证明了
U
∩
W
=
{
0
}
U
∩
W
=
{
0
}
U nn W={0} U \cap W=\{0\} U ∩ W = { 0 } .
习题 2.B
1 找出只含一个基的所有向量空间.
2 证明例2.28的所有结论。
3 (a) 设
U
U
U U U 是
R
5
R
5
R^(5) \mathbf{R}^{5} R 5 的子空间，
U
=
{
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
)
∈
R
5
:
x
1
=
3
x
2
,
x
3
=
7
x
4
}
U
=
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
∈
R
5
:
x
1
=
3
x
2
,
x
3
=
7
x
4
U={(x_(1),x_(2),x_(3),x_(4),x_(5))inR^(5):x_(1)=3x_(2),x_(3)=7x_(4)} U=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right) \in \mathbf{R}^{5}: x_{1}=3 x_{2}, x_{3}=7 x_{4}\right\} U = { ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) ∈ R 5 : x 1 = 3 x 2 , x 3 = 7 x 4 } ，求
U
U
U U U 的一个基。
(b) 将（a）中的基扩充成
R
5
R
5
R^(5) \mathbf{R}^{5} R 5 的基.
(c) 找出
R
5
R
5
R^(5) \mathbf{R}^{5} R 5 的一个子空间
W
W
W W W 使得
R
5
=
U
⊕
W
R
5
=
U
⊕
W
R^(5)=U o+W \mathbf{R}^{5}=U \oplus W R 5 = U ⊕ W .
4 (a) 设
U
U
U U U 是
C
5
C
5
C^(5) \mathbf{C}^{5} C 5 的子空间,
U
=
{
(
z
1
,
z
2
,
z
3
,
z
4
,
z
5
)
∈
C
5
:
6
z
1
=
z
2
,
z
3
+
2
z
4
+
3
z
5
=
U
=
z
1
,
z
2
,
z
3
,
z
4
,
z
5
∈
C
5
:
6
z
1
=
z
2
,
z
3
+
2
z
4
+
3
z
5
=
U={(z_(1),z_(2),z_(3),z_(4),z_(5))inC^(5):6z_(1)=z_(2),z_(3)+2z_(4)+3z_(5)=:} U=\left\{\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, z_{5}\right) \in \mathbf{C}^{5}: 6 z_{1}=z_{2}, z_{3}+2 z_{4}+3 z_{5}=\right. U = { ( z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 ) ∈ C 5 : 6 z 1 = z 2 , z 3 + 2 z 4 + 3 z 5 =
0
}
0
}
0} 0\} 0 } , 求
U
U
U U U 的一个基.
(b) 将（a）中的基扩充成
C
5
C
5
C^(5) \mathbf{C}^{5} C 5 的基.
(c) 找出
C
5
C
5
C^(5) \mathbf{C}^{5} C 5 的一个子空间
W
W
W W W 使得
C
5
=
U
⊕
W
C
5
=
U
⊕
W
C^(5)=U o+W \mathbf{C}^{5}=U \oplus W C 5 = U ⊕ W .
5 证明或反驳:
P
3
(
F
)
P
3
(
F
)
P_(3)(F) \mathcal{P}_{3}(\mathbf{F}) P 3 ( F ) 有一个基
p
0
,
p
1
,
p
2
,
p
3
p
0
,
p
1
,
p
2
,
p
3
p_(0),p_(1),p_(2),p_(3) p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3} p 0 , p 1 , p 2 , p 3 使得多项式
p
0
,
p
1
,
p
2
,
p
3
p
0
,
p
1
,
p
2
,
p
3
p_(0),p_(1),p_(2),p_(3) p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3} p 0 , p 1 , p 2 , p 3 的次数都不等于 2 。
6 设
v
1
,
v
2
,
v
3
,
v
4
v
1
,
v
2
,
v
3
,
v
4
v_(1),v_(2),v_(3),v_(4) v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} v 1 , v 2 , v 3 , v 4 是
V
V
V V V 的基. 证明
v
1
+
v
2
,
v
2
+
v
3
,
v
3
+
v
4
,
v
4
v
1
+
v
2
,
v
2
+
v
3
,
v
3
+
v
4
,
v
4
v_(1)+v_(2),v_(2)+v_(3),v_(3)+v_(4),v_(4) v_{1}+v_{2}, v_{2}+v_{3}, v_{3}+v_{4}, v_{4} v 1 + v 2 , v 2 + v 3 , v 3 + v 4 , v 4 也是
V
V
V V V 的基.
7 证明或给出反例：若
v
1
,
ν
2
,
v
3
,
v
4
v
1
,
ν
2
,
v
3
,
v
4
v_(1),nu_(2),v_(3),v_(4) v_{1}, \nu_{2}, v_{3}, v_{4} v 1 , ν 2 , v 3 , v 4 是
V
V
V V V 的基，且
U
U
U U U 是
V
V
V V V 的子空间使得
v
1
,
v
2
∈
U
v
1
,
v
2
∈
U
v_(1),v_(2)in U v_{1}, v_{2} \in U v 1 , v 2 ∈ U ，
v
3
∉
U
,
v
4
∉
U
v
3
∉
U
,
v
4
∉
U
v_(3)!in U,v_(4)!in U v_{3} \notin U, v_{4} \notin U v 3 ∉ U , v 4 ∉ U ，则
v
1
,
v
2
v
1
,
v
2
v_(1),v_(2) v_{1}, v_{2} v 1 , v 2 是
U
U
U U U 的基.
8 设
U
U
U U U 和
W
W
W W W 是
V
V
V V V 的子空间使得
V
=
U
⊕
W
V
=
U
⊕
W
V=U o+W V=U \oplus W V = U ⊕ W 。并设
u
1
,
…
,
u
m
u
1
,
…
,
u
m
u_(1),dots,u_(m) u_{1}, \ldots, u_{m} u 1 , … , u m 是
U
U
U U U 的基,
w
1
,
…
,
w
n
w
1
,
…
,
w
n
w_(1),dots,w_(n) w_{1}, \ldots, w_{n} w 1 , … , w n 是
W
W
W W W 的基。证明
u
1
,
…
,
u
m
,
w
1
,
…
,
w
n
u
1
,
…
,
u
m
,
w
1
,
…
,
w
n
u_(1),dots,u_(m),w_(1),dots,w_(n) u_{1}, \ldots, u_{m}, w_{1}, \ldots, w_{n} u 1 , … , u m , w 1 , … , w n 是
V
V
V V V 的基。
2.C 维数
虽然我们一直在讨论有限维向量空间，但还没有定义有限维向量空间的维数。维数该怎样定义呢？合理的定义应该保证
F
n
F
n
F^(n) \mathbf{F}^{n} F n 的维数等于
n
n
n n n 。注意到
F
n
F
n
F^(n) \mathbf{F}^{n} F n 的标准基
(
1
,
0
,
…
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
,
…
,
0
)
,
…
,
(
0
,
…
,
0
,
1
)
(
1
,
0
,
…
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
,
…
,
0
)
,
…
,
(
0
,
…
,
0
,
1
)
(1,0,dots,0),(0,1,0,dots,0),dots,(0,dots,0,1) (1,0, \ldots, 0),(0,1,0, \ldots, 0), \ldots,(0, \ldots, 0,1) ( 1 , 0 , … , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , … , 0 ) , … , ( 0 , … , 0 , 1 ) 的长度为
n
n
n n n ，因此我们想把维数定义成基的长度。但一般来说，一个给定的有限维向量空间可能有很多不同的基，而只有当所有基都具有相同长度时，我们所期望的定义才有意义。 幸好情况就是这样，现在就给出证明。
2.35 基的长度不依赖于基的选取
有限维向量空间的任意两个基的长度都相同.
证明 设
V
V
V V V 是有限维的，
B
1
B
1
B_(1) B_{1} B 1 和
B
2
B
2
B_(2) B_{2} B 2 是
V
V
V V V 的任意两个基，则
B
1
B
1
B_(1) B_{1} B 1 在
V
V
V V V 中是线性无关的，并且
B
2
B
2
B_(2) B_{2} B 2 张成
V
V
V V V ，故
B
1
B
1
B_(1) B_{1} B 1 的长度不超过
B
2
B
2
B_(2) B_{2} B 2 的长度（由于 2.23）。互换
B
1
B
1
B_(1) B_{1} B 1 和
B
2
B
2
B_(2) B_{2} B 2 的角色，可知
B
2
B
2
B_(2) B_{2} B 2 的长度也不超过
B
1
B
1
B_(1) B_{1} B 1 的长度。因此
B
1
B
1
B_(1) B_{1} B 1 的长度一定等于
B
2
B
2
B_(2) B_{2} B 2 的长度。
既然有限维向量空间的任意两个基都具有相同的长度, 我们就可以正式地定义有限维向量空间的维数了。
2.36 定义 维数（dimension），
dim
V
dim
V
dim V \operatorname{dim} V dim V
有限维向量空间的任意基的长度称为这个向量空间的维数.
若
V
V
V V V
V
V
V V V
dim
V
dim
V
dim V \operatorname{dim} V dim V
2.37 例 维数
dim
F
n
=
n
dim
F
n
=
n
dimF^(n)=n \operatorname{dim} \mathbf{F}^{n}=n dim F n = n
F
n
F
n
F^(n) \mathbf{F}^{n} F n
n
n
n n n
dim
P
m
(
F
)
=
m
+
1
dim
P
m
(
F
)
=
m
+
1
dimP_(m)(F)=m+1 \operatorname{dim} \mathcal{P}_{m}(\mathbf{F})=m+1 dim P m ( F ) = m + 1
P
m
(
F
)
P
m
(
F
)
P_(m)(F) \mathcal{P}_{m}(\mathbf{F}) P m ( F )
1
,
z
,
…
,
z
m
1
,
z
,
…
,
z
m
1,z,dots,z^(m) 1, z, \ldots, z^{m} 1 , z , … , z m
m
+
1
m
+
1
m+1 m+1 m + 1
有限维向量空间的每个子空间都是有限维的（由于 2.26），因此都有维数。下面的命题所给出的子空间维数的不等式也就在预料之中了.
2.38 子空间的维数
若
V
V
V V V 是有限维的,
U
U
U U U 是
V
V
V V V 的子空间, 则
dim
U
⩽
dim
V
dim
U
⩽
dim
V
dim U <= dim V \operatorname{dim} U \leqslant \operatorname{dim} V dim U ⩽ dim V .
证明 设
V
V
V V V 是有限维的，
U
U
U U U 是
V
V
V V V 的子空间。
U
U
U U U 的基是
V
V
V V V 中的线性无关的向量组，而
V
V
V V V 的基是
V
V
V V V 的张成组，利用 2.23 可知
dim
U
≤
dim
V
dim
U
≤
dim
V
dim U <= dim V \operatorname{dim} U \leq \operatorname{dim} V dim U ≤ dim V 。
实向量空间
R
2
R
2
R^(2) \mathbf{R}^{2} R 2 的维数是 2 ，复向量空间 C 的维数是 1 。作为集合,
R
2
R
2
R^(2) \mathbf{R}^{2} R 2 可以和
C
C
C \mathbf{C} C 等同起来（并且两个空间上的加法是相同的，用实数来作标量乘法也一样). 因此, 在讨论向量空间的维数时，F 所扮演的角色是不能忽视的。
要验证
V
V
V V V 中的一个向量组是
V
V
V V V 的基, 按照定义我们必须证明这个向量组满足两个性质：它必须是线性无关的，并且张成
V
V
V V V 。下面两个命题表明，如果所讨论的组具有适当的长度，则只需要验证它满足所要求的两个性质之一。我们先证明每个具有适当长度的线性无关组都是基.
2.39 具有适当长度的线性无关组是基
若
V
V
V V V 是有限维的, 则
V
V
V V V 中每个长度为
dim
V
dim
V
dim V \operatorname{dim} V dim V 的线性无关向量组都是
V
V
V V V 的基.
证明 设
dim
V
=
n
dim
V
=
n
dim V=n \operatorname{dim} V=n dim V = n 且
v
1
,
…
,
v
n
v
1
,
…
,
v
n
v_(1),dots,v_(n) v_{1}, \ldots, v_{n} v 1 , … , v n 在
V
V
V V V 中是线性无关的，则组
v
1
,
…
,
v
n
v
1
,
…
,
v
n
v_(1),dots,v_(n) v_{1}, \ldots, v_{n} v 1 , … , v n 可以扩充成
V
V
V V V 的基（由于 2.33）。然而
V
V
V V V 的每个基的长度都是
n
n
n n n , 所以此处的扩充是平凡的, 即
v
1
,
…
,
v
n
v
1
,
…
,
v
n
v_(1),dots,v_(n) v_{1}, \ldots, v_{n} v 1 , … , v n 没有添加任何元素。这就证明了
v
1
,
…
,
v
n
v
1
,
…
,
v
n
v_(1),dots,v_(n) v_{1}, \ldots, v_{n} v 1 , … , v n 是
V
V
V V V 的基.
2.40 例 证明组
(
5
,
7
)
,
(
4
,
3
)
(
5
,
7
)
,
(
4
,
3
)
(5,7),(4,3) (5,7),(4,3) ( 5 , 7 ) , ( 4 , 3 ) 是
F
2
F
2
F^(2) \mathbf{F}^{2} F 2 的基.
证明
F
2
F
2
F^(2) \mathbf{F}^{2} F 2 中的组
(
5
,
7
)
,
(
4
,
3
)
(
5
,
7
)
,
(
4
,
3
)
(5,7),(4,3) (5,7),(4,3) ( 5 , 7 ) , ( 4 , 3 ) 显然是线性无关的（因为其中每个向量都不是另外一个向量的标量倍）。注意到
F
2
F
2
F^(2) \mathbf{F}^{2} F 2 的维数为 2 ，命题 2.39 表明长度为 2 的线性无关组
(
5
,
7
)
,
(
4
,
3
)
(
5
,
7
)
,
(
4
,
3
)
(5,7),(4,3) (5,7),(4,3) ( 5 , 7 ) , ( 4 , 3 ) 是
F
2
F
2
F^(2) \mathbf{F}^{2} F 2 的基（不必再验证这个组张成
F
2
F
2
F^(2) \mathbf{F}^{2} F 2 ）。
2.41 例 证明
1
,
(
x
−
5
)
2
,
(
x
−
5
)
3
1
,
(
x
−
5
)
2
,
(
x
−
5
)
3
1,(x-5)^(2),(x-5)^(3) 1,(x-5)^{2},(x-5)^{3} 1 , ( x − 5 ) 2 , ( x − 5 ) 3 是
P
3
(
R
)
P
3
(
R
)
P_(3)(R) \mathcal{P}_{3} \mathbf{( R )} P 3 ( R ) 的子空间
U
U
U U U 的一个基, 其中
U
U
U U U 定义为
U
=
{
p
∈
P
3
(
R
)
:
p
′
(
5
)
=
0
}
U
=
p
∈
P
3
(
R
)
:
p
′
(
5
)
=
0
U={p inP_(3)(R):p^(')(5)=0} U=\left\{p \in \mathcal{P}_{3}(\mathbf{R}): p^{\prime}(5)=0\right\} U = { p ∈ P 3 ( R ) : p ′ ( 5 ) = 0 } 证明 显然多项式
1
,
(
x
−
5
)
2
,
(
x
−
5
)
3
1
,
(
x
−
5
)
2
,
(
x
−
5
)
3
1,(x-5)^(2),(x-5)^(3) 1,(x-5)^{2},(x-5)^{3} 1 , ( x − 5 ) 2 , ( x − 5 ) 3 都属于
U
U
U U U .
设
a
,
b
,
c
∈
R
a
,
b
,
c
∈
R
a,b,c inR a, b, c \in \mathbf{R} a , b , c ∈ R 且对任意
x
∈
R
x
∈
R
x inR x \in \mathbf{R} x ∈ R 有
a
+
b
(
x
−
5
)
2
+
c
(
x
−
5
)
3
=
0
a
+
b
(
x
−
5
)
2
+
c
(
x
−
5
)
3
=
0
a+b(x-5)^(2)+c(x-5)^(3)=0 a+b(x-5)^{2}+c(x-5)^{3}=0 a + b ( x − 5 ) 2 + c ( x − 5 ) 3 = 0 即使不把上述方程左端完全展开也可以看出左端含有项
c
x
3
c
x
3
cx^(3) c x^{3} c x 3 。由于右端没有
x
3
x
3
x^(3) x^{3} x 3 项,所以
c
=
0
c
=
0
c=0 c=0 c = 0 . 由
c
=
0
c
=
0
c=0 c=0 c = 0 可知左端含有项
b
x
2
b
x
2
bx^(2) b x^{2} b x 2 , 这表明
b
=
0
b
=
0
b=0 b=0 b = 0 . 由
b
=
c
=
0
b
=
c
=
0
b=c=0 b=c=0 b = c = 0 可知
a
=
0
a
=
0
a=0 a=0 a = 0 .
所以上述方程蕴涵
a
=
b
=
c
=
0
a
=
b
=
c
=
0
a=b=c=0 a=b=c=0 a = b = c = 0 ，从而
1
,
(
x
−
5
)
2
,
(
x
−
5
)
3
1
,
(
x
−
5
)
2
,
(
x
−
5
)
3
1,(x-5)^(2),(x-5)^(3) 1,(x-5)^{2},(x-5)^{3} 1 , ( x − 5 ) 2 , ( x − 5 ) 3 在
U
U
U U U 中线性无关.
于是
dim
U
≥
3
dim
U
≥
3
dim U >= 3 \operatorname{dim} U \geq 3 dim U ≥ 3 。由于
U
U
U U U 是
P
3
(
R
)
P
3
(
R
)
P_(3)(R) \mathcal{P}_{3}(\mathbf{R}) P 3 ( R ) 的子空间，故有
dim
U
≤
dim
P
3
(
R
)
=
4
dim
U
≤
dim
P
3
(
R
)
=
4
dim U <= dimP_(3)(R)=4 \operatorname{dim} U \leq \operatorname{dim} \mathcal{P}_{3}(\mathbf{R})=4 dim U ≤ dim P 3 ( R ) = 4 （由于 2.38）。然而
dim
U
dim
U
dim U \operatorname{dim} U dim U 不能等于 4 ，若不然当我们将
U
U
U U U 的基扩充为
P
3
(
R
)
P
3
(
R
)
P_(3)(R) \mathcal{P}_{3}(\mathbf{R}) P 3 ( R ) 的基时，将得到长度大于 4 的组，故
dim
U
=
3
dim
U
=
3
dim U=3 \operatorname{dim} U=3 dim U = 3 。命题2.39表明线性无关组
1
,
(
x
−
5
)
2
,
(
x
−
5
)
3
1
,
(
x
−
5
)
2
,
(
x
−
5
)
3
1,(x-5)^(2),(x-5)^(3) 1,(x-5)^{2},(x-5)^{3} 1 , ( x − 5 ) 2 , ( x − 5 ) 3 是
U
U
U U U 的基。
现在我们来证明具有适当长度的张成组都是基.
2.42 具有适当长度的张成组是基
若
V
V
V V V 是有限维的，则
V
V
V V V 中每个长度为
dim
V
dim
V
dim V \operatorname{dim} V dim V 的张成向量组都是
V
V
V V V 的基。
证明 设
dim
V
=
n
dim
V
=
n
dim V=n \operatorname{dim} V=n dim V = n 且
v
1
,
…
,
v
n
v
1
,
…
,
v
n
v_(1),dots,v_(n) v_{1}, \ldots, v_{n} v 1 , … , v n 张成
V
V
V V V ，则组
v
1
,
…
,
v
n
v
1
,
…
,
v
n
v_(1),dots,v_(n) v_{1}, \ldots, v_{n} v 1 , … , v n 可化简成
V
V
V V V 的基（由于 2.31）。然而
V
V
V V V 的每个基的长度都是
n
n
n n n ，所以此处的化简是平凡的，即
v
1
,
…
,
v
n
v
1
,
…
,
v
n
v_(1),dots,v_(n) v_{1}, \ldots, v_{n} v 1 , … , v n 中没有任何元素被去掉。这就证明了
v
1
,
…
,
v
n
v
1
,
…
,
v
n
v_(1),dots,v_(n) v_{1}, \ldots, v_{n} v 1 , … , v n 是
V
V
V V V 的基。
下面的命题给出了有限维向量空间的两个子空间之和的维数公式。这个公式类似于一个熟知的计数公式：两个有限集合的并集的元素个数等于第一个集合的元素个数，加上第二个集合的元素个数，再减去这两个集合的交集的元素个数。
2.43 和空间的维数
如果
U
1
U
1
U_(1) U_{1} U 1 和
U
2
U
2
U_(2) U_{2} U 2 是有限维向量空间的两个子空间，则
dim
(
U
1
+
U
2
)
=
dim
U
1
+
dim
U
2
−
dim
(
U
1
∩
U
2
)
dim
U
1
+
U
2
=
dim
U
1
+
dim
U
2
−
dim
U
1
∩
U
2
dim(U_(1)+U_(2))=dimU_(1)+dimU_(2)-dim(U_(1)nnU_(2)) \operatorname{dim}\left(U_{1}+U_{2}\right)=\operatorname{dim} U_{1}+\operatorname{dim} U_{2}-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2}\right) dim ( U 1 + U 2 ) = dim U 1 + dim U 2 − dim ( U 1 ∩ U 2 ) 证明设
u
1
,
…
,
u
m
u
1
,
…
,
u
m
u_(1),dots,u_(m) u_{1}, \ldots, u_{m} u 1 , … , u m 是
U
1
∩
U
2
U
1
∩
U
2
U_(1)nnU_(2) U_{1} \cap U_{2} U 1 ∩ U 2 的基，则
dim
(
U
1
∩
U
2
)
=
m
dim
U
1
∩
U
2
=
m
dim(U_(1)nnU_(2))=m \operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2}\right)=m dim ( U 1 ∩ U 2 ) = m 。因为
u
1
,
…
,
u
m
u
1
,
…
,
u
m
u_(1),dots,u_(m) u_{1}, \ldots, u_{m} u 1 , … , u m 是
U
1
∩
U
2
U
1
∩
U
2
U_(1)nnU_(2) U_{1} \cap U_{2} U 1 ∩ U 2 的基，所以它在
U
1
U
1
U_(1) U_{1} U 1 中线性无关，因此可以扩充成
U
1
U
1
U_(1) U_{1} U 1 的基
u
1
,
…
,
u
m
,
v
1
,
…
,
v
j
u
1
,
…
,
u
m
,
v
1
,
…
,
v
j
u_(1),dots,u_(m),v_(1),dots,v_(j) u_{1}, \ldots, u_{m}, v_{1}, \ldots, v_{j} u 1 , … , u m , v 1 , … , v j （由于 2.33). 于是
dim
U
1
=
m
+
j
dim
U
1
=
m
+
j
dimU_(1)=m+j \operatorname{dim} U_{1}=m+j dim U 1 = m + j 。再将
u
1
,
…
,
u
m
u
1
,
…
,
u
m
u_(1),dots,u_(m) u_{1}, \ldots, u_{m} u 1 , … , u m 扩充成
U
2
U
2
U_(2) U_{2} U 2 的基
u
1
,
…
,
u
m
,
w
1
,
…
,
w
k
u
1
,
…
,
u
m
,
w
1
,
…
,
w
k
u_(1),dots,u_(m),w_(1),dots,w_(k) u_{1}, \ldots, u_{m}, w_{1}, \ldots, w_{k} u 1 , … , u m , w 1 , … , w k ，于是
dim
U
2
=
m
+
k
dim
U
2
=
m
+
k
dimU_(2)=m+k \operatorname{dim} U_{2}=m+k dim U 2 = m + k .
为完成证明，我们只需证明
u
1
,
…
,
u
m
,
v
1
,
…
,
v
j
,
w
1
,
…
,
w
k
u
1
,
…
,
u
m
,
v
1
,
…
,
v
j
,
w
1
,
…
,
w
k
u_(1),dots,u_(m),v_(1),dots,v_(j),w_(1),dots,w_(k) u_{1}, \ldots, u_{m}, v_{1}, \ldots, v_{j}, w_{1}, \ldots, w_{k} u 1 , … , u m , v 1 , … , v j , w 1 , … , w k 是
U
1
+
U
2
U
1
+
U
2
U_(1)+U_(2) U_{1}+U_{2} U 1 + U 2 的基，因为由此可得
dim
(
U
1
+
U
2
)
=
m
+
j
+
k
=
(
m
+
j
)
+
(
m
+
k
)
−
m
=
dim
U
1
+
dim
U
2
−
dim
(
U
1
∩
U
2
)
dim
U
1
+
U
2
=
m
+
j
+
k
=
(
m
+
j
)
+
(
m
+
k
)
−
m
=
dim
U
1
+
dim
U
2
−
dim
U
1
∩
U
2
{:[dim(U_(1)+U_(2))=m+j+k],[=(m+j)+(m+k)-m],[=dimU_(1)+dimU_(2)-dim(U_(1)nnU_(2))]:} \begin{aligned}
\operatorname{dim}\left(U_{1}+U_{2}\right) & =m+j+k \\
& =(m+j)+(m+k)-m \\
& =\operatorname{dim} U_{1}+\operatorname{dim} U_{2}-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2}\right)
\end{aligned} dim ( U 1 + U 2 ) = m + j + k = ( m + j ) + ( m + k ) − m = dim U 1 + dim U 2 − dim ( U 1 ∩ U 2 ) 显然
span
(
u
1
,
…
,
u
m
,
v
1
,
…
,
v
j
,
w
1
,
…
,
w
k
)
span
u
1
,
…
,
u
m
,
v
1
,
…
,
v
j
,
w
1
,
…
,
w
k
span(u_(1),dots,u_(m),v_(1),dots,v_(j),w_(1),dots,w_(k)) \operatorname{span}\left(u_{1}, \ldots, u_{m}, v_{1}, \ldots, v_{j}, w_{1}, \ldots, w_{k}\right) span ( u 1 , … , u m , v 1 , … , v j , w 1 , … , w k ) 包含
U
1
U
1
U_(1) U_{1} U 1 和
U
2
U
2
U_(2) U_{2} U 2 , 故等于
U
1
+
U
2
U
1
+
U
2
U_(1)+U_(2) U_{1}+U_{2} U 1 + U 2 。因此为了证明这个组是
U
1
+
U
2
U
1
+
U
2
U_(1)+U_(2) U_{1}+U_{2} U 1 + U 2 的基，只需证明它是线性无关的。为此，假设
a
1
u
1
+
⋯
+
a
m
u
m
+
b
1
v
1
+
⋯
+
b
j
v
j
+
c
1
w
1
+
⋯
+
c
k
w
k
=
0
a
1
u
1
+
⋯
+
a
m
u
m
+
b
1
v
1
+
⋯
+
b
j
v
j
+
c
1
w
1
+
⋯
+
c
k
w
k
=
0
a_(1)u_(1)+cdots+a_(m)u_(m)+b_(1)v_(1)+cdots+b_(j)v_(j)+c_(1)w_(1)+cdots+c_(k)w_(k)=0 a_{1} u_{1}+\cdots+a_{m} u_{m}+b_{1} v_{1}+\cdots+b_{j} v_{j}+c_{1} w_{1}+\cdots+c_{k} w_{k}=0 a 1 u 1 + ⋯ + a m u m + b 1 v 1 + ⋯ + b j v j + c 1 w 1 + ⋯ + c k w k = 0 其中所有的
a
,
b
,
c
a
,
b
,
c
a,b,c a, b, c a , b , c 都是标量. 往证所有的标量
a
,
b
,
c
a
,
b
,
c
a,b,c a, b, c a , b , c 都等于 0 . 上式可以写成
c
1
w
1
+
⋯
+
c
k
w
k
=
−
a
1
u
1
−
⋯
−
a
m
u
m
−
b
1
v
1
−
⋯
−
b
j
v
j
c
1
w
1
+
⋯
+
c
k
w
k
=
−
a
1
u
1
−
⋯
−
a
m
u
m
−
b
1
v
1
−
⋯
−
b
j
v
j
c_(1)w_(1)+cdots+c_(k)w_(k)=-a_(1)u_(1)-cdots-a_(m)u_(m)-b_(1)v_(1)-cdots-b_(j)v_(j) c_{1} w_{1}+\cdots+c_{k} w_{k}=-a_{1} u_{1}-\cdots-a_{m} u_{m}-b_{1} v_{1}-\cdots-b_{j} v_{j} c 1 w 1 + ⋯ + c k w k = − a 1 u 1 − ⋯ − a m u m − b 1 v 1 − ⋯ − b j v j 即
c
1
w
1
+
⋯
+
c
k
w
k
∈
U
1
c
1
w
1
+
⋯
+
c
k
w
k
∈
U
1
c_(1)w_(1)+cdots+c_(k)w_(k)inU_(1) c_{1} w_{1}+\cdots+c_{k} w_{k} \in U_{1} c 1 w 1 + ⋯ + c k w k ∈ U 1 . 因为所有的
w
w
w w w 都属于
U
2
U
2
U_(2) U_{2} U 2 ，所以
c
1
w
1
+
⋯
+
c
k
w
k
∈
U
1
∩
U
2
c
1
w
1
+
⋯
+
c
k
w
k
∈
U
1
∩
U
2
c_(1)w_(1)+cdots+c_(k)w_(k)inU_(1)nnU_(2) c_{1} w_{1}+\cdots+c_{k} w_{k} \in U_{1} \cap U_{2} c 1 w 1 + ⋯ + c k w k ∈ U 1 ∩ U 2 。又因为
u
1
,
…
,
u
m
u
1
,
…
,
u
m
u_(1),dots,u_(m) u_{1}, \ldots, u_{m} u 1 , … , u m 是
U
1
∩
U
2
U
1
∩
U
2
U_(1)nnU_(2) U_{1} \cap U_{2} U 1 ∩ U 2 的基, 所以有标量
d
1
,
…
,
d
m
d
1
,
…
,
d
m
d_(1),dots,d_(m) d_{1}, \ldots, d_{m} d 1 , … , d m 使得
c
1
w
1
+
⋯
+
c
k
w
k
=
d
1
u
1
+
⋯
+
d
m
u
m
c
1
w
1
+
⋯
+
c
k
w
k
=
d
1
u
1
+
⋯
+
d
m
u
m
c_(1)w_(1)+cdots+c_(k)w_(k)=d_(1)u_(1)+cdots+d_(m)u_(m) c_{1} w_{1}+\cdots+c_{k} w_{k}=d_{1} u_{1}+\cdots+d_{m} u_{m} c 1 w 1 + ⋯ + c k w k = d 1 u 1 + ⋯ + d m u m 但是
u
1
,
…
,
u
m
,
w
1
,
…
,
w
k
u
1
,
…
,
u
m
,
w
1
,
…
,
w
k
u_(1),dots,u_(m),w_(1),dots,w_(k) u_{1}, \ldots, u_{m}, w_{1}, \ldots, w_{k} u 1 , … , u m , w 1 , … , w k 是线性无关的，故由上式可知所有的
c
c
c c c （和
d
d
d d d ）都等于 0 .因此最初的那个包含这些
a
,
b
,
c
a
,
b
,
c
a,b,c a, b, c a , b , c 的等式变成
a
1
u
1
+
⋯
+
a
m
u
m
+
b
1
v
1
+
⋯
+
b
j
v
j
=
0
a
1
u
1
+
⋯
+
a
m
u
m
+
b
1
v
1
+
⋯
+
b
j
v
j
=
0
a_(1)u_(1)+cdots+a_(m)u_(m)+b_(1)v_(1)+cdots+b_(j)v_(j)=0 a_{1} u_{1}+\cdots+a_{m} u_{m}+b_{1} v_{1}+\cdots+b_{j} v_{j}=0 a 1 u 1 + ⋯ + a m u m + b 1 v 1 + ⋯ + b j v j = 0 因为组
u
1
,
…
,
u
m
,
v
1
,
…
,
v
j
u
1
,
…
,
u
m
,
v
1
,
…
,
v
j
u_(1),dots,u_(m),v_(1),dots,v_(j) u_{1}, \ldots, u_{m}, v_{1}, \ldots, v_{j} u 1 , … , u m , v 1 , … , v j 是线性无关的，所以由这个等式可知所有的
a
,
b
a
,
b
a,b a, b a , b 都是 0 .这就证明了所有的
a
,
b
,
c
a
,
b
,
c
a,b,c a, b, c a , b , c 都等于 0 。
习题 2.C
1 设
V
V
V V V 是有限维的，
U
U
U U U 是
V
V
V V V 的子空间使得
dim
U
=
dim
V
dim
U
=
dim
V
dim U=dim V \operatorname{dim} U=\operatorname{dim} V dim U = dim V 。证明
U
=
V
U
=
V
U=V U=V U = V .
2 证明
R
2
R
2
R^(2) \mathbf{R}^{2} R 2 的子空间恰为：
{
0
}
、
R
2
、
R
2
{
0
}
、
R
2
、
R
2
{0}、R^(2)、R^(2) \{0\} 、 \mathbf{R}^{2} 、 \mathbf{R}^{2} 、 、 { 0 } 、 R 2 、 R 2 中过原点的所有直线。
3 证明
R
3
R
3
R^(3) \mathbf{R}^{3} R 3 的子空间恰为：
{
0
}
、
R
3
、
R
3
{
0
}
、
R
3
、
R
3
{0}、R^(3)、R^(3) \{0\} 、 \mathbf{R}^{3} 、 \mathbf{R}^{3} 、 、 { 0 } 、 R 3 、 R 3 中过原点的所有直线、
R
3
R
3
R^(3) \mathbf{R}^{3} R 3 中过原点的所有平面。
4 (a) 设
U
=
{
p
∈
P
4
(
F
)
:
p
(
6
)
=
0
}
U
=
p
∈
P
4
(
F
)
:
p
(
6
)
=
0
U={p inP_(4)(F):p(6)=0} U=\left\{p \in \mathcal{P}_{4}(\mathbf{F}): p(6)=0\right\} U = { p ∈ P 4 ( F ) : p ( 6 ) = 0 } , 求
U
U
U U U 的一个基.
(b) 将（a）中求得的基扩充为
P
4
(
F
)
P
4
(
F
)
P_(4)(F) \mathcal{P}_{4}(\mathbf{F}) P 4 ( F ) 的基.
(c) 求
P
4
(
F
)
P
4
(
F
)
P_(4)(F) \mathcal{P}_{4}(\mathbf{F}) P 4 ( F ) 的一个子空间
W
W
W W W 使得
P
4
(
F
)
=
U
⊕
W
P
4
(
F
)
=
U
⊕
W
P_(4)(F)=U o+W \mathcal{P}_{4}(\mathbf{F})=U \oplus W P 4 ( F ) = U ⊕ W .
5 (a) 设
U
=
{
p
∈
P
4
(
R
)
:
p
′
′
(
6
)
=
0
}
U
=
p
∈
P
4
(
R
)
:
p
′
′
(
6
)
=
0
U={p inP_(4)(R):p^('')(6)=0} U=\left\{p \in \mathcal{P}_{4}(\mathbf{R}): p^{\prime \prime}(6)=0\right\} U = { p ∈ P 4 ( R ) : p ′ ′ ( 6 ) = 0 } ，求
U
U
U U U 的一个基。
(b) 将（a）中求得的基扩充为
P
4
(
R
)
P
4
(
R
)
P_(4)(R) \mathcal{P}_{4}(\mathrm{R}) P 4 ( R ) 的基.
(c) 求
P
4
(
R
)
P
4
(
R
)
P_(4)(R) \mathcal{P}_{4}(\mathbf{R}) P 4 ( R ) 的一个子空间
W
W
W W W 使得
P
4
(
R
)
=
U
⊕
W
P
4
(
R
)
=
U
⊕
W
P_(4)(R)=U o+W \mathcal{P}_{4}(\mathbf{R})=U \oplus W P 4 ( R ) = U ⊕ W .
6 (a) 设
U
=
{
p
∈
P
4
(
F
)
:
p
(
2
)
=
p
(
5
)
}
U
=
p
∈
P
4
(
F
)
:
p
(
2
)
=
p
(
5
)
U={p inP_(4)(F):p(2)=p(5)} U=\left\{p \in \mathcal{P}_{4}(\mathbf{F}): p(2)=p(5)\right\} U = { p ∈ P 4 ( F ) : p ( 2 ) = p ( 5 ) } , 求
U
U
U U U 的一个基.
(b) 将（a）中求得的基扩充为
P
4
(
F
)
P
4
(
F
)
P_(4)(F) \mathcal{P}_{4}(\mathbf{F}) P 4 ( F ) 的基。
(c) 求
P
4
(
F
)
P
4
(
F
)
P_(4)(F) \mathcal{P}_{4}(\mathbf{F}) P 4 ( F ) 的一个子空间
W
W
W W W 使得
P
4
(
F
)
=
U
⊕
W
P
4
(
F
)
=
U
⊕
W
P_(4)(F)=U o+W \mathcal{P}_{4}(\mathbf{F})=U \oplus W P 4 ( F ) = U ⊕ W .
7 (a) 设
U
=
{
p
∈
P
4
(
F
)
:
p
(
2
)
=
p
(
5
)
=
p
(
6
)
}
U
=
p
∈
P
4
(
F
)
:
p
(
2
)
=
p
(
5
)
=
p
(
6
)
U={p inP_(4)(F):p(2)=p(5)=p(6)} U=\left\{p \in \mathcal{P}_{4}(\mathbf{F}): p(2)=p(5)=p(6)\right\} U = { p ∈ P 4 ( F ) : p ( 2 ) = p ( 5 ) = p ( 6 ) } , 求
U
U
U U U 的一个基.
(b) 将（a）中求得的基扩充为
P
4
(
F
)
P
4
(
F
)
P_(4)(F) \mathcal{P}_{4}(\mathbf{F}) P 4 ( F ) 的基。
(c) 求
P
4
(
F
)
P
4
(
F
)
P_(4)(F) \mathcal{P}_{4}(\mathbf{F}) P 4 ( F ) 的一个子空间
W
W
W W W 使得
P
4
(
F
)
=
U
⊕
W
P
4
(
F
)
=
U
⊕
W
P_(4)(F)=U o+W \mathcal{P}_{4}(\mathbf{F})=U \oplus W P 4 ( F ) = U ⊕ W .
8 (a) 设
U
=
{
p
∈
P
4
(
R
)
:
∫
−
1
1
p
=
0
}
U
=
p
∈
P
4
(
R
)
:
∫
−
1
1
p
=
0
U={p inP_(4)(R):int_(-1)^(1)p=0} U=\left\{p \in \mathcal{P}_{4}(\mathbf{R}): \int_{-1}^{1} p=0\right\} U = { p ∈ P 4 ( R ) : ∫ − 1 1 p = 0 } , 求
U
U
U U U 的一个基.
(b) 将（a）中求得的基扩充为
P
4
(
R
)
P
4
(
R
)
P_(4)(R) \mathcal{P}_{4}(\mathbf{R}) P 4 ( R ) 的基。
(c) 求
P
4
(
R
)
P
4
(
R
)
P_(4)(R) \mathcal{P}_{4}(\mathbf{R}) P 4 ( R ) 的一个子空间
W
W
W W W 使得
P
4
(
R
)
=
U
⊕
W
P
4
(
R
)
=
U
⊕
W
P_(4)(R)=U o+W \mathcal{P}_{4}(\mathbf{R})=U \oplus W P 4 ( R ) = U ⊕ W 。
9 设
v
1
,
…
,
v
m
v
1
,
…
,
v
m
v_(1),dots,v_(m) v_{1}, \ldots, v_{m} v 1 , … , v m 在
V
V
V V V 中是线性无关的，并设
w
∈
V
w
∈
V
w in V w \in V w ∈ V 。证明
dim
span
(
v
1
+
w
,
…
,
v
m
+
w
)
≥
m
−
1
dim
span
v
1
+
w
,
…
,
v
m
+
w
≥
m
−
1
dim span(v_(1)+w,dots,v_(m)+w) >= m-1 \operatorname{dim} \operatorname{span}\left(v_{1}+w, \ldots, v_{m}+w\right) \geq m-1 dim span ( v 1 + w , … , v m + w ) ≥ m − 1 10 假设
p
0
,
p
1
,
…
,
p
m
∈
P
(
F
)
p
0
,
p
1
,
…
,
p
m
∈
P
(
F
)
p_(0),p_(1),dots,p_(m)inP(F) p_{0}, p_{1}, \ldots, p_{m} \in \mathcal{P}(\mathbf{F}) p 0 , p 1 , … , p m ∈ P ( F ) 使得每个
p
j
p
j
p_(j) p_{j} p j 的次数为
j
j
j j j 。证明
p
0
,
p
1
,
…
,
p
m
p
0
,
p
1
,
…
,
p
m
p_(0),p_(1),dots,p_(m) p_{0}, p_{1}, \ldots, p_{m} p 0 , p 1 , … , p m 是
P
m
(
F
)
P
m
(
F
)
P_(m)(F) \mathcal{P}_{m}(\mathbf{F}) P m ( F ) 的基.
11 设
U
U
U U U 和
W
W
W W W 是
R
8
R
8
R^(8) \mathbf{R}^{8} R 8 的子空间使得
dim
U
=
3
dim
U
=
3
dim U=3 \operatorname{dim} U=3 dim U = 3 ,
dim
W
=
5
,
U
+
W
=
R
8
dim
W
=
5
,
U
+
W
=
R
8
dim W=5,U+W=R^(8) \operatorname{dim} W=5, U+W=\mathbf{R}^{8} dim W = 5 , U + W = R 8 . 证明
R
8
=
U
⊕
W
R
8
=
U
⊕
W
R^(8)=U o+W \mathbf{R}^{8}=U \oplus W R 8 = U ⊕ W .
12 设
U
U
U U U 和
W
W
W W W 均为
R
9
R
9
R^(9) \mathbf{R}^{9} R 9 的 5 维子空间。证明
U
∩
W
≠
{
0
}
U
∩
W
≠
{
0
}
U nn W!={0} U \cap W \neq\{0\} U ∩ W ≠ { 0 } .
13 设
U
U
U U U 和
W
W
W W W 均为
C
6
C
6
C^(6) \mathbf{C}^{6} C 6 的 4 维子空间。证明在
U
∩
W
U
∩
W
U nn W U \cap W U ∩ W 中存在两个向量使得其中任何一个都不是另一个的标量倍。
14 设
U
1
,
…
,
U
m
U
1
,
…
,
U
m
U_(1),dots,U_(m) U_{1}, \ldots, U_{m} U 1 , … , U m 均为
V
V
V V V 的有限维子空间。证明
U
1
+
⋯
+
U
m
U
1
+
⋯
+
U
m
U_(1)+cdots+U_(m) U_{1}+\cdots+U_{m} U 1 + ⋯ + U m 是有限维的且
dim
(
U
1
+
⋯
+
U
m
)
≤
dim
U
1
+
⋯
+
dim
U
m
dim
U
1
+
⋯
+
U
m
≤
dim
U
1
+
⋯
+
dim
U
m
dim(U_(1)+cdots+U_(m)) <= dimU_(1)+cdots+dimU_(m) \operatorname{dim}\left(U_{1}+\cdots+U_{m}\right) \leq \operatorname{dim} U_{1}+\cdots+\operatorname{dim} U_{m} dim ( U 1 + ⋯ + U m ) ≤ dim U 1 + ⋯ + dim U m 15 设
V
V
V V V 是有限维的且
dim
V
=
n
≥
1
dim
V
=
n
≥
1
dim V=n >= 1 \operatorname{dim} V=n \geq 1 dim V = n ≥ 1 。证明存在
V
V
V V V 的 1 维子空间
U
1
,
…
,
U
n
U
1
,
…
,
U
n
U_(1),dots,U_(n) U_{1}, \ldots, U_{n} U 1 , … , U n 使得
V
=
U
1
⊕
⋯
⊕
U
n
V
=
U
1
⊕
⋯
⊕
U
n
V=U_(1)o+cdots o+U_(n) V=U_{1} \oplus \cdots \oplus U_{n} V = U 1 ⊕ ⋯ ⊕ U n 16 设
U
1
,
…
,
U
m
U
1
,
…
,
U
m
U_(1),dots,U_(m) U_{1}, \ldots, U_{m} U 1 , … , U m 均为
V
V
V V V 的有限维子空间，使得
U
1
+
⋯
+
U
m
U
1
+
⋯
+
U
m
U_(1)+cdots+U_(m) U_{1}+\cdots+U_{m} U 1 + ⋯ + U m 是直和。证明
U
1
⊕
⋯
⊕
U
m
U
1
⊕
⋯
⊕
U
m
U_(1)o+cdots o+U_(m) U_{1} \oplus \cdots \oplus U_{m} U 1 ⊕ ⋯ ⊕ U m 是有限维的且
dim
U
1
⊕
⋯
⊕
U
m
=
dim
U
1
+
⋯
+
dim
U
m
dim
U
1
⊕
⋯
⊕
U
m
=
dim
U
1
+
⋯
+
dim
U
m
dimU_(1)o+cdots o+U_(m)=dimU_(1)+cdots+dimU_(m) \operatorname{dim} U_{1} \oplus \cdots \oplus U_{m}=\operatorname{dim} U_{1}+\cdots+\operatorname{dim} U_{m} dim U 1 ⊕ ⋯ ⊕ U m = dim U 1 + ⋯ + dim U m 本题深化了子空间的直和与子集的不交并这两个概念之间的类比. 特别地，把本题与下面的明显陈述比较一下：如果一个集合写成了有限子集的不交并，那么这个集合的元素个数等于这些不相交子集的元素个数之和。
17 通过与有限集合中三个子集之并的元素个数公式相类比，我们可能猜测，如果
U
1
,
U
2
,
U
3
U
1
,
U
2
,
U
3
U_(1),U_(2),U_(3) U_{1}, U_{2}, U_{3} U 1 , U 2 , U 3 是有限维向量空间的子空间, 那么
dim
(
U
1
+
U
2
+
U
3
)
=
dim
U
1
+
dim
U
2
+
dim
U
3
−
dim
(
U
1
∩
U
2
)
−
dim
(
U
1
∩
U
3
)
−
dim
(
U
2
∩
U
3
)
+
dim
(
U
1
∩
U
2
∩
U
3
)
dim
U
1
+
U
2
+
U
3
=
dim
U
1
+
dim
U
2
+
dim
U
3
−
dim
U
1
∩
U
2
−
dim
U
1
∩
U
3
−
dim
U
2
∩
U
3
+
dim
U
1
∩
U
2
∩
U
3
{:[dim(U_(1)+U_(2)+U_(3))=dimU_(1)+dimU_(2)+dimU_(3)],[-dim(U_(1)nnU_(2))-dim(U_(1)nnU_(3))-dim(U_(2)nnU_(3))],[+dim(U_(1)nnU_(2)nnU_(3))]:} \begin{aligned}
\operatorname{dim}\left(U_{1}+U_{2}+U_{3}\right)= & \operatorname{dim} U_{1}+\operatorname{dim} U_{2}+\operatorname{dim} U_{3} \\
& -\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{3}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{2} \cap U_{3}\right) \\
& +\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2} \cap U_{3}\right)
\end{aligned} dim ( U 1 + U 2 + U 3 ) = dim U 1 + dim U 2 + dim U 3 − dim ( U 1 ∩ U 2 ) − dim ( U 1 ∩ U 3 ) − dim ( U 2 ∩ U 3 ) + dim ( U 1 ∩ U 2 ∩ U 3 ) 证明它或给出反例.
