第

欧几里得在解释几何 （出自拉斐尔大约在 1510 年绘制的 《雅典学院》）。

实向量空间上的算子

上一章我们学习了有限维复向量空间上算子的结构. 本章将利用关于复向量空间上算子的结果来学习实向量空间上的算子.
本章作如下假设:
9.1 记号 F 、 V F 、 V F、V\mathbf{F} 、 VF、V
  • F F F\mathbf{F}F 表示 R R R\mathbf{R}R 或 C C C\mathbf{C}C.
  • V V VVV 表示 F F F\mathbf{F}F 上的有限维非零的向量空间。

本章的学习目标

  • 实向量空间的复化
  • 实向量空间上算子的复化
  • 有限维实向量空间上的算子有本征值或二维不变子空间
  • 特征多项式和凯莱-哈密顿定理
  • 实内积空间上的正规算子的刻画
  • 实内积空间上的等距同构的刻画

9.A 复化

向量空间的复化

我们马上就会看到，一个实向量空间 V V VVV 可以自然地嵌入到一个复向量空间中，后者称为 V V VVV 的复化。 V V VVV 上的每个算子都可以扩张为 V V VVV 的复化上的算子。因此，关于复向量空间上算子的结果可转化为实向量空间上算子的信息。
我们先定义实向量空间的复化.
9.2 定义 V V VVV 的复化（complexification of V V VVV ）， V C V C V_(C)V_{\mathrm{C}}VC
设 V V VVV 是实向量空间.
  • V V VVV 的复化（记作 V C V C V_(C)V_{\mathbf{C}}VC ） 等于 V × V V × V V xx VV \times VV×V ，其元素是有序对 ( u , v ) ( u , v ) (u,v)(u, v)(u,v) ，其中 u , v ∈ V u , v ∈ V u,v in Vu, v \in Vu,v∈V ，但我们把它写作 u + i v u + i v u+ivu+\mathrm{i} vu+iv 。
  • 定义 V C V C V_(C)V_{\mathbf{C}}VC 上的加法为
( u 1 + i v 1 ) + ( u 2 + i v 2 ) = ( u 1 + u 2 ) + i ( v 1 + v 2 ) u 1 + i v 1 + u 2 + i v 2 = u 1 + u 2 + i v 1 + v 2 (u_(1)+iv_(1))+(u_(2)+iv_(2))=(u_(1)+u_(2))+i(v_(1)+v_(2))\left(u_{1}+\mathrm{i} v_{1}\right)+\left(u_{2}+\mathrm{i} v_{2}\right)=\left(u_{1}+u_{2}\right)+\mathrm{i}\left(v_{1}+v_{2}\right)(u1+iv1)+(u2+iv2)=(u1+u2)+i(v1+v2)
其中 u 1 , v 1 , u 2 , v 2 ∈ V u 1 , v 1 , u 2 , v 2 ∈ V u_(1),v_(1),u_(2),v_(2)in Vu_{1}, v_{1}, u_{2}, v_{2} \in Vu1,v1,u2,v2∈V.
  • 定义 V C V C V_(C)V_{\mathbf{C}}VC 上的复标量乘法为
( a + b i ) ( u + i v ) = ( a u − b v ) + i ( a v + b u ) ( a + b i ) ( u + i v ) = ( a u − b v ) + i ( a v + b u ) (a+bi)(u+iv)=(au-bv)+i(av+bu)(a+b \mathrm{i})(u+\mathrm{i} v)=(a u-b v)+\mathrm{i}(a v+b u)(a+bi)(u+iv)=(au−bv)+i(av+bu)
其中 a , b ∈ R , u , v ∈ V a , b ∈ R , u , v ∈ V a,b inR,u,v in Va, b \in \mathbf{R}, u, v \in Va,b∈R,u,v∈V.
上面复标量乘法的定义起因于通常的代数性质与等式 i 2 = − 1 i 2 = − 1 i^(2)=-1\mathrm{i}^{2}=-1i2=−1. 如果记住这个诱因，就不必去背上面的定义了。
通过将 u ∈ V u ∈ V u in Vu \in Vu∈V 与 u + i 0 u + i 0 u+i0u+\mathrm{i} 0u+i0 等同起来，就可以把 V V VVV 看作 V C V C V_(C)V_{\mathbf{C}}VC 的子集。因此，从 V V VVV 构造 V C V C V_(C)V_{\mathbf{C}}VC 可以看做是从 R n R n R^(n)\mathbf{R}^{n}Rn 构造 C n C n C^(n)\mathbf{C}^{n}Cn 的推广。

9.3 V C 9.3 V C 9.3V_(C)9.3 V_{\mathrm{C}}9.3VC 是复向量空间

设 V V VVV 是实向量空间，则关于上面定义的加法和标量乘法， V C V C V_(C)V_{\mathbf{C}}VC 是复向量空间.
以上命题的证明留作习题. 注意, V C V C V_(C)V_{\mathrm{C}}VC 的加法单位元是 0 + i 0 0 + i 0 0+i00+\mathrm{i} 00+i0, 通常写作 0 .
关于复化, 你觉得该成立的可能都成立, 通常只需直接验证一下, 就像以下命题阐述的那样。

9.4 V 的基是 V C V C V_(C)V_{\mathrm{C}}VC 的基

设 V V VVV 是实向量空间.
（a）如果 v 1 , … , v n v 1 , … , v n v_(1),dots,v_(n)v_{1}, \ldots, v_{n}v1,…,vn 是 V V VVV （作为实向量空间）的基，则它也是 V C V C V_(C)V_{\mathbf{C}}VC （作为复向量空间）的基。
(b) V C V C V_(C)V_{\mathbf{C}}VC （作为复向量空间）的维数等于 V V VVV （作为实向量空间）的维数。
证明 为证（a），设 v 1 , … , v n v 1 , … , v n v_(1),dots,v_(n)v_{1}, \ldots, v_{n}v1,…,vn 是实向量空间 V V VVV 的基。那么，在复向量空间 V C V C V_(C)V_{\mathbf{C}}VC 中 span ( v 1 , … , v n ) span v 1 , … , v n span(v_(1),dots,v_(n))\operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)span(v1,…,vn) 包含了所有的 v 1 , … , v n , i v 1 , … , i v n v 1 , … , v n , i v 1 , … , i v n v_(1),dots,v_(n),iv_(1),dots,iv_(n)v_{1}, \ldots, v_{n}, \mathrm{i} v_{1}, \ldots, \mathrm{i} v_{n}v1,…,vn,iv1,…,ivn 。因此 v 1 , … , v n v 1 , … , v n v_(1),dots,v_(n)v_{1}, \ldots, v_{n}v1,…,vn 张成了复向量空间 V C V C V_(C)V_{\mathbf{C}}VC.
为证 v 1 , … , v n v 1 , … , v n v_(1),dots,v_(n)v_{1}, \ldots, v_{n}v1,…,vn 在复向量空间 V C V C V_(C)V_{\mathrm{C}}VC 中线性无关，设 λ 1 , … , λ n ∈ C λ 1 , … , λ n ∈ C lambda_(1),dots,lambda_(n)inC\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} \in \mathrm{C}λ1,…,λn∈C 且
λ 1 v 1 + ⋯ + λ n v n = 0 λ 1 v 1 + ⋯ + λ n v n = 0 lambda_(1)v_(1)+cdots+lambda_(n)v_(n)=0\lambda_{1} v_{1}+\cdots+\lambda_{n} v_{n}=0λ1v1+⋯+λnvn=0
那么, 由上面的等式和我们的定义可得
( Re λ 1 ) v 1 + ⋯ + ( Re λ n ) v n = 0 且 ( Im λ 1 ) v 1 + ⋯ + ( Im λ n ) v n = 0 . Re λ 1 v 1 + ⋯ + Re λ n v n = 0  且  Im λ 1 v 1 + ⋯ + Im λ n v n = 0 . (Relambda_(1))v_(1)+cdots+(Relambda_(n))v_(n)=0quad" 且 "quad(Imlambda_(1))v_(1)+cdots+(Imlambda_(n))v_(n)=0.\left(\operatorname{Re} \lambda_{1}\right) v_{1}+\cdots+\left(\operatorname{Re} \lambda_{n}\right) v_{n}=0 \quad \text { 且 } \quad\left(\operatorname{Im} \lambda_{1}\right) v_{1}+\cdots+\left(\operatorname{Im} \lambda_{n}\right) v_{n}=0 .(Reλ1)v1+⋯+(Reλn)vn=0 且 (Imλ1)v1+⋯+(Imλn)vn=0.
由于 v 1 , … , v n v 1 , … , v n v_(1),dots,v_(n)v_{1}, \ldots, v_{n}v1,…,vn 在 V V VVV 上是线性无关的, 由上面的等式可得 Re λ 1 = ⋯ = Re λ n = 0 Re λ 1 = ⋯ = Re λ n = 0 Relambda_(1)=cdots=Relambda_(n)=0\operatorname{Re} \lambda_{1}=\cdots=\operatorname{Re} \lambda_{n}=0Reλ1=⋯=Reλn=0 且 Im λ 1 = ⋯ = Im n = 0 Im λ 1 = ⋯ = Im n = 0 Imlambda_(1)=cdots=Im_(n)=0\operatorname{Im} \lambda_{1}=\cdots=\operatorname{Im}_{n}=0Imλ1=⋯=Imn=0 。于是 λ 1 = ⋯ = λ n = 0 λ 1 = ⋯ = λ n = 0 lambda_(1)=cdots=lambda_(n)=0\lambda_{1}=\cdots=\lambda_{n}=0λ1=⋯=λn=0 。因此 v 1 , … , v n v 1 , … , v n v_(1),dots,v_(n)v_{1}, \ldots, v_{n}v1,…,vn 在 V C V C V_(C)V_{\mathbf{C}}VC 中是线性无关的，这就完成了（a）的证明。
显然，由 (a) 立即可得 (b).

算子的复化

现在我们可以定义算子的复化.
9.5 定义 T T TTT 的复化（complexification of T T TTT ）， T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC
设 V V VVV 是实向量空间， T ∈ L ( V ) . T T ∈ L ( V ) . T T inL(V).TT \in \mathcal{L}(V) . TT∈L(V).T 的复化是定义为 T C ( u + i v ) = T u + i T v T C ( u + i v ) = T u + i T v T_(C)(u+iv)=Tu+iTvT_{\mathbf{C}}(u+\mathrm{i} v)=T u+\mathrm{i} T vTC(u+iv)=Tu+iTv 的算子 T C ∈ L ( V C ) T C ∈ L V C T_(C)inL(V_(C))T_{\mathbf{C}} \in \mathcal{L}\left(V_{\mathbf{C}}\right)TC∈L(VC) ，其中 u , v ∈ V u , v ∈ V u,v in Vu, v \in Vu,v∈V 。
请自行验证，如果 V V VVV 是实向量空间， T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V) ，则 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 确实属于 L ( V C ) L V C L(V_(C))\mathcal{L}\left(V_{\mathbf{C}}\right)L(VC) 。这里的关键是，我们对复标量乘法的定义可用来证明：对所有 u , v ∈ V u , v ∈ V u,v in Vu, v \in Vu,v∈V 和所有复数 λ λ lambda\lambdaλ 有 T C ( λ ( u + i v ) ) = λ T C ( u + i v ) T C ( λ ( u + i v ) ) = λ T C ( u + i v ) T_(C)(lambda(u+iv))=lambdaT_(C)(u+iv)T_{\mathbf{C}}(\lambda(u+\mathrm{i} v))=\lambda T_{\mathbf{C}}(u+\mathrm{i} v)TC(λ(u+iv))=λTC(u+iv).
以下例子是理解典型算子复化的好方法.
9.6 例 设 A A AAA 是 n × n n × n n xx nn \times nn×n 的实矩阵。定义 T ∈ L ( R n ) T ∈ L R n T inL(R^(n))T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{R}^{n}\right)T∈L(Rn) 为 T x = A x T x = A x Tx=AxT x=A xTx=Ax ，其中将 R n R n R^(n)\mathbf{R}^{n}Rn 中元素看作 n × 1 n × 1 n xx1n \times 1n×1 列向量。将 C n C n C^(n)\mathbf{C}^{n}Cn 等同于 R n R n R^(n)\mathbf{R}^{n}Rn 的复化，对每个 z ∈ C n z ∈ C n z inC^(n)z \in \mathbf{C}^{n}z∈Cn 有 T C z = A z T C z = A z T_(C)z=AzT_{\mathbf{C}} z=A zTCz=Az ，其中仍将 C n C n C^(n)\mathbf{C}^{n}Cn 中元素看作 n × 1 n × 1 n xx1n \times 1n×1 列向量。
也就是说，如果 T T TTT 是 A A AAA 确定的 R n R n R^(n)\mathbf{R}^{n}Rn 上的矩阵乘算子，那么复化 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 也是 A A AAA 确定的矩阵乘算子，只是作用在更大的定义域 C n C n C^(n)\mathrm{C}^{n}Cn 上。
以下命题是有意义的，因为 9.4 告诉我们，实向量空间的基也是它的复化的基.以下命题的证明由定义立即可得。

9.7 T C 9.7 T C 9.7T_(C)9.7 T_{\mathbf{C}}9.7TC 的矩阵等于 T T TTT 的矩阵

设 v 1 , … , v n v 1 , … , v n v_(1),dots,v_(n)v_{1}, \ldots, v_{n}v1,…,vn 是实向量空间 V V VVV 的基， T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V) 。则 M ( T ) = M ( T C ) M ( T ) = M T C M(T)=M(T_(C))\mathcal{M}(T)=\mathcal{M}\left(T_{\mathbf{C}}\right)M(T)=M(TC) ，其中这两个矩阵都是关于基 v 1 , … , v n v 1 , … , v n v_(1),dots,v_(n)v_{1}, \ldots, v_{n}v1,…,vn 的矩阵。
以上命题和例 9.6 提供了对复化的全面认识，因为一旦选定一个基，每个算子本质上看起来都像例 9.6. 算子的复化也能用矩阵来定义，但这里采用的方法更自然，因为它不依赖于基的选取。
我们知道，一个非零的有限维复向量空间上的每个算子都有本征值（参见 5.21），因此有一维不变子空间. 我们已经看到非零的有限维实向量空间上算子的一个例子 （例 5.8(a)），它没有本征值，从而也没有一维不变子空间. 然而，现在我们要证明一维或二维的不变子空间总是存在的. 注意观察复化是怎样给出以下定理的一个简单证明的。

9.8 每个算子都有一维或二维不变子空间

非零的有限维向量空间上的每个算子都有一维或二维不变子空间.
证明 非零的有限维复向量空间上的每个算子都有本征值（参见 5.21 ），从而有一维不变子空间。
因此，假设 V V VVV 是实向量空间， T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V) 。复化 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 有本征值 a + b i a + b i a+bia+b \mathrm{i}a+bi （由于 5.21），其中 a , b ∈ R a , b ∈ R a,b inRa, b \in \mathbf{R}a,b∈R. 因此, 存在不全为 0 的 u , v ∈ V u , v ∈ V u,v in Vu, v \in Vu,v∈V 使得 T C ( u + i v ) = ( a + b i ) ( u + i v ) T C ( u + i v ) = ( a + b i ) ( u + i v ) T_(C)(u+iv)=(a+bi)(u+iv)T_{\mathbf{C}}(u+\mathrm{i} v)=(a+b \mathrm{i})(u+\mathrm{i} v)TC(u+iv)=(a+bi)(u+iv). 利用 T C T C T_(C)T_{\mathrm{C}}TC 的定义，最后一个等式可以重新写为
T u + i T v = ( a u − b v ) + ( a v + b u ) i T u + i T v = ( a u − b v ) + ( a v + b u ) i Tu+iTv=(au-bv)+(av+bu)iT u+\mathrm{i} T v=(a u-b v)+(a v+b u) \mathrm{i}Tu+iTv=(au−bv)+(av+bu)i
于是
T u = a u − b v 且 T v = a v + b u . T u = a u − b v  且  T v = a v + b u . Tu=au-bv quad" 且 "quad Tv=av+bu.T u=a u-b v \quad \text { 且 } \quad T v=a v+b u .Tu=au−bv 且 Tv=av+bu.
令 U U UUU 等于组 u , v u , v u,vu, vu,v 在 V V VVV 中张成。则 U U UUU 是 V V VVV 的一维或二维子空间. 上面的等式表明 U U UUU 在 T T TTT 下不变.

复化的极小多项式

设 V V VVV 是实向量空间， T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V) 。反复使用 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的定义可知，对所有正整数 n n nnn 和所有 u , v ∈ V u , v ∈ V u,v in Vu, v \in Vu,v∈V 有
9.9
( T C ) n ( u + i v ) = T n u + i T n v T C n ( u + i v ) = T n u + i T n v (T_(C))^(n)(u+iv)=T^(n)u+iT^(n)v\left(T_{\mathbf{C}}\right)^{n}(u+\mathrm{i} v)=T^{n} u+\mathrm{i} T^{n} v(TC)n(u+iv)=Tnu+iTnv
注意到以下命题意味着 T C T C T_(C)T_{\mathrm{C}}TC 的极小多项式的系数都是实数.

9.10 T C 9.10 T C 9.10T_(C)9.10 T_{\mathrm{C}}9.10TC 的极小多项式等于 T T TTT 的极小多项式

设 V V VVV 是实向量空间， T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V) 。则 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的极小多项式等于 T T TTT 的极小多项式.
证明 令 p ∈ P ( R ) p ∈ P ( R ) p inP(R)p \in \mathcal{P}(\mathbf{R})p∈P(R) 表示 T T TTT 的极小多项式. 由 9.9 易知 p ( T C ) = ( p ( T ) ) C p T C = ( p ( T ) ) C p(T_(C))=(p(T))_(C)p\left(T_{\mathbf{C}}\right)=(p(T))_{\mathbf{C}}p(TC)=(p(T))C, 因此 p ( T C ) = 0 p T C = 0 p(T_(C))=0p\left(T_{\mathbf{C}}\right)=0p(TC)=0.
设 q ∈ P ( C ) q ∈ P ( C ) q inP(C)q \in \mathcal{P}(\mathbf{C})q∈P(C) 是使得 q ( T C ) = 0 q T C = 0 q(T_(C))=0q\left(T_{\mathbf{C}}\right)=0q(TC)=0 的首一多项式。则对每个 u ∈ V u ∈ V u in Vu \in Vu∈V 有 ( q ( T C ) ) ( u ) = q T C ( u ) = (q(T_(C)))(u)=\left(q\left(T_{\mathbf{C}}\right)\right)(u)=(q(TC))(u)= 0 . 令 r r rrr 表示第 j j jjj 个系数是 q q qqq 的第 j j jjj 个系数的实部的多项式, 则 r r rrr 是首一多项式且 r ( T ) = 0 r ( T ) = 0 r(T)=0r(T)=0r(T)=0. 因此 deg q = deg r ≥ deg p deg q = deg r ≥ deg p deg q=deg r >= deg p\operatorname{deg} q=\operatorname{deg} r \geq \operatorname{deg} pdegq=degr≥degp 。
综合前面两段可知， p p ppp 是 T C T C T_(C)T_{\mathrm{C}}TC 的极小多项式。

复化的本征值

现在转向算子的复化的本征值问题. 和前面一样，我们期望成立的性质都成立.
先来证明 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的所有实本征值恰为 T T TTT 的所有本征值。我们给出这一结果的两种不同的证明. 第一种证明更初等, 但第二种证明更短, 并且给出一些有用的见解。

9.11 T C 9.11 T C 9.11T_(C)9.11 T_{\mathrm{C}}9.11TC 的实本征值

设 V V VVV 是实向量空间， T ∈ L ( V ) , λ ∈ R T ∈ L ( V ) , λ ∈ R T inL(V),lambda inRT \in \mathcal{L}(V), \lambda \in \mathbf{R}T∈L(V),λ∈R. 则 λ λ lambda\lambdaλ 是 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的本征值当且仅当 λ λ lambda\lambdaλ 是 T T TTT的本征值。
证明1 首先假设 λ λ lambda\lambdaλ 是 T T TTT 的本征值. 则存在 v ∈ V v ∈ V v in Vv \in Vv∈V 且 v ≠ 0 v ≠ 0 v!=0v \neq 0v≠0 使得 T v = λ v T v = λ v Tv=lambda vT v=\lambda vTv=λv. 于是 T C v = λ v T C v = λ v T_(C)v=lambda vT_{\mathbf{C}} v=\lambda vTCv=λv ，这就证明了 λ λ lambda\lambdaλ 是 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的本征值，从而完成证明的一个方面。
要证明另一个方面，现在假设 λ λ lambda\lambdaλ 是 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的本征值. 则存在 u , v ∈ V u , v ∈ V u,v in Vu, v \in Vu,v∈V 且 u + i v ≠ 0 u + i v ≠ 0 u+iv!=0u+\mathrm{i} v \neq 0u+iv≠0使得
T C ( u + i v ) = λ ( u + i v ) T C ( u + i v ) = λ ( u + i v ) T_(C)(u+iv)=lambda(u+iv)T_{\mathbf{C}}(u+\mathrm{i} v)=\lambda(u+\mathrm{i} v)TC(u+iv)=λ(u+iv)
由上式可知 T u = λ u T u = λ u Tu=lambda uT u=\lambda uTu=λu 且 T v = λ v T v = λ v Tv=lambda vT v=\lambda vTv=λv. 因为 u ≠ 0 u ≠ 0 u!=0u \neq 0u≠0 或 v ≠ 0 v ≠ 0 v!=0v \neq 0v≠0, 所以 λ λ lambda\lambdaλ 是 T T TTT 的本征值.
证明 2 由于 8.49 , T 8.49 , T 8.49,T8.49, T8.49,T 的所有（实）本征值是 T T TTT 的极小多项式的所有（实）零点。仍由 8.49 , T C 8.49 , T C 8.49,T_(C)8.49, T_{\mathbf{C}}8.49,TC 的所有实本征值是 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的极小多项式的所有实零点。由于 9.10 ，这两个极小多项式相同。于是 T T TTT 的所有本征值恰为 T C T C T_(C)T_{\mathrm{C}}TC 的所有实本征值。
以下定理表明， T C T C T_(C)T_{\mathrm{C}}TC 对于本征值 λ λ lambda\lambdaλ 与其复共轭 λ ¯ λ ¯ bar(lambda)\bar{\lambda}λ¯ 的表现是对称的。
9.12 T C − λ I 9.12 T C − λ I 9.12T_(C)-lambda I9.12 T_{\mathbf{C}}-\lambda I9.12TC−λI 和 T C − λ ¯ I T C − λ ¯ I T_(C)- bar(lambda)IT_{\mathbf{C}}-\bar{\lambda} ITC−λ¯I
设 V V VVV 是实向量空间， T ∈ L ( V ) , λ ∈ C , j T ∈ L ( V ) , λ ∈ C , j T inL(V),lambda inC,jT \in \mathcal{L}(V), \lambda \in \mathbf{C}, jT∈L(V),λ∈C,j 是非负整数， u , v ∈ V u , v ∈ V u,v in Vu, v \in Vu,v∈V. 则
( T C − λ I ) j ( u + i v ) = 0 当且仅当 ( T C − λ ¯ I ) j ( u − i v ) = 0 . T C − λ I j ( u + i v ) = 0  当且仅当  T C − λ ¯ I j ( u − i v ) = 0 .  (T_(C)-lambda I)^(j)(u+iv)=0" 当且仅当 "(T_(C)-( bar(lambda))I)^(j)(u-iv)=0". "\left(T_{\mathbf{C}}-\lambda I\right)^{j}(u+\mathrm{i} v)=0 \text { 当且仅当 }\left(T_{\mathbf{C}}-\bar{\lambda} I\right)^{j}(u-\mathrm{i} v)=0 \text {. }(TC−λI)j(u+iv)=0 当且仅当 (TC−λ¯I)j(u−iv)=0. 
证明 对 j j jjj 用归纳法. 首先注意到, 若 j = 0 j = 0 j=0j=0j=0, 则（因为一个算子的 0 次幂是恒等算子）这个定理断言 u + i v = 0 u + i v = 0 u+iv=0u+\mathrm{i} v=0u+iv=0 当且仅当 u − i v = 0 u − i v = 0 u-iv=0u-\mathrm{i} v=0u−iv=0 ，这显然是对的。
于是，现在假设 j ≥ 1 j ≥ 1 j >= 1j \geq 1j≥1 且定理对 j − 1 j − 1 j-1j-1j−1 成立。设 ( T C − λ I ) j ( u + i v ) = 0 T C − λ I j ( u + i v ) = 0 (T_(C)-lambda I)^(j)(u+iv)=0\left(T_{\mathbf{C}}-\lambda I\right)^{j}(u+\mathrm{i} v)=0(TC−λI)j(u+iv)=0 。则
9.13
( T C − λ I ) j − 1 ( ( T C − λ I ) ( u + i v ) ) = 0 T C − λ I j − 1 T C − λ I ( u + i v ) = 0 (T_(C)-lambda I)^(j-1)((T_(C)-lambda I)(u+iv))=0\left(T_{\mathbf{C}}-\lambda I\right)^{j-1}\left(\left(T_{\mathbf{C}}-\lambda I\right)(u+\mathrm{i} v)\right)=0(TC−λI)j−1((TC−λI)(u+iv))=0
记 λ = a + b i λ = a + b i lambda=a+bi\lambda=a+b \mathrm{i}λ=a+bi, 其中 a , b ∈ R a , b ∈ R a,b inRa, b \in \mathbf{R}a,b∈R, 我们有
9.14
( T C − λ I ) ( u + i v ) = ( T u − a u + b v ) + i ( T v − a v − b u ) T C − λ I ( u + i v ) = ( T u − a u + b v ) + i ( T v − a v − b u ) (T_(C)-lambda I)(u+iv)=(Tu-au+bv)+i(Tv-av-bu)\left(T_{\mathbf{C}}-\lambda I\right)(u+\mathrm{i} v)=(T u-a u+b v)+\mathrm{i}(T v-a v-b u)(TC−λI)(u+iv)=(Tu−au+bv)+i(Tv−av−bu)
且
9.15
( T C − λ ¯ I ) ( u − i v ) = ( T u − a u + b v ) − i ( T v − a v − b u ) T C − λ ¯ I ( u − i v ) = ( T u − a u + b v ) − i ( T v − a v − b u ) (T_(C)-( bar(lambda))I)(u-iv)=(Tu-au+bv)-i(Tv-av-bu)\left(T_{\mathbf{C}}-\bar{\lambda} I\right)(u-\mathrm{i} v)=(T u-a u+b v)-\mathrm{i}(T v-a v-b u)(TC−λ¯I)(u−iv)=(Tu−au+bv)−i(Tv−av−bu)
由归纳法假设以及 9.13 和 9.14 可得
( T C − λ ¯ I ) j − 1 ( ( T u − a u + b v ) − i ( T v − a v − b u ) ) = 0 T C − λ ¯ I j − 1 ( ( T u − a u + b v ) − i ( T v − a v − b u ) ) = 0 (T_(C)-( bar(lambda))I)^(j-1)((Tu-au+bv)-i(Tv-av-bu))=0\left(T_{\mathbf{C}}-\bar{\lambda} I\right)^{j-1}((T u-a u+b v)-\mathrm{i}(T v-a v-b u))=0(TC−λ¯I)j−1((Tu−au+bv)−i(Tv−av−bu))=0
现在, 由上式和 9.15 可得 ( T C − λ ¯ I ) j ( u − i v ) = 0 T C − λ ¯ I j ( u − i v ) = 0 (T_(C)-( bar(lambda))I)^(j)(u-iv)=0\left(T_{\mathbf{C}}-\bar{\lambda} I\right)^{j}(u-\mathrm{i} v)=0(TC−λ¯I)j(u−iv)=0, 这就完成了证明的一个方面.
在上面的证明中用 λ ¯ λ ¯ bar(lambda)\bar{\lambda}λ¯ 代替 λ λ lambda\lambdaλ 并用 − v − v -v-v−v 代替 v v vvv, 即可证明另一个方面.
上述定理有一个重要推论如下, 它说的是如果一个数是 T C T C T_(C)T_{\mathrm{C}}TC 的本征值, 则它的复共轭也是 T C T C T_(C)T_{\mathrm{C}}TC 的本征值。

9.16 T C 9.16 T C 9.16T_(C)9.16 T_{\mathrm{C}}9.16TC 的非实的本征值成对出现

设 V V VVV 是实向量空间， T ∈ L ( V ) , λ ∈ C T ∈ L ( V ) , λ ∈ C T inL(V),lambda inCT \in \mathcal{L}(V), \lambda \in \mathbf{C}T∈L(V),λ∈C 。则 λ λ lambda\lambdaλ 是 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的本征值当且仅当 λ ¯ λ ¯ bar(lambda)\bar{\lambda}λ¯ 是 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC的本征值。
证明 在 9.12 中取 j = 1 j = 1 j=1j=1j=1.
由定义, 实向量空间上算子的本征值是实数. 因此, 数学家有时非正式地提到实向量空间上算子的复本征值时，他们指的是算子的复化的本征值。
回想一下，本征值的重数定义为相应于这个本征值的广义本征空间的维数（参见 8.24). 以下命题是说, 复化的本征值的重数等于其复共轭的重数.

9.17 λ 9.17 λ 9.17 lambda9.17 \lambda9.17λ 的重数等于 λ ¯ λ ¯ bar(lambda)\bar{\lambda}λ¯ 的重数

设 V V VVV 是实向量空间， T ∈ L ( V ) , λ ∈ C T ∈ L ( V ) , λ ∈ C T inL(V),lambda inCT \in \mathcal{L}(V), \lambda \in \mathbf{C}T∈L(V),λ∈C 是 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的本征值. 则 λ λ lambda\lambdaλ 作为 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的本征值的重数等于 λ ¯ λ ¯ bar(lambda)\bar{\lambda}λ¯ 作为 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的本征值的重数。
证明 设 u 1 + i v 1 , … , u m + i v m u 1 + i v 1 , … , u m + i v m u_(1)+iv_(1),dots,u_(m)+iv_(m)u_{1}+\mathrm{i} v_{1}, \ldots, u_{m}+\mathrm{i} v_{m}u1+iv1,…,um+ivm 是广义本征空间 G ( λ , T C ) G λ , T C G(lambda,T_(C))G\left(\lambda, T_{\mathbf{C}}\right)G(λ,TC) 的基，其中 u 1 , … , u m , v 1 , … u 1 , … , u m , v 1 , … u_(1),dots,u_(m),v_(1),dotsu_{1}, \ldots, u_{m}, v_{1}, \ldotsu1,…,um,v1,… ， v m ∈ V v m ∈ V v_(m)in Vv_{m} \in Vvm∈V 。则利用 9.12 , 简单验证即知 u 1 − i v 1 , … , u m − i v m u 1 − i v 1 , … , u m − i v m u_(1)-iv_(1),dots,u_(m)-iv_(m)u_{1}-\mathrm{i} v_{1}, \ldots, u_{m}-\mathrm{i} v_{m}u1−iv1,…,um−ivm 是广义本征空间 G ( λ ¯ , T C ) G λ ¯ , T C G(( bar(lambda)),T_(C))G\left(\bar{\lambda}, T_{\mathbf{C}}\right)G(λ¯,TC)的基. 因此， λ λ lambda\lambdaλ 和 λ ¯ λ ¯ bar(lambda)\bar{\lambda}λ¯ 作为 T C T C T_(C)T_{\mathrm{C}}TC 的本征值都有重数 m m mmm 。
9.18 例 设 T ∈ L ( R 3 ) T ∈ L R 3 T inL(R^(3))T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{R}^{3}\right)T∈L(R3) 定义为
T ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( 2 x 1 , x 2 − x 3 , x 2 + x 3 ) T x 1 , x 2 , x 3 = 2 x 1 , x 2 − x 3 , x 2 + x 3 T(x_(1),x_(2),x_(3))=(2x_(1),x_(2)-x_(3),x_(2)+x_(3))T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(2 x_{1}, x_{2}-x_{3}, x_{2}+x_{3}\right)T(x1,x2,x3)=(2x1,x2−x3,x2+x3)
T T TTT 关于 R 3 R 3 R^(3)\mathbf{R}^{3}R3 的标准基的矩阵是
( 2 0 0 0 1 − 1 0 1 1 ) 2 0 0 0 1 − 1 0 1 1 ([2,0,0],[0,1,-1],[0,1,1])\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)(20001−1011)
请自行验证， 2 是 T T TTT 的本征值，重数为 1 , T 1 , T 1,T1, T1,T 没有其他的本征值。
如果我们将 R 3 R 3 R^(3)\mathbf{R}^{3}R3 的复化与 C 3 C 3 C^(3)\mathbf{C}^{3}C3 看成一样的，则 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 关于 C 3 C 3 C^(3)\mathbf{C}^{3}C3 的标准基的矩阵是上面的矩阵。请自行验证， T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的本征值是 2 , 1 + i , 1 − i 2 , 1 + i , 1 − i 2,1+i,1-i2,1+\mathrm{i}, 1-\mathrm{i}2,1+i,1−i ，重数均为 1 。于是， T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的非实的本征值是成对的，其中每一个都是另一个的复共辄，且它们的重数相同，正如 9.17 预期的那样。
我们已经见过 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 上没有本征值的算子的例子（例 5.8(a)）。以下定理表明， R 3 R 3 R^(3)\mathbf{R}^{3}R3上没有这样的例子。

9.19 奇数维向量空间上的算子有本征值

奇数维实向量空间上的每个算子都有本征值.
证明 设 V V VVV 是奇数维实向量空间， T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V) 。因为 T C T C T_(C)T_{\mathrm{C}}TC 的非实的本征值是成对出现的，并且它们的重数相等（由于 9.17），所以 T C T C T_(C)T_{\mathrm{C}}TC 的所有非实的本征值的重数之和为偶数。
由于 8.26, T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的所有本征值的重数之和等于 V C V C V_(C)V_{\mathbf{C}}VC 的（复）维数，所以上一段的结论表明 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 有实本征值。由于 9.11 , T C 9.11 , T C 9.11,T_(C)9.11, T_{\mathbf{C}}9.11,TC 的每个实本征值也是 T T TTT 的本征值。

复化的特征多项式

上一章我们定义了有限维复向量空间上算子的特征多项式（参见 8.34）。要定义有限维实向量空间上算子的特征多项式，以下命题是关键的一步。

9.20 T C 9.20 T C 9.20T_(C)9.20 T_{\mathrm{C}}9.20TC 的特征多项式

设 V V VVV 是实向量空间， T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V) 。则 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的特征多项式的系数都是实数.
证明 设 λ λ lambda\lambdaλ 是 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的非实的本征值，重数为 m m mmm 。由于 9.17 , λ ¯ 9.17 , λ ¯ 9.17, bar(lambda)9.17, \bar{\lambda}9.17,λ¯ 也是 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的重数为 m m mmm 的本征值. 于是， T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的特征多项式包含因子 ( z − λ ) m ( z − λ ) m (z-lambda)^(m)(z-\lambda)^{m}(z−λ)m 和 ( z − λ ¯ ) m ( z − λ ¯ ) m (z- bar(lambda))^(m)(z-\bar{\lambda})^{m}(z−λ¯)m 。将这两个因子相乘，得到
( z − λ ) m ( z − λ ¯ ) m = ( z 2 − 2 ( Re λ ) z + | λ | 2 ) m ( z − λ ) m ( z − λ ¯ ) m = z 2 − 2 ( Re λ ) z + | λ | 2 m (z-lambda)^(m)(z- bar(lambda))^(m)=(z^(2)-2(Re lambda)z+|lambda|^(2))^(m)(z-\lambda)^{m}(z-\bar{\lambda})^{m}=\left(z^{2}-2(\operatorname{Re} \lambda) z+|\lambda|^{2}\right)^{m}(z−λ)m(z−λ¯)m=(z2−2(Reλ)z+|λ|2)m
上式右边的多项式的系数都是实数。
T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的特征多项式是上面形式的项和 ( z − t ) d ( z − t ) d (z-t)^(d)(z-t)^{d}(z−t)d 形式的项的乘积，其中 t t ttt 是 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的实本征值，重数为 d d ddd 。因此， T C T C T_(C)T_{\mathrm{C}}TC 的特征多项式的系数都是实的。
现在我们可以将有限维实向量空间上的算子的特征多项式定义为它的复化的特征多项式。

9.21 定义 特征多项式（characteristic polynomial）

设 V V VVV 是实向量空间， T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V). 则 T T TTT 的特征多项式定义为 T C T C T_(C)T_{\mathrm{C}}TC 的特征多项式.
9.22 例 设 T ∈ L ( R 3 ) T ∈ L R 3 T inL(R^(3))T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{R}^{3}\right)T∈L(R3) 定义为
T ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( 2 x 1 , x 2 − x 3 , x 2 + x 3 ) T x 1 , x 2 , x 3 = 2 x 1 , x 2 − x 3 , x 2 + x 3 T(x_(1),x_(2),x_(3))=(2x_(1),x_(2)-x_(3),x_(2)+x_(3))T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(2 x_{1}, x_{2}-x_{3}, x_{2}+x_{3}\right)T(x1,x2,x3)=(2x1,x2−x3,x2+x3)
我们在 9.18 中已经注意到, T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的本征值是 2 , 1 + i , 1 − i 2 , 1 + i , 1 − i 2,1+i,1-i2,1+\mathrm{i}, 1-\mathrm{i}2,1+i,1−i, 重数均为 1 . 于是复化 T C T C T_(C)T_{\mathrm{C}}TC的特征多项式是 ( z − 2 ) ( z − ( 1 + i ) ) ( z − ( 1 − i ) ) ( z − 2 ) ( z − ( 1 + i ) ) ( z − ( 1 − i ) ) (z-2)(z-(1+i))(z-(1-i))(z-2)(z-(1+\mathrm{i}))(z-(1-\mathrm{i}))(z−2)(z−(1+i))(z−(1−i)), 即 z 3 − 4 z 2 + 6 z − 4 z 3 − 4 z 2 + 6 z − 4 z^(3)-4z^(2)+6z-4z^{3}-4 z^{2}+6 z-4z3−4z2+6z−4. 因此, T T TTT 的特征多项式也是 z 3 − 4 z 2 + 6 z − 4 z 3 − 4 z 2 + 6 z − 4 z^(3)-4z^(2)+6z-4z^{3}-4 z^{2}+6 z-4z3−4z2+6z−4.

9.23 特征多项式的次数和零点

设 V V VVV 是实向量空间， T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V). 则
(a) T T TTT 的特征多项式的系数都是实的;
(b) T T TTT 的特征多项式的次数为 dim V dim V dim V\operatorname{dim} VdimV ；
(c) T T TTT 的所有本征值恰为 T T TTT 的特征多项式的所有实零点.
证明由 9.20 知 (a) 成立。
由 8.36(a) 知 (b) 成立.
由于 8.36 (b), T T TTT 的特征多项式的所有实零点恰好是 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 的所有实本征值. 由于 9.11 , 它们是 T T TTT 的所有本征值. 于是 (c) 成立.
上一章我们对复向量空间证明了凯莱-哈密顿定理 8.37. 现在也能对实向量空间证明它。

9.24 凯莱-哈密顿定理

设 T ∈ L ( V ) , q T ∈ L ( V ) , q T inL(V),qT \in \mathcal{L}(V), qT∈L(V),q 是 T T TTT 的特征多项式，则 q ( T ) = 0 q ( T ) = 0 q(T)=0q(T)=0q(T)=0.
证明 对复向量空间我们已经证明这一定理. 因此假设 V V VVV 是实向量空间.
由复的凯莱-哈密顿定理 8.37 可知 q ( T C ) = 0 q T C = 0 q(T_(C))=0q\left(T_{\mathbf{C}}\right)=0q(TC)=0. 因此我们也有 q ( T ) = 0 q ( T ) = 0 q(T)=0q(T)=0q(T)=0.
9.25 例 设 T ∈ L ( R 3 ) T ∈ L R 3 T inL(R^(3))T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{R}^{3}\right)T∈L(R3) 定义为
T ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( 2 x 1 , x 2 − x 3 , x 2 + x 3 ) . T x 1 , x 2 , x 3 = 2 x 1 , x 2 − x 3 , x 2 + x 3 . T(x_(1),x_(2),x_(3))=(2x_(1),x_(2)-x_(3),x_(2)+x_(3)).T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(2 x_{1}, x_{2}-x_{3}, x_{2}+x_{3}\right) .T(x1,x2,x3)=(2x1,x2−x3,x2+x3).
如我们在 9.22 中所见， T T TTT 的特征多项式是 z 3 − 4 z 2 + 6 z − 4 z 3 − 4 z 2 + 6 z − 4 z^(3)-4z^(2)+6z-4z^{3}-4 z^{2}+6 z-4z3−4z2+6z−4 。于是，由凯莱-哈密顿定理可知 T 3 − 4 T 2 + 6 T − 4 I = 0 T 3 − 4 T 2 + 6 T − 4 I = 0 T^(3)-4T^(2)+6T-4I=0T^{3}-4 T^{2}+6 T-4 I=0T3−4T2+6T−4I=0 ，这也可以通过直接的计算来验证。
现在可以证明另一个我们之前只对复的情况才知道的结果。

9.26 特征多项式是极小多项式的多项式倍

设 T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V). 则
（a） T T TTT 的极小多项式的次数至多是 dim V dim V dim V\operatorname{dim} VdimV ；
(b) T T TTT 的特征多项式是 T T TTT 的极小多项式的多项式倍。
证明 由凯莱-哈密顿定理立即可得（a）。
由凯莱-哈密顿定理和 8.46 可得 (b).

习题 9.A

1 证明 9.3.
2 设 V V VVV 是实向量空间， T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V) 。证明 T C ∈ L ( V C ) T C ∈ L V C T_(C)inL(V_(C))T_{\mathbf{C}} \in \mathcal{L}\left(V_{\mathbf{C}}\right)TC∈L(VC).
3 设 V V VVV 是实向量空间， v 1 , … , v m ∈ V v 1 , … , v m ∈ V v_(1),dots,v_(m)in Vv_{1}, \ldots, v_{m} \in Vv1,…,vm∈V 。证明： v 1 , … , v m v 1 , … , v m v_(1),dots,v_(m)v_{1}, \ldots, v_{m}v1,…,vm 在 V C V C V_(C)V_{\mathrm{C}}VC 上线性无关当且仅当 v 1 , … , v m v 1 , … , v m v_(1),dots,v_(m)v_{1}, \ldots, v_{m}v1,…,vm 在 V V VVV 上线性无关。
4 设 V V VVV 是实向量空间， v 1 , … , v m ∈ V v 1 , … , v m ∈ V v_(1),dots,v_(m)in Vv_{1}, \ldots, v_{m} \in Vv1,…,vm∈V 。证明： v 1 , … , v m v 1 , … , v m v_(1),dots,v_(m)v_{1}, \ldots, v_{m}v1,…,vm 张成 V C V C V_(C)V_{\mathbf{C}}VC 当且仅当 v 1 , … v 1 , … v_(1),dotsv_{1}, \ldotsv1,…,, v m v m v_(m)v_{m}vm 张成 V V VVV 。
5 设 V V VVV 是实向量空间， S , T ∈ L ( V ) S , T ∈ L ( V ) S,T inL(V)S, T \in \mathcal{L}(V)S,T∈L(V) 。证明： ( S + T ) C = S C + T C , ( λ T ) C = λ T C ( S + T ) C = S C + T C , ( λ T ) C = λ T C (S+T)_(C)=S_(C)+T_(C),(lambda T)_(C)=lambdaT_(C)(S+T)_{\mathbf{C}}=S_{\mathbf{C}}+T_{\mathbf{C}},(\lambda T)_{\mathbf{C}}=\lambda T_{\mathbf{C}}(S+T)C=SC+TC,(λT)C=λTC ( λ ∈ R ) ( λ ∈ R ) (lambda inR)(\lambda \in \mathbf{R})(λ∈R).
6 设 V V VVV 是实向量空间， T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V) ，证明： T C T C T_(C)T_{\mathrm{C}}TC 可逆当且仅当 T T TTT 可逆。
7 设 V V VVV 是实向量空间， N ∈ L ( V ) N ∈ L ( V ) N inL(V)N \in \mathcal{L}(V)N∈L(V) 。证明： N C N C N_(C)N_{\mathbf{C}}NC 是幂零的当且仅当 N N NNN 是幂零的.
8 设 T ∈ L ( R 3 ) , 5 , 7 T ∈ L R 3 , 5 , 7 T inL(R^(3)),5,7T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{R}^{3}\right), 5,7T∈L(R3),5,7 是 T T TTT 的本征值. 证明 T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 没有非实的本征值.
9 证明没有算子 T ∈ L ( R 7 ) T ∈ L R 7 T inL(R^(7))T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{R}^{7}\right)T∈L(R7) 使得 ( T 2 + T + I ) T 2 + T + I (T^(2)+T+I)\left(T^{2}+T+I\right)(T2+T+I) 是幂零的.
10 找出一个算子 T ∈ L ( C 7 ) T ∈ L C 7 T inL(C^(7))T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{C}^{7}\right)T∈L(C7) 使得 ( T 2 + T + I ) T 2 + T + I (T^(2)+T+I)\left(T^{2}+T+I\right)(T2+T+I) 是幕零的。
11 设 V V VVV 是实向量空间， T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V) ，存在 b , c ∈ R b , c ∈ R b,c inRb, c \in \mathbf{R}b,c∈R 使得 T 2 + b T + c I = 0 T 2 + b T + c I = 0 T^(2)+bT+cI=0T^{2}+b T+c I=0T2+bT+cI=0 。证明: T T TTT有本征值当且仅当 b 2 ≥ 4 c b 2 ≥ 4 c b^(2) >= 4cb^{2} \geq 4 cb2≥4c 。
12 设 V V VVV 是实向量空间， T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V) ，存在 b , c ∈ R b , c ∈ R b,c inRb, c \in \mathbf{R}b,c∈R 使得 b 2 < 4 c b 2 < 4 c b^(2) < 4cb^{2}<4 cb2<4c 且 ( T 2 + b T + c I ) T 2 + b T + c I (T^(2)+bT+cI)\left(T^{2}+b T+c I\right)(T2+bT+cI) 是幂零的. 证明 T T TTT 没有本征值。
13 设 V V VVV 是实向量空间， T ∈ L ( V ) , b , c ∈ R T ∈ L ( V ) , b , c ∈ R T inL(V),b,c inRT \in \mathcal{L}(V), b, c \in \mathbf{R}T∈L(V),b,c∈R 使得 b 2 < 4 c b 2 < 4 c b^(2) < 4cb^{2}<4 cb2<4c 。证明：对于每个正整数 j j jjj, null ( T 2 + b T + c I ) j null T 2 + b T + c I j null(T^(2)+bT+cI)^(j)\operatorname{null}\left(T^{2}+b T+c I\right)^{j}null(T2+bT+cI)j 的维数都是偶数。
14 设 V V VVV 是实向量空间， dim V = 8 , T ∈ L ( V ) dim V = 8 , T ∈ L ( V ) dim V=8,T inL(V)\operatorname{dim} V=8, T \in \mathcal{L}(V)dimV=8,T∈L(V) 使得 ( T 2 + T + I ) T 2 + T + I (T^(2)+T+I)\left(T^{2}+T+I\right)(T2+T+I) 是幂零的. 证明 ( T 2 + T + I ) 4 = 0 T 2 + T + I 4 = 0 (T^(2)+T+I)^(4)=0\left(T^{2}+T+I\right)^{4}=0(T2+T+I)4=0.
15 设 V V VVV 是实向量空间， T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V) 没有本征值. 证明： V V VVV 的每个在 T T TTT 下不变的子空间都是偶数维的。
16 设 V V VVV 是实向量空间. 证明：存在 T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V) 使得 T 2 = − I T 2 = − I T^(2)=-IT^{2}=-IT2=−I 当且仅当 V V VVV 是偶数维的。
17 设 V V VVV 是实向量空间， T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V) 满足 T 2 = − I T 2 = − I T^(2)=-IT^{2}=-IT2=−I 。在 V V VVV 上定义复标量乘法如下：若 a , b ∈ R a , b ∈ R a,b inRa, b \in \mathbf{R}a,b∈R 则 ( a + b i ) v = a v + b T v ( a + b i ) v = a v + b T v (a+bi)v=av+bTv(a+b \mathrm{i}) v=a v+b T v(a+bi)v=av+bTv. 证明:
(a) 上面定义的 V V VVV 上复标量乘法和 V V VVV 上的加法使 V V VVV 成为一个复向量空间.
(b) V V VVV 作为复向量空间的维数是 V V VVV 作为实向量空间的维数的一半。
18 设 V V VVV 是实向量空间， T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V). 证明以下条件等价：
(a) T C T C T_(C)T_{\mathrm{C}}TC 的所有本征值都是实的.
(b) V V VVV 有一个基使得 T T TTT 关于这个基有上三角矩阵。
(c) V V VVV 有一个由 T T TTT 的广义本征向量组成的基.
19 设 V V VVV 是实向量空间， dim V = n , T ∈ L ( V ) dim V = n , T ∈ L ( V ) dim V=n,T inL(V)\operatorname{dim} V=n, T \in \mathcal{L}(V)dimV=n,T∈L(V) 使得 null T n − 2 ≠ null T n − 1 null T n − 2 ≠ null T n − 1 nullT^(n-2)!=nullT^(n-1)\operatorname{null} T^{n-2} \neq \operatorname{null} T^{n-1}nullTn−2≠nullTn−1 。证明： T T TTT 最多有两个不同的本征值， T C T C T_(C)T_{\mathbf{C}}TC 没有非实的本征值。

9.B 实内积空间上的算子

现在将注意力转向内积空间情形。我们将在实内积空间上给出正规算子的一个完整描述。定理9.34证明的一个关键步骤需要上一节的定理 9.8：有限维实向量空间上的算子有一维或二维不变子空间。
在描述了实内积空间上的正规算子之后，我们将利用这个结果来完整描述实内积空间上的等距同构。

实内积空间上的正规算子

复谱定理 7.24 完整描述了复内积空间上的正规算子。本小节将完整描述实内积空间上的正规算子。
我们先描述二维实内积空间上非自伴的正规算子。

9.27 非自伴的正规算子

设 V V VVV 是二维实内积空间， T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V). 则以下条件等价:
(a) T T TTT 是正规的但不是自伴的。
(b) T T TTT 关于 V V VVV 的每个规范正交基的矩阵都有
( a − b b a ) a − b b a ([a,-b],[b,a])\left(\begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array}\right)(a−bba)
的形式，其中 b ≠ 0 b ≠ 0 b!=0b \neq 0b≠0 。
（c） T T TTT 关于 V V VVV 的某个规范正交基的矩阵有
( a − b b a ) a − b b a ([a,-b],[b,a])\left(\begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array}\right)(a−bba)
的形式，其中 b > 0 b > 0 b > 0b>0b>0 。
证明 首先假设 (a) 成立, 则 T T TTT 是正规的但不是自伴的. 设 e 1 , e 2 e 1 , e 2 e_(1),e_(2)e_{1}, e_{2}e1,e2 是 V V VVV 的规范正交基,且
9.28
M ( T , ( e 1 , e 2 ) ) = ( a c b d ) . M T , e 1 , e 2 = a      c b      d . M(T,(e_(1),e_(2)))=([a,c],[b,d]).\mathcal{M}\left(T,\left(e_{1}, e_{2}\right)\right)=\left(\begin{array}{ll} a & c \\ b & d \end{array}\right) .M(T,(e1,e2))=(acbd).
则 ‖ T e 1 ‖ 2 = a 2 + b 2 T e 1 2 = a 2 + b 2 ||Te_(1)||^(2)=a^(2)+b^(2)\left\|T e_{1}\right\|^{2}=a^{2}+b^{2}‖Te1‖2=a2+b2 且 ‖ T ∗ e 1 ‖ 2 = a 2 + c 2 T ∗ e 1 2 = a 2 + c 2 ||T^(**)e_(1)||^(2)=a^(2)+c^(2)\left\|T^{*} e_{1}\right\|^{2}=a^{2}+c^{2}‖T∗e1‖2=a2+c2 。因为 T T TTT 是正规的，根据 7.20 有 ‖ T e 1 ‖ = T e 1 = ||Te_(1)||=\left\|T e_{1}\right\|=‖Te1‖= ‖ T ∗ e 1 ‖ T ∗ e 1 ||T^(**)e_(1)||\left\|T^{*} e_{1}\right\|‖T∗e1‖. 于是 b 2 = c 2 b 2 = c 2 b^(2)=c^(2)b^{2}=c^{2}b2=c2 。因此 c = b c = b c=bc=bc=b 或 c = − b c = − b c=-bc=-bc=−b 。但是 c ≠ b c ≠ b c!=bc \neq bc≠b, 否则从 9.28 的矩阵可以看出 T T TTT 将是自伴的. 因此 c = − b c = − b c=-bc=-bc=−b, 于是
9.29
M ( T , ( e 1 , e 2 ) ) = ( a − b b d ) . M T , e 1 , e 2 = a − b b d . M(T,(e_(1),e_(2)))=([a,-b],[b,d]).\mathcal{M}\left(T,\left(e_{1}, e_{2}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc} a & -b \\ b & d \end{array}\right) .M(T,(e1,e2))=(a−bbd).
T ∗ T ∗ T^(**)T^{*}T∗ 的矩阵是上面矩阵的转置。利用矩阵乘法计算矩阵 T T ∗ T T ∗ TT^(**)T T^{*}TT∗ 和矩阵 T ∗ T T ∗ T T^(**)TT^{*} TT∗T （请现在就做一下）。因为 T T TTT 是正规的，所以这两个矩阵相等。这两个矩阵的左上角的元素相等，
所以 b d = a b b d = a b bd=abb d=a bbd=ab. 现在 b ≠ 0 b ≠ 0 b!=0b \neq 0b≠0, 否则从 9.28 的矩阵可以看出 T T TTT 将是自伴的. 于是 d = a d = a d=ad=ad=a,这就证明了 (a) 蕴涵 (b).
现在假设（b）成立，要证（c）成立。取 V V VVV 的一个规范正交基 e 1 , e 2 e 1 , e 2 e_(1),e_(2)e_{1}, e_{2}e1,e2 。我们知道 T T TTT关于这个基的矩阵有（b）给出的形式，且 b ≠ 0 b ≠ 0 b!=0b \neq 0b≠0 。若 b > 0 b > 0 b > 0b>0b>0 ，则（c）成立，从而（b）蕴涵（c）。若 b < 0 b < 0 b < 0b<0b<0 ，请自行验证， T T TTT 关于规范正交基 e 1 , − e 2 e 1 , − e 2 e_(1),-e_(2)e_{1},-e_{2}e1,−e2 的矩阵等于 ( a b − b a ) a b − b a ([a,b],[-b,a])\left(\begin{array}{cc}a & b \\ -b & a\end{array}\right)(ab−ba) ，其中 − b > 0 − b > 0 -b > 0-b>0−b>0 。因此在这种情况下也有（b）蕴涵（c）。
现在假设（c）成立，则 T T TTT 关于某个规范正交基的矩阵有（c）给出的形式，且 b > 0 b > 0 b > 0b>0b>0 。显然， T T TTT 的矩阵不等于它的转置（因为 b ≠ 0 b ≠ 0 b!=0b \neq 0b≠0 ）。因此 T T TTT 不是自伴的。现在，利用矩阵乘法验证矩阵 T T ∗ T T ∗ TT^(**)T T^{*}TT∗ 和矩阵 T ∗ T T ∗ T T^(**)TT^{*} TT∗T 相等。 也就是说 T T ∗ = T ∗ T T T ∗ = T ∗ T TT^(**)=T^(**)TT T^{*}=T^{*} TTT∗=T∗T 。因此 T T TTT 是正规的. 于是（c）蕴涵（a）。
以下定理告诉我们，正规算子限制到不变子空间上仍是正规的。这将允许我们对 dim V dim V dim V\operatorname{dim} VdimV 用归纳法来证明我们对正规算子的刻画（定理9.34）。

9.30 正规算子和不变子空间

设 V V VVV 是内积空间， T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V) 是正规的， U U UUU 是 V V VVV 的在 T T TTT 下不变的子空间. 则
(a) U ⊥ U ⊥ U^(_|_)U^{\perp}U⊥ 在 T T TTT 下不变;
(b) U U UUU 在 T ∗ T ∗ T^(**)T^{*}T∗ 下不变;
(c) ( T | U ) ∗ = ( T ∗ ) | U T U ∗ = T ∗ U (T|_(U))^(**)=(T^(**))|_(U)\left(\left.T\right|_{U}\right)^{*}=\left.\left(T^{*}\right)\right|_{U}(T|U)∗=(T∗)|U ；
(d) T | U ∈ L ( U ) T U ∈ L ( U ) T|_(U)inL(U)\left.T\right|_{U} \in \mathcal{L}(U)T|U∈L(U) 和 T | U ⊥ ∈ L ( U ⊥ ) T U ⊥ ∈ L U ⊥ T|_(U^(_|_))inL(U^(_|_))\left.T\right|_{U^{\perp}} \in \mathcal{L}\left(U^{\perp}\right)T|U⊥∈L(U⊥) 都是正规算子.
证明 首先证明（a）。设 e 1 , … , e m e 1 , … , e m e_(1),dots,e_(m)e_{1}, \ldots, e_{m}e1,…,em 是 U U UUU 的规范正交基。将其扩充成 V V VVV 的规范正交基 e 1 , … , e m , f 1 , … , f n e 1 , … , e m , f 1 , … , f n e_(1),dots,e_(m),f_(1),dots,f_(n)e_{1}, \ldots, e_{m}, f_{1}, \ldots, f_{n}e1,…,em,f1,…,fn （由 6.35 知这是可行的）。因为 U U UUU 在 T T TTT 下不变，所以每个 T e j T e j Te_(j)T e_{j}Tej都是 e 1 , … , e m e 1 , … , e m e_(1),dots,e_(m)e_{1}, \ldots, e_{m}e1,…,em 的线性组合。于是 T T TTT 关于基 e 1 , … , e m , f 1 , … , f n e 1 , … , e m , f 1 , … , f n e_(1),dots,e_(m),f_(1),dots,f_(n)e_{1}, \ldots, e_{m}, f_{1}, \ldots, f_{n}e1,…,em,f1,…,fn 的矩阵形如
这里， A A AAA 是 m × m m × m m xx mm \times mm×m 矩阵， 0 是所有元素均为 0 的 n × m n × m n xx mn \times mn×m 矩阵， B B BBB 是 m × n m × n m xx nm \times nm×n 矩阵， C C CCC是 n × n n × n n xx nn \times nn×n 矩阵。为了方便，沿着矩阵的上边和左边列出了基。
根据 6.25 ，对每个 j ∈ { 1 , … , m } , ‖ T e j ‖ 2 j ∈ { 1 , … , m } , T e j 2 j in{1,dots,m},||Te_(j)||^(2)j \in\{1, \ldots, m\},\left\|T e_{j}\right\|^{2}j∈{1,…,m},‖Tej‖2 等于 A A AAA 的第 j j jjj 列元素的绝对值的平方和. 因此
∑ j = 1 m ‖ T e j ‖ 2 = A 的元素绝对值的平方和. ∑ j = 1 m   T e j 2 = A  的元素绝对值的平方和.  sum_(j=1)^(m)||Te_(j)||^(2)=A" 的元素绝对值的平方和. "\sum_{j=1}^{m}\left\|T e_{j}\right\|^{2}=A \text { 的元素绝对值的平方和. }∑j=1m‖Tej‖2=A 的元素绝对值的平方和. 
对每个 j ∈ { 1 , … , m } , ‖ T ∗ e j ‖ 2 j ∈ { 1 , … , m } , T ∗ e j 2 j in{1,dots,m},||T^(**)e_(j)||^(2)j \in\{1, \ldots, m\},\left\|T^{*} e_{j}\right\|^{2}j∈{1,…,m},‖T∗ej‖2 等于 A A AAA 和 B B BBB 的第 j j jjj 行元素的绝对值的平方和. 因此 9.32
∑ j = 1 m ‖ T ∗ e j ‖ 2 = A 和 B 的元素绝对值的平方和. ∑ j = 1 m   T ∗ e j 2 = A  和  B  的元素绝对值的平方和.  sum_(j=1)^(m)||T^(**)e_(j)||^(2)=A" 和 "B" 的元素绝对值的平方和. "\sum_{j=1}^{m}\left\|T^{*} e_{j}\right\|^{2}=A \text { 和 } B \text { 的元素绝对值的平方和. }∑j=1m‖T∗ej‖2=A 和 B 的元素绝对值的平方和. 
因为 T T TTT 是正规的, 根据 7.20 , 对每个 j j jjj 都有 ‖ T e j ‖ = ‖ T ∗ e j ‖ T e j = T ∗ e j ||Te_(j)||=||T^(**)e_(j)||\left\|T e_{j}\right\|=\left\|T^{*} e_{j}\right\|‖Tej‖=‖T∗ej‖. 于是
∑ j = 1 m ‖ T e j ‖ 2 = ∑ j = 1 m ‖ T ∗ e j ‖ 2 ∑ j = 1 m   T e j 2 = ∑ j = 1 m   T ∗ e j 2 sum_(j=1)^(m)||Te_(j)||^(2)=sum_(j=1)^(m)||T^(**)e_(j)||^(2)\sum_{j=1}^{m}\left\|T e_{j}\right\|^{2}=\sum_{j=1}^{m}\left\|T^{*} e_{j}\right\|^{2}∑j=1m‖Tej‖2=∑j=1m‖T∗ej‖2
由这个等式和 9.31 及 9.32 可知， B B BBB 的元素绝对值的平方和等于 0 。也就是说， B B BBB 是所有元素均为 0 的矩阵. 于是
9.33
M ( T ) = e 1 … e m f 1 … f n M ( T ) = e 1 … e m f 1 … f n M(T)={:[e_(1),dots,e_(m),f_(1),dots]:}f_(n)\mathcal{M}(T)=\begin{array}{ccccc} e_{1} & \ldots & e_{m} & f_{1} & \ldots \end{array} f_{n}M(T)=e1…emf1…fn
这表明，对每个 k , T f k k , T f k k,Tf_(k)k, T f_{k}k,Tfk 在 f 1 , … , f n f 1 , … , f n f_(1),dots,f_(n)f_{1}, \ldots, f_{n}f1,…,fn 张成的子空间中。因为 f 1 , … , f n f 1 , … , f n f_(1),dots,f_(n)f_{1}, \ldots, f_{n}f1,…,fn 是 U ⊥ U ⊥ U^(_|_)U^{\perp}U⊥ 的基，从而只要 v ∈ U ⊥ v ∈ U ⊥ v inU^(_|_)v \in U^{\perp}v∈U⊥ 就有 T v ∈ U ⊥ T v ∈ U ⊥ Tv inU^(_|_)T v \in U^{\perp}Tv∈U⊥ 。也就是说 U ⊥ U ⊥ U^(_|_)U^{\perp}U⊥ 在 T T TTT 下不变。这就证明了（a）。
要证（b），注意到 M ( T ) M ( T ) M(T)\mathcal{M}(T)M(T) 的共轭转置 M ( T ∗ ) M T ∗ M(T^(**))\mathcal{M}\left(T^{*}\right)M(T∗) 的左下角有一个由 0 构成的块（这是因为，如上所示， M ( T ) M ( T ) M(T)\mathcal{M}(T)M(T) 在右上角有一个由 0 构成的块）。也就是说，每个 T ∗ e j T ∗ e j T^(**)e_(j)T^{*} e_{j}T∗ej 可写成 e 1 , … , e m e 1 , … , e m e_(1),dots,e_(m)e_{1}, \ldots, e_{m}e1,…,em 的线性组合。于是 U U UUU 在 T ∗ T ∗ T^(**)T^{*}T∗ 下不变。这就证明了(b).
要证 (c), 令 S = T | U ∈ L ( U ) S = T U ∈ L ( U ) S=T|_(U)inL(U)S=\left.T\right|_{U} \in \mathcal{L}(U)S=T|U∈L(U). 取定 v ∈ U v ∈ U v in Uv \in Uv∈U. 则对所有 u ∈ U u ∈ U u in Uu \in Uu∈U 都有
⟨ S u , v ⟩ = ⟨ T u , v ⟩ = ⟨ u , T ∗ v ⟩ . ⟨ S u , v ⟩ = ⟨ T u , v ⟩ = u , T ∗ v . (:Su,v:)=(:Tu,v:)=(:u,T^(**)v:).\langle S u, v\rangle=\langle T u, v\rangle=\left\langle u, T^{*} v\right\rangle .⟨Su,v⟩=⟨Tu,v⟩=⟨u,T∗v⟩.
根据（b）， T ∗ v ∈ U T ∗ v ∈ U T^(**)v in UT^{*} v \in UT∗v∈U ，所以上式表明 S ∗ v = T ∗ v S ∗ v = T ∗ v S^(**)v=T^(**)vS^{*} v=T^{*} vS∗v=T∗v 。也就是说 ( T | U ) ∗ = ( T ∗ ) | U T U ∗ = T ∗ U (T|_(U))^(**)=(T^(**))|_(U)\left(\left.T\right|_{U}\right)^{*}=\left.\left(T^{*}\right)\right|_{U}(T|U)∗=(T∗)|U 。这就证明了（c）。
要证 (d), 注意到 T T TTT 与 T ∗ T ∗ T^(**)T^{*}T∗ 可交换（因为 T T TTT 是正规的），并且由（c）知 ( T | U ) ∗ = T U ∗ = (T|_(U))^(**)=\left(\left.T\right|_{U}\right)^{*}=(T|U)∗= ( T ∗ ) | U T ∗ U (T^(**))|_(U)\left.\left(T^{*}\right)\right|_{U}(T∗)|U. 于是， T | U T U T|_(U)\left.T\right|_{U}T|U 与它的伴随可交换，因此是正规的。根据（a），互换 U U UUU 和 U ⊥ U ⊥ U^(_|_)U^{\perp}U⊥ 的角色可知 T | U ⊥ T U ⊥ T|_(U^(_|_))\left.T\right|_{U^{\perp}}T|U⊥ 也是正规的。这就证明了 (d).
以下定理表明实内积空间上的正规算子接近于有对角矩阵。具体来说，我们得到每个块最大为 2 × 2 2 × 2 2xx22 \times 22×2 的分块对角矩阵。
我们不能指望得到比以下定理更好的结
注意，若算子 T T TTT 关于某个基有分块对角矩阵，则这个矩阵的对角线上每个 1 × 1 1 × 1 1xx11 \times 11×1 块上的元素都是 T T TTT 的本征值。
果，因为在实内积空间上存在关于任意基都没有对角矩阵的正规算子。例如，由 T ( x , y ) = ( − y , x ) T ( x , y ) = ( − y , x ) T(x,y)=(-y,x)T(x, y)=(-y, x)T(x,y)=(−y,x) 定义的算子 T ∈ L ( R 2 ) T ∈ L R 2 T inL(R^(2))T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{R}^{2}\right)T∈L(R2) 是正规的（请自行验证），但它却没有本征值. 于是这个特殊的 T T TTT 甚至关于 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 的任意基都没有上三角矩阵.

9.34 F = R 9.34 F = R 9.34F=R9.34 \mathbf{F}=\mathbf{R}9.34F=R 时正规算子的刻画

设 V V VVV 设实内积空间， T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V). 则以下条件等价:
(a) T T TTT 是正规的.
(b) V V VVV 有规范正交基使得 T T TTT 关于这个基有分块对角矩阵，对角线上的每个块是 1 × 1 1 × 1 1xx11 \times 11×1 矩阵，或者是形如
( a − b b a ) a − b b a ([a,-b],[b,a])\left(\begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array}\right)(a−bba)
的 2 × 2 2 × 2 2xx22 \times 22×2 矩阵, 其中 b > 0 b > 0 b > 0b>0b>0.
证明 首先假设（b）成立。请自行验证，关于（b）中给出的基， T T TTT 的矩阵与 T ∗ T ∗ T^(**)T^{*}T∗ 的矩阵 （即 T T TTT 的矩阵的转置）可交换（对这两个分块对角矩阵的乘积用 8.B 节的习题 9）。于是 T T TTT 与 T ∗ T ∗ T^(**)T^{*}T∗ 可交换，即 T T TTT 是正规的，这就证明了（b）蕴涵（a）。
现在假设（a）成立，则 T T TTT 是正规的。我们将通过对 dim V dim V dim V\operatorname{dim} VdimV 用归纳法证明（b）。首先注意到结论在 dim V = 1 dim V = 1 dim V=1\operatorname{dim} V=1dimV=1 或 dim V = 2 dim V = 2 dim V=2\operatorname{dim} V=2dimV=2 时成立（前者是平凡的。对于后者，若 T T TTT 是自伴的则利用实谱定理 7.29, 若 T T TTT 不是自伴的则利用定理 9.27）。
现在假设 dim V > 2 dim V > 2 dim V > 2\operatorname{dim} V>2dimV>2 且对更小维数的向量空间结论成立。如果 V V VVV 有在 T T TTT 下不变的一维子空间，则令 U U UUU 表示这样的子空间（也就是说，如果 T T TTT 有本征向量，令 U U UUU 是这个本征向量张成的空间），否则令 U U UUU 是 V V VVV 的在 T T TTT 下不变的二维子空间（由定理9.8，总存在一维或二维不变子空间）。
如果 dim U = 1 dim U = 1 dim U=1\operatorname{dim} U=1dimU=1, 取 U U UUU 中一个范数为 1 的向量, 则这个向量是 U U UUU 的规范正交基, T | U ∈ L ( U ) T U ∈ L ( U ) T|_(U)inL(U)\left.T\right|_{U} \in \mathcal{L}(U)T|U∈L(U) 的矩阵是 1 × 1 1 × 1 1xx11 \times 11×1 矩阵。如果 dim U = 2 dim U = 2 dim U=2\operatorname{dim} U=2dimU=2 ，则 T | U ∈ L ( U ) T U ∈ L ( U ) T|_(U)inL(U)\left.T\right|_{U} \in \mathcal{L}(U)T|U∈L(U) 是正规的（由于 9.30 ），但不是自伴的（否则，由 7.27 知 T | U T U T|_(U)\left.T\right|_{U}T|U 有本征向量，从而 T T TTT 有本征向量）。于是，可以取 U U UUU 的一个规范正交基， T | U ∈ L ( U ) T U ∈ L ( U ) T|_(U)inL(U)\left.T\right|_{U} \in \mathcal{L}(U)T|U∈L(U) 关于这个基的矩阵有所要求的形式 （参见 9.27）。
现在 U ⊥ U ⊥ U^(_|_)U^{\perp}U⊥ 在 T T TTT 下不变， T | U ⊥ T U ⊥ T|_(U _|_)\left.T\right|_{U \perp}T|U⊥ 是 U ⊥ U ⊥ U^(_|_)U^{\perp}U⊥ 上的正规算子（由于 9.30）。由归纳法假设， U ⊥ U ⊥ U^(_|_)U^{\perp}U⊥ 有规范正交基， T | U ⊥ T U ⊥ T|_(U _|_)\left.T\right|_{U \perp}T|U⊥ 关于这个基的矩阵有所要求的形式。将这个基和 U U UUU 的基放在一起给出了 V V VVV 的规范正交基， T T TTT 关于这个基的矩阵有所要求的形式。于是（b）成立。

实内积空间上的等距同构

正如我们将要看到的，以下例子是实内积空间上等距同构的关键的组成部分. 同时请注意，以下例子表明 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 上的等距同构可以没有本征值。
9.35 例 设 θ ∈ R θ ∈ R theta inR\theta \in \mathbf{R}θ∈R. 则 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 上（以原点为中心）的逆时针旋转 θ θ theta\thetaθ 角度的算子是等距同构，这在几何上看是显然的。这个算子关于标准基的矩阵是
( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ([cos theta,-sin theta],[sin theta,cos theta])\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)
若 θ θ theta\thetaθ 不是 π π pi\piπ 的整数倍，则 R 2 R 2 R^(2)\mathbf{R}^{2}R2 上没有可以映为其自身的标量倍的非零向量，因此这个算子没有本征值。
以下定理表明，实内积空间上的每个等距同构由以下三部分组成：一部分是二维子空间上的旋转，一部分是恒等算子，一部分是乘以 -1 。

9.36 F = R 9.36 F = R 9.36F=R9.36 \mathbf{F}=\mathbf{R}9.36F=R 时等距同构的刻画

设 V V VVV 是实内积空间， S ∈ L ( V ) S ∈ L ( V ) S inL(V)S \in \mathcal{L}(V)S∈L(V). 则以下条件等价:
(a) S S SSS 是等距同构.
(b) V V VVV 有规范正交基使得 S S SSS 关于这个基有分块对角矩阵，对角线上的每个块是由 1 或 -1 构成的 1 × 1 1 × 1 1xx11 \times 11×1 矩阵, 或者是形如
( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ([cos theta,-sin theta],[sin theta,cos theta])\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)
的 2 × 2 2 × 2 2xx22 \times 22×2 矩阵, 其中 θ ∈ ( 0 , π ) θ ∈ ( 0 , π ) theta in(0,pi)\theta \in(0, \pi)θ∈(0,π).
证明 首先假设 (a) 成立, 则 S S SSS 是等距同构。因为 S S SSS 是正规的, 根据定理 9.34, V V VVV 有规范正交基， S S SSS 关于这个基有分块对角矩阵，对角线上的每个块是 1 × 1 1 × 1 1xx11 \times 11×1 矩阵，或者是形如

9.37

( a − b b a ) a − b b a ([a,-b],[b,a])\left(\begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array}\right)(a−bba)
的 2 × 2 2 × 2 2xx22 \times 22×2 矩阵，其中 b > 0 b > 0 b > 0b>0b>0 。
如果 λ λ lambda\lambdaλ 是 S S SSS （关于上述基）的矩阵对角线上 1 × 1 1 × 1 1xx11 \times 11×1 矩阵的元素，那么存在基向量 e j e j e_(j)e_{j}ej 使得 S e j = λ e j S e j = λ e j Se_(j)=lambdae_(j)S e_{j}=\lambda e_{j}Sej=λej 。因为 S S SSS 是等距同构, 所以 | λ | = 1 | λ | = 1 |lambda|=1|\lambda|=1|λ|=1. 于是 λ = 1 λ = 1 lambda=1\lambda=1λ=1 或 λ = − 1 λ = − 1 lambda=-1\lambda=-1λ=−1, 因为只有这两个实数的绝对值是1.
现在考虑位于 S S SSS 的矩阵对角线上形如 9.37 的 2 × 2 2 × 2 2xx22 \times 22×2 矩阵。有基向量 e j , e j + 1 e j , e j + 1 e_(j),e_(j+1)e_{j}, e_{j+1}ej,ej+1 使得
S e j = a e j + b e j + 1 S e j = a e j + b e j + 1 Se_(j)=ae_(j)+be_(j+1)S e_{j}=a e_{j}+b e_{j+1}Sej=aej+bej+1
于是
1 = ‖ e j ‖ 2 = ‖ S e j ‖ 2 = a 2 + b 2 1 = e j 2 = S e j 2 = a 2 + b 2 1=||e_(j)||^(2)=||Se_(j)||^(2)=a^(2)+b^(2)1=\left\|e_{j}\right\|^{2}=\left\|S e_{j}\right\|^{2}=a^{2}+b^{2}1=‖ej‖2=‖Sej‖2=a2+b2
由上式及 b > 0 b > 0 b > 0b>0b>0 可知, 存在 θ ∈ ( 0 , π ) θ ∈ ( 0 , π ) theta in(0,pi)\theta \in(0, \pi)θ∈(0,π) 使得 a = cos ⁡ θ a = cos ⁡ θ a=cos thetaa=\cos \thetaa=cos⁡θ 且 b = sin ⁡ θ b = sin ⁡ θ b=sin thetab=\sin \thetab=sin⁡θ. 于是矩阵 9.37 具有所要求的形式，这就完成了这个方向的证明。
反之，现在假设 (b) 成立，则 V V VVV 有规范正交基使得 S S SSS 关于这个基的矩阵具有定理所要求的形式. 于是有直和分解
V = U 1 ⊕ ⋯ ⊕ U m V = U 1 ⊕ ⋯ ⊕ U m V=U_(1)o+cdots o+U_(m)V=U_{1} \oplus \cdots \oplus U_{m}V=U1⊕⋯⊕Um
其中每个 U j U j U_(j)U_{j}Uj 都是 V V VVV 的一维或二维子空间。进一步，任意两个属于不同 U j U j U_(j)U_{j}Uj 的向量都是正交的, 并且每个 S | U j S U j S|_(U_(j))\left.S\right|_{U_{j}}S|Uj 都是 U j U j U_(j)U_{j}Uj 映到 U j U j U_(j)U_{j}Uj 的等距同构. 若 v ∈ V v ∈ V v in Vv \in Vv∈V, 则有
v = u 1 + ⋯ + u m v = u 1 + ⋯ + u m v=u_(1)+cdots+u_(m)v=u_{1}+\cdots+u_{m}v=u1+⋯+um
其中每个 u j u j u_(j)u_{j}uj 属于 U j U j U_(j)U_{j}Uj. 应用 S S SSS 到上式并取范数可得
‖ S v ‖ 2 = ‖ S u 1 + ⋯ + S u m ‖ 2 = ‖ S u 1 ‖ 2 + ⋯ + ‖ S u m ‖ 2 = ‖ u 1 ‖ 2 + ⋯ + ‖ u m ‖ 2 = ‖ v ‖ 2 . ‖ S v ‖ 2 = S u 1 + ⋯ + S u m 2 = S u 1 2 + ⋯ + S u m 2 = u 1 2 + ⋯ + u m 2 = ‖ v ‖ 2 . {:[||Sv||^(2)=||Su_(1)+cdots+Su_(m)||^(2)],[=||Su_(1)||^(2)+cdots+||Su_(m)||^(2)],[=||u_(1)||^(2)+cdots+||u_(m)||^(2)],[=||v||^(2).]:}\begin{aligned} \|S v\|^{2} & =\left\|S u_{1}+\cdots+S u_{m}\right\|^{2} \\ & =\left\|S u_{1}\right\|^{2}+\cdots+\left\|S u_{m}\right\|^{2} \\ & =\left\|u_{1}\right\|^{2}+\cdots+\left\|u_{m}\right\|^{2} \\ & =\|v\|^{2} . \end{aligned}‖Sv‖2=‖Su1+⋯+Sum‖2=‖Su1‖2+⋯+‖Sum‖2=‖u1‖2+⋯+‖um‖2=‖v‖2.
于是 S S SSS 是等距同构，因此（a）成立。

习题 9.B

1 设 S ∈ L ( R 3 ) S ∈ L R 3 S inL(R^(3))S \in \mathcal{L}\left(\mathbf{R}^{3}\right)S∈L(R3) 是等距同构. 证明：存在非零向量 x ∈ R 3 x ∈ R 3 x inR^(3)x \in \mathbf{R}^{3}x∈R3 使得 S 2 x = x S 2 x = x S^(2)x=xS^{2} x=xS2x=x.
2 证明：奇数维实内积空间上的每个等距同构都有本征值1或 -1 .
3 设 V V VVV 是实内积空间. 对 u , v , x , y ∈ V u , v , x , y ∈ V u,v,x,y in Vu, v, x, y \in Vu,v,x,y∈V 定义
⟨ u + i v , x + i y ⟩ = ⟨ u , x ⟩ + ⟨ v , y ⟩ + ( ⟨ v , x ⟩ − ⟨ u , y ⟩ ) i ⟨ u + i v , x + i y ⟩ = ⟨ u , x ⟩ + ⟨ v , y ⟩ + ( ⟨ v , x ⟩ − ⟨ u , y ⟩ ) i (:u+iv,x+iy:)=(:u,x:)+(:v,y:)+((:v,x:)-(:u,y:))i\langle u+\mathrm{i} v, x+\mathrm{i} y\rangle=\langle u, x\rangle+\langle v, y\rangle+(\langle v, x\rangle-\langle u, y\rangle) \mathrm{i}⟨u+iv,x+iy⟩=⟨u,x⟩+⟨v,y⟩+(⟨v,x⟩−⟨u,y⟩)i
证明：这是 V C V C V_(C)V_{\mathbf{C}}VC 上的复内积。
4 设 V V VVV 是实内积空间， T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) T inL(V)T \in \mathcal{L}(V)T∈L(V) 是自伴的。证明： T C T C T_(C)T_{\mathrm{C}}TC 是上题定义的内积空间 V C V C V_(C)V_{\mathrm{C}}VC上的自伴算子。
5 利用上题，通过复化和复谱定理 7.24 给出实谱定理 7.29 的证明。
6 找出内积空间上一个有不变子空间的算子 T T TTT, 这个不变子空间的正交补在 T T TTT 下不是不变的。
本题表明，如果没有假设 T T TTT 是正规的，则定理 9.30 有可能不成立.
7 设 T ∈ L ( V ) , T T ∈ L ( V ) , T T inL(V),TT \in \mathcal{L}(V), TT∈L(V),T 关于 V V VVV 的某个基有分块对角矩阵
( A 1 0 ⋱ 0 A m ) A 1 0 ⋱ 0 A m ([A_(1),,0],[,ddots,],[0,,A_(m)])\left(\begin{array}{ccc} A_{1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & A_{m} \end{array}\right)(A10⋱0Am)
对于 j = 1 , … , m j = 1 , … , m j=1,dots,mj=1, \ldots, mj=1,…,m, 令 T j T j T_(j)T_{j}Tj 是 V V VVV 上的算子, 它关于同一个基的矩阵是分块对角矩阵, 且该矩阵的块的大小和上面的矩阵一致, 其对角线上的第 j j jjj 个块是 A j A j A_(j)A_{j}Aj, 所有其他的块都等于（适当大小的）单位矩阵。证明 T = T 1 ⋯ T m T = T 1 ⋯ T m T=T_(1)cdotsT_(m)T=T_{1} \cdots T_{m}T=T1⋯Tm 。
8 设 D D DDD 是 7.A 节习题 21 中向量空间 V V VVV 上的微分算子. 求 V V VVV 的一个规范正交基使得正规算子 D D DDD 的矩阵具有 9.34 中的形式。
  1. 以下命题中 T T TTT 的本征值都是实的（因为 T T TTT 是实向量空间上的算子）。