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Q1

📜 原文
📖 逐步解释
∑ 公式拆解
💡 数值示例
⚠️ 易错点
📝 总结
🎯 存在目的
🧠 直觉心智模型
💭 直观想象

1prompt

please take a deep breath， think step by step，请扮演一位FUNDAMENTALS OF COMPUTER SYSTS的计算机专家，用详细的中文step by step地解释并回答以下双引号中的问题，名词请附上对应的英文：

让我们慢慢来，能否用详细的中文和清晰的符号表示给出题目中的从零基础的一步一步的概念解释：

能否用详细的中文和清晰的符号表示给出从零基础的一步一步的详细解题步骤，特别是看到什么的时候能够判断什么的推理链：

可以用精确的数学符号和数学表达式来展示细致严谨的推理逻辑链吗？从题目中的什么条件判断出什么，又因为什么公式推导出答案？

2作业 #1

CSEE W3827 - 计算机系统基础 2026年春季

Rubenstein 教授

截止日期：2026年1月29日，晚上11:59

主题：二进制数表示（2的补码、1的补码、浮点数）

请注意，本次作业有7个问题，共2页。

它可能有点长且繁琐。并非所有作业都会如此。

1. Q1

1. 假设一个所有数字都使用8位表示的架构。以下8位二进制数在以下形式下的（十进制）值是什么：(i) 无符号数，(ii) 带符号位，(iii) 1的补码，(iv) 2的补码形式：

(a) 00110011

(b) 10000000

(c) 11111111

(d) 10011011

(e) 10001010

3A1

下面我会把题目里的四种 表示法 （ Representation ）先用“从零基础”的方式讲清楚，然后对每个 8 位 （ bit ） 二进制数 （ binary number ）逐个算出 (i) 无符号数 （ unsigned ），(ii) 带符号位 （ sign-magnitude ），(iii) 1 的补码 （ one’s complement ），(iv) 2 的补码 （ two’s complement ）的 十进制值 （ decimal value ）。

10. 题目给的关键信息怎么用（推理链）

你看到题目说：所有数字都用 8 位表示

你应该立刻想到两件事：

  1. 位权 （ positional weight ）是从高到低：$2^7,2^6,\dots,2^0$
  2. 最高位（ MSB ， most significant bit ）在带符号表示里通常承担 符号位 （ sign bit ）的角色（不同表示法对“负数怎么编码”不一样）

21. 四种 8 位表示法的“从零基础”定义与算值规则

1. 1 无符号数 （ Unsigned ）

把 8 位直接当作普通的二进制展开：

$$ \text{value}=\sum_{i=0}^{7} b_i 2^i $$

其中 $b_i\in\{0,1\}$。

范围 （ range ）：$0 \sim 255$。

1. 2 带符号位 （ Sign-Magnitude ，也叫“符号-数值”）

规则：

范围 ：$-127 \sim +127$，而且有 +0 与 -0 两个零（这是一个常见考点）。

1. 3 1 的补码 （ One’s Complement ）

核心思想：负数 = 正数的“逐位取反”（ bitwise NOT ）。

解码规则（从比特串求值）：

也可以写成：若 MSB 为 1，则

$$ \text{value} = -(\sim \text{bits as unsigned}) $$

范围 ：$-127 \sim +127$，同样有 +0 与 -0 （在 1 的补码里 11111111 表示 -0 ）。

1. 4 2 的补码 （ Two’s Complement ）

核心思想：负数 = （正数逐位取反）再 加 1 （ invert + 1 ）。

解码规则（最稳的两种等价方法）：

方法 A（常用公式） ：令该 8 位当作无符号值为 $U$

$$ \text{value}=U-2^8=U-256 $$

（等价地：$\text{value}=-(256-U)$）

方法 B（取反加一） ：若 MSB=1

范围 ：$-128 \sim +127$，只有一个 0 （没有 -0）。

32. Q1 逐题计算（每个比特串四种表示）

我会对每个比特串先算出它的 无符号值 （ Unsigned value ）$U$，然后套用其它规则。

1. (a) 00110011

先算 无符号值 （ unsigned ）：

$$ U = 0\cdot 2^7 +0\cdot 2^6 +1\cdot 2^5 +1\cdot 2^4 +0\cdot 2^3 +0\cdot 2^2 +1\cdot 2^1 +1\cdot 2^0 $$

$$ U = 32+16+2+1 = 51 $$

2. (b) 10000000

无符号值 ：

$$ U = 1\cdot 2^7 = 128 $$

MSB=1，幅值 = 0000000 = 0 ⇒ 表示 -0 （数值上等于 0 ，但编码是负零）

MSB=1 ⇒ 取反：01111111，其无符号值为 $127$ ⇒ 原值 -127

MSB=1 ⇒ $\text{value}=U-256=128-256=-128$ ⇒ -128

3. (c) 11111111

无符号值 ：

$$ U = 255 $$

MSB=1，幅值=1111111=127 ⇒ -127

MSB=1 ⇒ 取反：00000000，其无符号值为 $0$ ⇒ 原值是 -0 （数值上等于 0 ）

MSB=1 ⇒ $\text{value}=U-256=255-256=-1$ ⇒ -1

4. (d) 10011011

无符号值 ：

$$ U = 1\cdot 128 + 0\cdot 64 + 0\cdot 32 + 1\cdot 16 + 1\cdot 8 + 0\cdot 4 + 1\cdot 2 + 1\cdot 1 $$

$$ U = 128 + 16 + 8 + 2 + 1 = 155 $$

MSB=1，幅值=0011011（二进制）= $16+8+2+1=27$ ⇒ -27

MSB=1 ⇒ 取反：01100100

其无符号值：$64+32+4=100$ ⇒ 原值 -100

MSB=1 ⇒ $\text{value}=U-256=155-256=-101$ ⇒ -101

（你也可以用“取反加一”：01100100=100，再 +1 得 101 ⇒ -101 ）

5. (e) 10001010

无符号值 ：

$$ U = 128 + 8 + 2 = 138 $$

MSB=1，幅值=0001010= $8+2=10$ ⇒ -10

取反：01110101

无符号值：$64+32+16+4+1=117$ ⇒ 原值 -117

$\text{value}=U-256=138-256=-118$ ⇒ -118

（取反加一验证：01110101=117，再 +1 得 118 ⇒ -118 ）

43. 最终答案汇总（按题目四种形式）

unsigned =51； sign-magnitude =+51； one’s complement =+51； two’s complement =+51

unsigned =128； sign-magnitude =-0（数值 0）； one’s complement =-127； two’s complement =-128

unsigned =255； sign-magnitude =-127； one’s complement =-0（数值 0）； two’s complement =-1

unsigned =155； sign-magnitude =-27； one’s complement =-100； two’s complement =-101

unsigned =138； sign-magnitude =-10； one’s complement =-117； two’s complement =-118

如果你愿意，我也可以把每个小题都按“看见 MSB=1 就立刻切换到负数解码流程”的方式，给你做一份更像“考试速算流程图”的推理模板，方便你做后面的 浮点数 （ floating-point ）题。