1prompt
please take a deep breath， think step by step，请扮演一位FUNDAMENTALS OF COMPUTER SYSTS的计算机专家，用详细的中文step by step地解释并回答以下双引号中的问题，名词请附上对应的英文：
让我们慢慢来，能否用详细的中文和清晰的符号表示给出题目中的从零基础的一步一步的概念解释：
能否用详细的中文和清晰的符号表示给出从零基础的一步一步的详细解题步骤，特别是看到什么的时候能够判断什么的推理链：
可以用精确的数学符号和数学表达式来展示细致严谨的推理逻辑链吗？从题目中的什么条件判断出什么，又因为什么公式推导出答案？
1. Q3
3. 对于下面的每对 $x$ 和 $y$，将 $x$ 和 $y$ 转换为它们的8位2的补码形式，用 $x$ 减去 $y$（因此你需要对 $y$ 取负，然后相加）。指明是否发生溢出（并清楚地说明你是如何判断的），然后将结果转换回十进制（即使发生溢出且结果不正确，即你的答案应该符合该形式的8位表示）。
(a) $x = 10, y = -13$
(b) $x = 117, y = 35$
(c) $x = 117, y = -35$
(d) $x = -117, y = 35$
(e) $x = -117, y = 11$
2A
下面把给定的 位模式 按 32 位 来处理（因为题目 (c) 明确说 单精度 浮点数是 32 位）：
$$
\textbf{bit pattern}=1010,1101,0001,0000,0000,0000,0000,0010
$$
先做一个通用的“看图识字”步骤：把它按 4 位一组转成 十六进制（hex），因为更好算。
- $1010= \textbf{A}$
- $1101= \textbf{D}$
- $0001= \textbf{1}$
- $0000= \textbf{0}$
- $0000= \textbf{0}$
- $0000= \textbf{0}$
- $0000= \textbf{0}$
- $0010= \textbf{2}$
所以：
$$
\textbf{hex}= \mathbf{0xAD100002}
$$
1(b) 作为 无符号整数（unsigned integer）
无符号 的规则最简单：直接把这个 32 位 当作 $\sum b_i 2^i$。
$$
\mathbf{0xAD100002}=2903506946
$$
✅ 答案 (b)：$\boxed{2903506946}$
2(a) 作为 2 的补码整数（two’s complement integer）
1. 第一步：看最高位 符号位（sign bit）
2 的补码里，最高位（第 31 位）是 符号位：
- 若最高位 = 0 → 非负
- 若最高位 = 1 → 负数
这里开头是 1，所以它表示一个 负数。
2. 第二步：用“减去 (2^{32})”的快捷公式
对 32 位 2 的补码：
$$
\textbf{signed}=
\begin{cases}
u, & u<2^{31}\\
u-2^{32}, & u\ge 2^{31}
\end{cases}
$$
我们已经算出 无符号值 $u=2903506946$，且 $2^{31}=2147483648$，所以 $u\ge 2^{31}$，用第二行：
$$
\textbf{signed}=2903506946-2^{32}
$$
$$
2^{32}=4294967296
$$
$$
\textbf{signed}=2903506946-4294967296=-1391460350
$$
✅ 答案 (a)：$\boxed{-1391460350}$
（你也可以理解为：它的 负数幅值 是 $2^{32}-u=1391460350$，所以结果是 $-1391460350$。）
3(c) 作为 单精度浮点数（IEEE 754 single-precision float）
单精度结构（IEEE 754）：
- 1 位 符号位（sign）$s$
- 8 位 指数位（exponent）$e$
- 23 位 小数部分/尾数域（fraction/mantissa field）$f$
数值规则（针对 规格化数）：
$$
\textbf{value}=(-1)^s \times \left(1+\frac{f}{2^{23}}\right)\times 2^{(e-127)}
$$
1. 第一步：把位串按字段切开
原始位串：
$$
1;01011010;00100000000000000000010
$$
- 符号位 $s=1$
- 指数位 $e=01011010_2=90$
- 尾数域 $f=00100000000000000000010_2$
把 $f$ 转成数（十六进制更快）：
- 这 23 位对应的数是 (\mathbf{0x100002})
- 所以 $f=1048578$
2. 第二步：判断是否是特殊值
- 若 $e=255$ → NaN/无穷大
- 若 $e=0$ → 非规格化数/0
- 否则 → 规格化数
这里 $e=90$，既不是 0 也不是 255 → 规格化数，用上面的主公式。
3. 第三步：算真实指数 $E=e-127$
$$
E=90-127=-37
$$
4. 第四步：算 有效数（significand）
$$
1+\frac{f}{2^{23}}=1+\frac{1048578}{8388608}
$$
这等于：
$$
1+\frac{1048578}{8388608}= \frac{4718593}{4194304}\approx 1.125000238418579
$$
5. 第五步：合成最终数值
$$
\textbf{value}=(-1)^1 \times \left(\frac{4718593}{4194304}\right)\times 2^{-37}
$$
精确到一个分数形式：
$$
\textbf{value}=-\frac{4718593}{576460752303423488}
$$
换成十进制科学计数法（更常用）：
$$
\textbf{value}\approx -8.18545405067983\times 10^{-12}
$$
✅ 答案 (c)：$\boxed{-8.18545405067983\times 10^{-12}}$
4最终答案汇总
- (a) 2 的补码整数：$\boxed{-1391460350}$
- (b) 无符号整数：$\boxed{2903506946}$
- (c) 单精度浮点数：$\boxed{-8.18545405067983\times 10^{-12}}$
如果你想，我还可以把 (c) 的 尾数域 用“逐位贡献 $2^{-k}$”的方式展开成更直观的加法形式，帮助你形成对 IEEE 754 的“看到位就会算”的肌肉记忆。