Q3 · 交通信号灯控制器 — 组合电路设计

看到"每 5 秒变一次、4 比特计数 0→15"应该立刻做的判断

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4 比特输入 (4-bit input) 是一个计数器 (counter)，每 5 秒跳一次：

0000 → 0001 → ⋯ → 1111 → 0000

所以 16 个输入值一圈对应的总时长是：

16 × 5s = 80s

再看题目给的每盏灯的时序要求 (timing requirement)：

绿 (green) 30s
黄 (yellow) 5s
红 (red) 45s

30 + 5 + 45 = 80s ← 和计数器周期完全吻合！

💡 这意味着我们可以把 A B C D 直接当作"当前处于第几个 5 秒时间片 (5-second slot)"。不需要额外的时序电路，纯组合逻辑 (combinational logic) 就够了！

把"秒数"换成"计数值"的分段（最关键的一步）

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因为每步是 5 秒，所以：

30s = 6 个时间片 (slots)
5s = 1 个时间片
45s = 9 个时间片

⚡ 题目还说：有两个 5 秒间隔 (two 5-second intervals)"两边都红"。并且给定初始条件：当输入 0000 时，NS"刚变绿"，EW"已经红了 5 秒"。

这等价于：在 0000 之前的那个时间片应该是"全红"间隔；而 1111→0000 正好是环回，所以让 15 代表这个"全红间隔"。

📋 完整的相位序列 (phase sequence)

计数值 N	二进制 ABCD	NS 灯色	EW 灯色	持续
0 – 5	0000 – 0101	🟢 绿	🔴 红	30s
6	0110	🟡 黄	🔴 红	5s
7	0111	🔴 红	🔴 红	5s
8 – 13	1000 – 1101	🔴 红	🟢 绿	30s
14	1110	🔴 红	🟡 黄	5s
15	1111	🔴 红	🔴 红	5s

✅ 这样 EW 在计数 15 开始红，到计数 0 时恰好"已红了 5 秒"——和初始条件一致！

把"颜色"换成"高位/低位"两比特（输出编码）

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题目给的编码表 (encoding table)：

高位 (H)	低位 (L)	灯的颜色
0	0	🟢 绿 (green)
0	1	🟡 黄 (yellow)
1	0	🔴 红 (red)
1	1	🔴 红 (red)

🔑 关键观察：红色时"低位 0 / 1 都行" ⇒ 低位对红色是无关 (don't care)。这允许我们用无关项 (don't care conditions) 去大幅化简低位输出！

列出"计数值 → 四个输出"的完整真值表

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令 A 为最高位 (MSB)，D 为最低位 (LSB)，计数值 N = 8A + 4B + 2C + D：

N	A	B	C	D	相位	NSH	NSL	EWH	EWL
0	0	0	0	0	NS绿	0	0	1	x
1	0	0	0	1	NS绿	0	0	1	x
2	0	0	1	0	NS绿	0	0	1	x
3	0	0	1	1	NS绿	0	0	1	x
4	0	1	0	0	NS绿	0	0	1	x
5	0	1	0	1	NS绿	0	0	1	x
6	0	1	1	0	NS黄	0	1	1	x
7	0	1	1	1	全红	1	x	1	x
8	1	0	0	0	EW绿	1	x	0	0
9	1	0	0	1	EW绿	1	x	0	0
10	1	0	1	0	EW绿	1	x	0	0
11	1	0	1	1	EW绿	1	x	0	0
12	1	1	0	0	EW绿	1	x	0	0
13	1	1	0	1	EW绿	1	x	0	0
14	1	1	1	0	EW黄	1	x	0	1
15	1	1	1	1	全红	1	x	1	x

📌 表中的 "x" 就是无关位 (don't care bit)——红色时低位 0 或 1 都算红色，可以自由选择以便化简。

逐个输出写成函数并化简

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📘 5.1 NSH（NS 高位）— 什么时候为 1？

NS 为红时高位 = 1；NS 在计数 7–15 全是红。

NSH = Σ m(7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15)

化简观察（K-map 分组直觉）：

计数 8–15 的共同特征是 A = 1 ⇒ 一项就是 A
还缺的计数 7 是 0111，对应积项是 BCD

✅ NSH = A + BCD

📙 5.2 EWH（EW 高位）— 什么时候为 1？

EW 为红时高位 = 1；EW 在计数 0–7 和 15 是红。

EWH = Σ m(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15)

先做"大片覆盖"的观察：

0–7 的共同特征是 A = 0 ⇒ 一项是 A
再补 15 = 1111 ⇒ 一项是 ABCD

EWH = A + ABCD

再用布尔代数 (Boolean algebra) 恒等式：

X + XY = X + Y

令 X = A, Y = BCD，则 A + A·(BCD) = A + BCD

✅ EWH = A + BCD

📕 5.3 NSL（NS 低位）— 带无关项的最小化

NS 黄只在计数 6 (0110)：低位必须 = 1
NS 绿在计数 0–5：低位必须 = 0
NS 红在计数 7–15：低位是无关 (don't care)

用 K-map 直觉：

N=6 是 0110：B=1, C=1, D=0
计数 14 是 1110：同样 B=1, C=1, D=0，而它处于 NS 红（无关），可以和 6 合并以消去 A

✅ NSL = BCD

📒 5.4 EWL（EW 低位）— 同理

EW 黄只在计数 14 (1110)：低位必须 = 1
EW 绿在计数 8–13：低位必须 = 0
EW 红在计数 0–7, 15：低位无关

同样利用无关项，把 14 (1110) 和 6 (0110)（此时 EW 红，低位无关）合并，消去 A，得到同一个最简项：

✅ EWL = BCD

🧠 化简直觉总结：高位用"一位覆盖一大片 + 再补一个点"的 K-map 分组思路；低位利用"红色时无关"，通过合并无关项消去变量。

最终答案：四个布尔输出的化简方程

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这些方程实现的颜色序列 (color sequence) 与题目要求一致，并且在红灯时正确利用了"10/11 都是红"带来的无关项 (don't care) 来最小化电路：

NS 高位 NSH = A + BCD

NS 低位 NSL = BCD

EW 高位 EWH = A + BCD

EW 低位 EWL = BCD

✅ NSL 和 EWL 恰好相同，硬件上可以共用同一个门电路——这就是利用 don't care 化简得到的额外收益！

🎯 解题思路总结

第一步：确认计数器周期 = 灯周期 = 80s → 纯组合电路
第二步：按初始条件分配 16 个时间片到各相位
第三步：用编码规则将颜色转成 H/L 二位输出
第四步：列真值表，标出无关项 (don't care)
第五步：K-map 或布尔代数化简每路输出

NSH = A + BCD

NSL = BCD

EWH = A + BCD

EWL = BCD

🎮 交互式演示 — 点击计数值，观察信号灯变化

🔼 NS（北-南）

◀▶ EW（东-西）

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🚦 交通信号灯控制器布尔方程设计与化简