1prompt
please take a deep breath， think step by step，请扮演一位FUNDAMENTALS OF COMPUTER SYSTS的计算机专家，用详细的中文step by step地解释并回答以下双引号中的问题，名词请附上对应的英文：
让我们慢慢来，能否用详细的中文和清晰的符号表示给出题目中的从零基础的一步一步的概念解释：
能否用详细的中文和清晰的符号表示给出从零基础的一步一步的详细解题步骤，特别是看到什么的时候能够判断什么的推理链：
可以用精确的数学符号和数学表达式来展示细致严谨的推理逻辑链吗？从题目中的什么条件判断出什么，又因为什么公式推导出答案？
1. Q4
4. 给定位模式 1010 1101 0001 0000 0000 0000 0000 0010 ，假设它表示：
(a) 一个2的补码整数？
(b) 一个无符号整数？
(c) 一个单精度（32位）浮点数？
2A
下面我按你要求，用 8位二的补码 （ 8-bit two’s complement ）做 减法 ：
$$
x-y = x + (-y)
$$
并且每小题都给出： 转换 →对 $y$ 取 负 →做 二进制加法 →判定 溢出 →把8位结果按二的补码转回 十进制 （就算溢出也照转）。
0. 1 8位二的补码 （ 8-bit two’s complement ）的表示范围
8位意味着只有 $2^8=256$ 种 比特模式 ，对应的有符号整数范围是：
$$
[-128, 127]
$$
- 最小值：$10000000_2 = -128$
- 最大值：$01111111_2 = +127$
0. 2 从十进制到8位二进制
- 若是 非负数 ：直接写成 8位二进制 （不够补 0）
- 若是 负数 ：用“ 取反加一 ”（ invert + 1 ）
若 $a>0$，则 $-a$ 的 8位二的补码 ：
- 写 $a$ 的 8位二进制
- 每一位做 按位取反 （0↔1）
- 再 +1
0. 3 溢出 （ overflow ）判定（只针对“做加法的那一步”）
我们实际做的是：
$$
x-y = x + (-y)
$$
对 8位有符号加法 ，经典判据是：
- 若两个 加数 （ addends ）的符号位相同，但 结果 （ sum ）的符号位不同 ⇒ 发生溢出
- 若两个加数的符号位不同 ⇒ 不可能溢出
用符号写就是：设符号位分别为 $s_x, s_{-y}, s_{sum}$，则
$$
\text{overflow} \iff (s_x = s_{-y}) \land (s_{sum} \ne s_x)
$$
1. 第1步：写成 8位二的补码
$$
10_{10}=00001010_2
$$
$$
13_{10}=00001101_2
$$
取反：
$$
11110010_2
$$
加一：
$$
11110011_2
$$
所以 $y=-13$ 的 8位二的补码是 $11110011_2$。
2. 第2步：做 减法 $x-y=x+(-y)$
这里 $-y= -(-13)=13$，其 8位二进制是：
$$
00001101_2
$$
3. 第3步：做 8位加法
$$
00001010
+00001101
=00010111
$$
4. 第4步：判定 溢出
两个加数都是 正数 （符号位 0），结果也是 正数 （符号位 0）⇒ 无溢出 。
5. 第5步：转回 十进制
$$
00010111_2 = 16+4+2+1=23_{10}
$$
结果 ：$23$， 无溢出 。
1. 第1步：写成 8位二的补码
$$
117=64+32+16+4+1 \Rightarrow 01110101_2
$$
$$
35=32+2+1 \Rightarrow 00100011_2
$$
2. 第2步：做 $x-y=x+(-y)$，先求 (-y)
$y=35$ 的 8位二进制 ：$00100011$
取反：$11011100$
加一：$11011101$
所以：
$$
-y=-35 \Rightarrow 11011101_2
$$
3. 第3步：做 8位加法
$$
01110101
+11011101
=01010010
$$
（最高位的进位被丢弃，因为只保留 8位 。）
4. 第4步：判定 溢出
一个加数是 正数 （$01110101$），另一个加数是 负数 （$11011101$）⇒ 符号位不同 ⇒ 不可能溢出 。
5. 第5步：转回 十进制
$$
01010010_2 = 64+16+2 = 82_{10}
$$
结果 ：$82$， 无溢出 。
1. 第1步：写成 8位二的补码
- $x=117 \Rightarrow 01110101_2$
- $y=-35$：（刚才算过 $-35$）
$$
-35 \Rightarrow 11011101_2
$$
2. 第2步：做 $x-y=x+(-y)$
这里 $-y=-(-35)=35$，所以：
$$
-y=35 \Rightarrow 00100011_2
$$
3. 第3步：做 8位加法
$$
01110101
+00100011
=10011000
$$
4. 第4步：判定 溢出
两个加数都是 正数 （符号位都为 0），但结果是 负数 （符号位为 1）⇒ 发生溢出 。
5. 第5步：转回 十进制 （按8位二的补码解释）
结果是 $10011000_2$。这是 负数 ，其值为：
- 先取反：$01100111$
- 加一：$01101000$
$$
01101000_2 = 64+32+8 = 104
\Rightarrow 10011000_2 = -104
$$
结果 ：$-104$， 有溢出 （真实数学结果 $152$ 超出 $[ -128,127]$）。
1. 第1步：写成 8位二的补码
- $x=-117$：先写 $117=01110101$
取反：$10001010$
加一：$10001011$
所以：
$$
x=-117 \Rightarrow 10001011_2
$$
- $y=35 \Rightarrow 00100011_2$
2. 第2步：做 $x-y=x+(-y)$，先求 (-y)
$$
-y=-35 \Rightarrow 11011101_2
$$
3. 第3步：做 8位加法
$$
10001011
+11011101
=01101000
$$
（同样只保留 8位 。）
4. 第4步：判定 溢出
两个加数都是 负数 （符号位都为 1），但结果是 正数 （符号位为 0）⇒ 发生溢出 。
5. 第5步：转回 十进制
$$
01101000_2 = 64+32+8=104_{10}
$$
结果 ：$104$， 有溢出 （真实数学结果 $-152$ 超出范围）。
1. 第1步：写成 8位二的补码
- $x=-117 \Rightarrow 10001011_2$（同上）
- $y=11$：
$$
11 \Rightarrow 00001011_2
$$
2. 第2步：做 $x-y=x+(-y)$，先求 (-y)
对 $11$：
取反：$11110100$
加一：$11110101$
所以：
$$
-y=-11 \Rightarrow 11110101_2
$$
3. 第3步：做 8位加法
$$
10001011
+11110101
=10000000
$$
4. 第4步：判定 溢出
两个加数都是 负数 （符号位 1），结果也是 负数 （符号位 1）⇒ 无溢出 。
并且真实数学结果 $-117-11=-128$ 正好在范围内。
5. 第5步：转回 十进制
$$
10000000_2 = -128_{10}
$$
结果 ：$-128$， 无溢出 。
7最终汇总（按 8位二的补码结果给 十进制 ）
- (a) $10-(-13)\Rightarrow 00010111_2=23$，无溢出
- (b) $117-35\Rightarrow 01010010_2=82$，无溢出
- (c) $117-(-35)\Rightarrow 10011000_2=-104$，有溢出
- (d) $-117-35\Rightarrow 01101000_2=104$，有溢出
- (e) $-117-11\Rightarrow 10000000_2=-128$，无溢出
如果你愿意，我也可以把每一题的“按位加法进位表”（每一列的carry in / carry out）完整写出来，用它来做另一种等价的 溢出判断 （例如用“最高位进位不一致”的判据）。