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Q5

📜 原文
📖 逐步解释
∑ 公式拆解
💡 数值示例
⚠️ 易错点
📝 总结
🎯 存在目的
🧠 直觉心智模型
💭 直观想象

1prompt

please take a deep breath， think step by step，请扮演一位FUNDAMENTALS OF COMPUTER SYSTS的计算机专家，用详细的中文step by step地解释并回答以下双引号中的问题，名词请附上对应的英文：

让我们慢慢来，能否用详细的中文和清晰的符号表示给出题目中的从零基础的一步一步的概念解释：

能否用详细的中文和清晰的符号表示给出从零基础的一步一步的详细解题步骤，特别是看到什么的时候能够判断什么的推理链：

可以用精确的数学符号和数学表达式来展示细致严谨的推理逻辑链吗？从题目中的什么条件判断出什么，又因为什么公式推导出答案？

1. Q5

5. 使用 IEEE 754 浮点标准表示法，将以下以二进制形式给出的数字表示为浮点数：

(a) 11010.1110

(b) -11011.10

(c) 0.000101

(d) -1.010101

(e) 10000000010

2A

下面我按 IEEE 754 单精度浮点数 （ IEEE 754 single-precision ， 32-bit float ）来做： 1 位符号位 （ sign bit ）+ 8 位指数位 （ exponent field ）+ 23 位尾数字段 （ fraction/mantissa field ）。如果你们课用的是 双精度 （ double-precision ），流程完全一样，只是位数变成 1+11+52 。

11. IEEE 754 单精度的核心公式（ normalized value ）

对“普通数”（ normalized number ，即指数不全 0 且不全 1）：

$$ \textbf{value}=(-1)^{\textbf{s}}\times(1.\textbf{f})\times 2^{(\textbf{E}-127)} $$

22. 通用解题步骤（看到什么就判断什么的 推理链 ）

给一个 二进制数 （ binary number ）：

  1. 判定 符号 （ sign ）
  1. 把数写成 规范化二进制科学计数法 （ normalized binary scientific notation ）

$$ \pm 1.\textbf{(bits)}\times 2^{e} $$

  1. 算 指数真值 （ unbiased exponent ）$e$，再算 偏置指数 （ biased exponent ）

$$ E=e+127 $$

把 $E$ 写成 8 位二进制

  1. 写 尾数位 （ fraction bits ）
  1. 拼接得到 32 位比特串 （ bit string ）：

$$ \textbf{s}\ \ \textbf{(8-bit E)}\ \ \textbf{(23-bit f)} $$

33. 逐题计算（ a–e ）

1. (a) 11010.1110

步骤 1：符号位 s（sign bit）

步骤 2：规范化（normalize）

$$ 11010.1110_2 = 1.10101110_2 \times 2^{4} $$

所以 指数真值 e（unbiased exponent）为 $e=4$

步骤 3：指数域 E（biased exponent）

$$ E=4+127=131 $$

$131$ 的 8 位二进制 ：

$$ 131_{10}=10000011_2 $$

步骤 4：尾数域 f（fraction field）

规范化的 $1.\underline{10101110}$，去掉开头隐含的 1 ，取

$$ f=10101110,000000000000000\ (\text{补到 23 位}) $$

步骤 5：拼接（assemble）

IEEE 754 单精度结果（32-bit float bits）

$$ \boxed{0\ 10000011\ 10101110000000000000000} $$

可选： 十六进制 （ hex ）为 $\boxed{\textbf{0x41D70000}}$ ，对应数值 26.875 （ decimal value ）。

2. (b) -11011.10

步骤 1：符号位 s（sign bit）

步骤 2：规范化（normalize）

$$ 11011.10_2 = 1.101110_2 \times 2^{4} $$

所以 $e=4$

步骤 3：指数域 E（biased exponent）

$$ E=4+127=131=10000011_2 $$

步骤 4：尾数域 f（fraction field）

$1.\underline{101110}$ →

$$ f=101110,00000000000000000 $$

步骤 5：拼接（assemble）

$$ \boxed{1\ 10000011\ 10111000000000000000000} $$

可选：hex 为 $\boxed{\textbf{0xC1DC0000}}$，对应数值 -27.5 。

3. (c) 0.000101

步骤 1：符号位 s（sign bit）

步骤 2：规范化（normalize）

找第一个 1 ：

$$ 0.000101_2 = 1.01_2 \times 2^{-4} $$

所以 $e=-4$

步骤 3：指数域 E（biased exponent）

$$ E=-4+127=123 $$

$$ 123_{10}=01111011_2 $$

步骤 4：尾数域 f（fraction field）

$1.\underline{01}$ →

$$ f=01000000000000000000000 $$

步骤 5：拼接（assemble）

$$ \boxed{0\ 01111011\ 01000000000000000000000} $$

可选：hex 为 $\boxed{\textbf{0x3DA00000}}$，对应数值 0.078125 。

4. (d) -1.010101

步骤 1：符号位 s（sign bit）

步骤 2：规范化（normalize）

它已经是 (1.x) 形式：

$$ 1.010101_2 = 1.010101_2 \times 2^{0} $$

所以 $e=0$

步骤 3：指数域 E（biased exponent）

$$ E=0+127=127=01111111_2 $$

步骤 4：尾数域 f（fraction field）

$1.\underline{010101}$ →

$$ f=01010100000000000000000 $$

步骤 5：拼接（assemble）

$$ \boxed{1\ 01111111\ 01010100000000000000000} $$

可选：hex 为 $\boxed{\textbf{0xBFAA0000}}$，对应数值 -1.328125 。

5. $e$ 10000000010

步骤 1：符号位 s（sign bit）

步骤 2：规范化（normalize）

$$ 10000000010_2 = 1.0000000010_2 \times 2^{10} $$

所以 $e=10$

步骤 3：指数域 E（biased exponent）

$$ E=10+127=137 $$

$$ 137_{10}=10001001_2 $$

步骤 4：尾数域 f（fraction field）

$1.\underline{0000000010}$ →

$$ f=0000000010,0000000000000\ (\text{补到 23 位}) $$

步骤 5：拼接（assemble）

$$ \boxed{0\ 10001001\ 00000000100000000000000} $$

可选：hex 为 $\boxed{\textbf{0x44804000}}$，对应数值 1026.0 。

如果你希望我用同样流程再做一遍 IEEE 754 双精度 （ 64-bit double ）版本，我也可以直接把每一题的 1+11+52 位完整比特串写出来。